El producto punto o producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Expresión analítica del producto punto

Ejemplo

Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1).

(1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3 = 5

Expresión analítica del módulo de un vector

Hallar el valor del módulo de un vector de coordenadas = (−3, 2, 5) en una base ortonormal.

Expresión analítica del ángulo de dos vectores

Determinar el ángulo que forman los vectores = (1, 2, −3) y = (−2, 4, 1).

 

Vectores ortogonales

Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0.

Ejemplo

Calcular los valores x e y para que el vector (x, y, 1) sea ortogonal a los vectores (3, 2, 0) y (2, 1, −1).

Propiedades del producto punto

1

Conmutativa

2

Asociativa

3

Distributiva

4

El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

 

Interpretación geométrica del producto punto

El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

OA' es la proyección escalar de sobre el vector .

El vector proyección se calcula multiplicando la proyección escalar por un vector unitario de , de modo que obtenemos otro vector con la misma dirección.

Ejercicio

Dados los vectores y hallar:

1.

Los módulos de y ·

2.

El producto escalar de y ·

3.

El ángulo que forman.

4.

El valor de m para que los vectores y sean ortogonales.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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