1Si \vec{u}=(1,0,1), \vec{v}=(0,1,1) y \vec{w}=(1,1,0). Calcular el producto mixto:

    $$[\vec{u}\times \vec{v},\vec{v}\times \vec{w}, \vec{w}\times \vec{u}].$$

Recordemos que el producto vectorial de dos vectores no es más que el determinante de la matriz forma por los vectores a considerar y por los vectores canónicos, es decir, el producto vectorial de \vec{u} y \vec{v} es,

    $$\vec{u}\times \vec{v}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&0&1\\ 0&1&1\\ \end{vmatrix}=-\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}.$$

Similarmente obtenemos \vec{v}\times \vec{w} y \vec{w}\times \vec{u},

    $$\vec{v}\times \vec{w}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 0&1&1\\ 1&1&0\\ \end{vmatrix}=-\vec{i}+\vec{j}-\vec{k},$$

    $$\vec{w}\times \vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&1&0\\ 1&0&1\\ \end{vmatrix}=\vec{i}-\vec{j}-\vec{k}.$$

El siguiente paso es calcular el producto (\vec{v}\times \vec{w})\times(\vec{w}\times \vec{u}),

    $$(\vec{v}\times \vec{w})\times(\vec{w}\times \vec{u})=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ -1&1&-1\\ 1&-1&-1\\ \end{vmatrix}=-2\vec{i}-2\vec{j}.$$

Combinando este ultimo resultado con el producto vectorial de \vec{u} y \vec{v} obtenemos que el producto mixto es

    $$[\vec{u}\times \vec{v},\vec{v}\times \vec{w}, \vec{w}\times \vec{u}]=(-\vec{i}-\vec{j}+\vec{k})\cdot(-2\vec{i}-2\vec{j})=4.$$

2
Dados los vectores \vec{u}=(2,1,3), \vec{v}=(1,2,3) y \vec{w}=(-1,-1,0), hallar el producto mixto [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]. ¿Cuánto vale el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los vectores dados?

De nuevo el producto mixto no es mas que el determinante de la matriz que tiene como filas a los vectores indicados en el enunciado. De esta forma es producto mixto es,

    $$[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\begin{vmatrix} 2&1&3\\ 1&2&3\\ -1&-1&0\\ \end{vmatrix}=2(3)-1(3)+3(-1+2)=6.$$

Recordemos que el sentido geométrico del producto mixto indica que el producto mixto de tres vectores es igual al volumen del paralelepípedo que tiene como aristas a cada uno de dichos vectores, asi pues el volumen del paralelepípedo formado por \vec{u}, \vec{v} y \vec{w} es 6 unidades.

3
Sean A(-3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(-1, 2, 1) los tres vértices de un triángulo. Se pide:

1Calcular el coseno de cada uno de los tres ángulos del triángulo. 2Calcular el área del triángulo.

1 Consideremos la figura del triángulo

Ley de cosenos

Dado que tenemos que hallar los cosenos a partir de los lados, esto sugiere que utilicemos el la ley del coseno. Primero calculamos cada uno de los vectores del triángulo,

    $$\vec{AB}=(3+3,6-4,3-0)=(6,2,3),$$

    $$\vec{AC}=(-1+3,2-4,1-0)=(2,-2,1),$$

    $$\vec{CA}=(-2,2,-1),$$

    $$\vec{BA}=(-6,-2,-3).$$

Ahora calculamos el calculamos los cosenos

    $$\cos(\vec{AB},\vec{AC})=\cfrac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{|\vec{AB}||\vec{AC}|}=\cfrac{12-4+3}{\sqrt{36+4+9}\sqrt{4+4+1}}=\cfrac{11}{21}.$$

    $$\cos(\vec{BA},\vec{BC})=\cfrac{\vec{BA}\cdot\vec{BC}}{|\vec{BA}||\vec{BC}|}=\cfrac{24+8+6}{\sqrt{36+4+9}\sqrt{16+16+4}}=\cfrac{38}{21}.$$

    $$\cos(\vec{CA},\vec{CB})=\cfrac{\vec{CA}\cdot\vec{CB}}{|\vec{CA}||\vec{CB}|}=\cfrac{-8+8-2}{\sqrt{4+4+1}\sqrt{16+16+4}}=-\cfrac{1}{9}.$$

2 El área del triángulo esa dado por la formula,

    $$A=\cfrac{1}{2}|\vec{AB}\times \vec{AC}|.$$

La cual indica que es la mitad del área del paralelogramo formado por los vectores \vec{AB} y \vec{AC}. Primero calculamos \vec{AB}\times\vec{AC},

    $$\vec{AB}\times \vec{AC}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 6&2&3\\ 2&-2&1\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2&3\\ -2&1\\ \end{vmatrix}\vec{i}+\begin{vmatrix} 6&3\\ 2&1\\ \end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix} 6&2\\ 2&-2\\ \end{vmatrix}\vec{k}=8\vec{i}-16\vec{k}.$$

La norma de este último vector es

    $$|\vec{AB}\times \vec{AC}|=\sqrt{8^{2}+16^{2}}=8\sqrt{5}.$$

Finalmente el área del triángulo es

    $$A=\cfrac{1}{2}|\vec{AB}\times \vec{AC}|=\cfrac{1}{2}(8\sqrt{5})=4\sqrt{5}.$$

4

Considerar la siguiente figura:

producto vectorial y paralelogramos

Se pide:

1Coordenadas de D para qué ABCD sea un paralelogramo. 2Área de este paralelogramo.

1 Sean D(x,y,z) las coordenadas del vector D. Para que la figura sea un paralelogramo los vectores \vec{AD} y \vec{BC} deben ser equipolentes.Es decir,

    $$\vec{AD}=(x-1,y-1,z)=(2+1,2+1,1)=\vec{BC}.$$

Por lo tanto tenemos las siguientes ecuaciones

    $$x-1=3\Rightarrow x=3+1=4,$$

    $$y-1=3\Rightarrow y=3+1=4,$$

    $$z=1.$$

Finalmente concluimos que las coordenadas buscadas son D(4,4,1).

2 El área del paralelogramo esta dada por la norma del producto vectorial de los vectores \vec{BC} y \vec{BA}. Primero calculamos los vectores y luego el producto vectorial y obtenemos,

    $$\vec{BC}=(2-(-1),2-(-1),0-(-1))=(3,3,1),$$

    $$\vec{BA}=(1-(-1),1-(-1),0-(-1))=(2,2,1),$$

    $$\vec{BC}\times\vec{BA}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 3&3&1\\ 2&2&1\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3&1\\ 2&1\\ \end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix} 3&1\\ 2&1\\ \end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix} 3&3\\ 2&2\\ \end{vmatrix}\vec{k}=\vec{i}-\vec{j}.$$

Finalmente calculando la norma obtenemos que

    $$A=|\vec{BC}\times\vec{BA}|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}.$$

5

Dados los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 1) y C(1, 6, a), se pide:

1Hallar para qué valores del parámetro a están alineados. 2Hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son tres vértices de un paralelogramo de área 3 y, en caso afirmativo, calcularlos.

1 Si los puntos A,B,C estan alineados, entonces los vectores \vec{AB} y \vec{AC} tienen la misma dirección, por lo que son linealmente independientes y tienen sus componentes proporcionales. Si tenemos que

    $$\vec{AB}=(1-1,1-0,1-1)=(0,1,0),$$

    $$\vec{AC}=(1-1,6-0,a-1)=(0,6,a-1),$$

Se sigue entonces que existe una constante k tal que

    $$(0,6,a-1)=k(0,1,0).$$

Cual implica que a-1=0, asi que los puntos estan alineados si y solo si a=1.

2 Notemos que el área del paralelogramos construido sobre \vec{AB} y \vec{AC} es la norma del producto vectorial \vec{AB}\times\vec{AC}, asi pues calculemos este producto

    $$A=\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 0&1&0\\ 0&6&a-1\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&0\\ 6&a-1\\ \end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix} 0&0\\ 0&a-1\\ \end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix} 0&1\\ 0&6\\ \end{vmatrix}\vec{k}=(a-1)\vec{i}.$$

Dado que esta área también es igual a 3, se sigue que

    $$A=|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\sqrt{(a-1)^{2}+0^{2}+0^{2}}=3,$$

    $$a-1=3\Rightarrow a=4,$$

    $$a-1=-3\Rightarrow a=-2.$$

Así pues los vectores para los cuales el paralelogramo tiene área 3 son C(1,6,4) y C(1,6,-2).

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗