Definición del producto punto

 

El producto punto o producto escalar de dos vectores es una operación que da como resultado un número real. Hay distintas formas de definir esta operación, una de ellas es por medio de multiplicar el producto de los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman, esto es

 

\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \cos{\alpha}

 

Sin embargo, la forma más común de definir el producto punto no es esa, sino por medio de la suma de los productos de sus respecticas coordenadas, es decir, si \vec{u} = (u_1, u_2, \dots, u_n) y \vec{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n), entonces podemos definir el producto punto como

 

\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \cdots + u_nv_n = \sum_{i=1}^{n}{u_iv_i}

 

Ejemplo

 

Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas son las siguientes:

 

\displaystyle \vec{v} = \left( 1, \frac{1}{2}, 3\right), \qquad \vec{u} = \left(4, -4, 1\right).

 

Aplicando la definición, tenemos que

 

    \begin{align*} \vec{v} \cdot \vec{u} &= \left( 1, \frac{1}{2}, 3\right) \cdot \left(4, -4, 1\right)\\&= (1)(4) + \left( \frac{1}{2}\right) (-4) + (3)(1)\\&= 4 - 2 + 3\\&= 5\end{align*}

 

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Propiedades del producto punto

 

Tenemos las siguientes propiedades importantes del producto punto.

 

1 Conmutatividad.

 

\displaystyle \vec{v} \cdot \vec{u} = \vec{u} \cdot \vec{v}

 

2 Asociatidad al multiplicar por un número real.

 

\displaystyle k (\vec{v} \cdot \vec{u}) = (k\vec{v})\cdot \vec{u} = \vec{v} \cdot (k\vec{u})

 

3 Distributividad con la suma.

 

\displaystyle \vec{v} \cdot (\vec{u} + \vec{w})= \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot \vec{w}

 

4 Si \vec{v} \neq 0, entonces se cumple que

 

\displaystyle \vec{v} \cdot \vec{v} > 0

 

Módulo de un vector en términos del producto punto

 

Podemos expresar el móludo de un vector en términos del producto punto, simplemente notemos que

 

\displaystyle |\vec{v}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + \cdots + u_n^2} = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}}.

 

En pocas palabra, el módulo de un vector es la raíz de producto punto del vector consigo mismo.

 

Ejemplo

 

Obtener el módulo del siguiente vector

 

\displaystyle \vec{v} = \left( -3, 2, 5\right)

 

Aplicando la igualdad anterior, tenemos que

 

    \begin{align*} |\vec{v}| &= \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}}\\&= \sqrt{\left( -3, 2, 5\right) \cdot \left( -3, 2, 5\right)}\\&= \sqrt{(-3)^2 + (2)^2 + (5)^2}\\&= \sqrt{9 + 4 + 25}\\&= \sqrt{38}\\\end{align*}

 

Ángulo entre dos vectores en términos de su producto punto

 

Podemos definir el ángulo entre dos vectores en términos del producto punto de estos. Primero tengamos en cuenta que el coseno del ángulo que se fomra por dos vectores \vec{u} y \vec{v} está dado por

 

\displaystyle \cos{\alpha} = \frac{u_1v_1 + u_1v_1 + \cdot + u_nv_n}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + \cdots + u_n^2} \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}

 

Notemos que una vez que tenemos el coseno, podemos calcular el ángulo simplemente aplicando la función trigonométrica inversa arcocoseno, así

 

\displaystyle \alpha = \text{arccos}{\left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} \right)}

 

Ejemplo

 

Obtener el ángulo que forman los vectores

 

\displaystyle \vec{v} = \left( 1, 2, -3\right), \qquad \vec{u} = \left(-2, 4, 1\right).

 

Por la fórmula anterior tenemos que

 

    \begin{align*} \alpha &= \text{arccos}{\left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} \right)}\\&= \text{arccos}{\left(\frac{(1)(-2) + (2)(4) + (-3)(1)}{\sqrt{(1)^2 + (2)^2 + (-3)^2} \sqrt{(-2)^2 + (4)^2 + (1)^2}} \right)}\\&= \text{arccos}{\left(\frac{-2 + 8 + -3}{\sqrt{1 + 4 + 9} \sqrt{4 + 16 + 1}} \right)}\\&= \text{arccos}{\left(\frac{3}{\sqrt{14} \sqrt{21}} \right)}\\&= \text{arccos}{\left(\frac{3}{\sqrt{(7)(2)} \sqrt{(7)(3)}} \right)}\\&= \text{arccos}{\left(\frac{3}{\sqrt{(7)^2(2)(3)}}\right)}\\&= \text{arccos}{\left(\frac{3}{7\sqrt{6}}\right)}\\&= 79.92^{\circ}\end{align*}

 

Vectores ortogonales

 

Dos vectores \vec{u} y \vec{v} son ortogonales si el producto punto de estos es nulo (igual a 0), esto es, si se cumple que

 

\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = 0

 

así, notemos que la ortogonalidad está definida a partir del producto punto.

 

Ejemplo

 

Verificar si los vectores

 

\displaystyle \vec{v} = \left( 2, -3, 1\right), \qquad \vec{u} = \left(3, 2, 0\right).

 

son ortogonales.

 

Calculemos el producto punto de los vectores

 

    \begin{align*} \vec{v} \cdot \vec{u} &= (2, -3, 1) \cdot (3, 2, 0)\\&= (2)(3) + (-3)(2) + (1)(0)\\&= 6 - 6 + 0\\&= 0\end{align*}

 

Dado que el producto punto es igual a 0, tenemos que los vectores son ortogonales.

 

Interpretación geométrica del producto punto

 

Tenenemos que el producto punto de dos vectores no nulos (distintos al vector cero) es igual al módulo de uno de ellos por el módulo de la proyección del otro sobre él. Analicemos la siguiente imagen

 

Proyección de un vector a otro

 

Notemos que \vec{u} = OA, \vec{v} = OB y OA' es la proyección de \vec{u} sobre \vec{u}, entonces es claro que

 

\displaystyle \cos{\alpha} = \frac{|OA'|}{|\vec{u}|}

 

Sin embargo, como vimos previamente, el coseno también está dado por

 

\displaystyle \cos{\alpha} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}

 

Igualando tenemos que

 

    \begin{align*} \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} &= \frac{|OA'|}{|\vec{u}|}\\\vec{u} \cdot \vec{v} &= \frac{|OA'| |\vec{u}||\vec{v}|}{|\vec{u}|}\\\vec{u} \cdot \vec{v} &= |OA'| |\vec{v}|\end{align*}

 

Como dado, la proyección escalar de \vec{u} sobre \vec{u} se calcula con la siguiente fórmula

 

\displaystyle OA' = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|} \vec{v}

 

es claro que lo que se hace es obtener un vector unitario con la dirección de \vec{v} y luego le damos una longitud igual a \vec{u} \cdot \vec{v}.

 

Ejercicios

 

Los siguientes ejercicio servirán de práctica para entender mejor el producto punto y sus propiedades.

 

1 Dados los vectores

 

\displaystyle \vec{u} = \left( 2, -3, 5\right), \qquad \vec{v} = \left(6, -1, 0\right),

 

encontrar sus módulos.

 

Calculemos los módulos

 

    \begin{align*} |\vec{u}| &= \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}\\&= \sqrt{\left( 2, -3, 5\right) \cdot \left( 2, -3, 5\right)}\\&= \sqrt{(2)^2 + (-3)^2 + (5)^2}\\&= \sqrt{4 + 9 + 25}\\&= \sqrt{38}\\\end{align*}

 

    \begin{align*} |\vec{v}| &= \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}}\\&= \sqrt{\left(6, -1, 0\right) \cdot \left(6, -1, 0\right)}\\&= \sqrt{(6)^2 + (-1)^2 + (0)^2}\\&= \sqrt{36 + 1 + 0}\\&= \sqrt{37}\\\end{align*}

 

2 Dados los vectores

 

\displaystyle \vec{u} = \left( 2, -3, 5\right), \qquad \vec{v} = \left(6, -1, 0\right),

 

calcular su producto escalar.

 

Calculemos el producto escalar

 

    \begin{align*} \vec{u} \cdot \vec{v} &= \vec{u} \cdot \vec{v}\\&= \left( 2, -3, 5\right) \cdot \left(6, -1, 0\right)\\&= (2)(6) + (-3)(-1) + (5)(0)\\&= 12 + 3 + 0\\&= 15\\\end{align*}

 

3 Dados los vectores

 

\displaystyle \vec{u} = \left( 2, -3, 5\right), \qquad \vec{v} = \left(6, -1, 0\right),

 

calcular el ángulo que forman.

 

Apliquemos la fórmula que vimos, esto es, usaremos arcocoseno

 

    \begin{align*} \alpha &= \text{arccos}{\left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} \right)}\\&= \text{arccos}{\left(\frac{15}{\sqrt{38} \sqrt{37}} \right)}\\&= \text{arccos}{\left(\frac{15}{\sqrt{1406}} \right)}\\&= \text{arccos}{\left( 0.4 \right)}\\&= 66.42^{\circ}\end{align*}

 

4 Dados los vectores

 

\displaystyle \vec{u} = \left( 2, -3, 5\right), \qquad \vec{v} = \left(m, 2, 3\right),

 

encontrar el valor de m para que los vectores sean ortogonales.

 

Recordemos que para que dos vectores sean ortogonales su producto punto debe ser igual a cero, por lo tanto

 

    \begin{align*} \vec{u} \cdot \vec{v} &= 0\\\left( 2, -3, 5\right) \cdot \left(m, 2, 3\right) &= 0\\2m + (-3)(2) + (5)(3) &= 0\\2m -6 + 15 &= 0\\2m + 9 &= 0\\2m &= -9\\m &= \frac{-9}{2}\end{align*}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗