1 Dados los vectores \displaystyle \vec{u}=(1,2,3), \displaystyle \vec{v}=(2,0,1) y \displaystyle \vec{w}=(-1,3,0), hallar:

 

a\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v},\vec{v} \cdot \vec{w},\vec{u} \cdot \vec{w},\vec{v} \cdot \vec{u}

b\displaystyle\vec{u} \times \vec{v},\vec{u} \times \vec{w},\vec{v} \times \vec{u},\vec{v} \times \vec{w}

c\displaystyle \left ( \vec{u} \times \vec{v} \right ) \cdot \vec{w} y \displaystyle \left ( \vec{v} \times \vec{w} \right ) \cdot \vec{u}

d\displaystyle \left \| \vec{u} \right \|,\left \| \vec{v} \right \|,\left \| \vec{w} \right \|

e\displaystyle \cos\left ( \measuredangle (\vec{u},\vec{v}) \right ) y \displaystyle \cos\left ( \measuredangle (\vec{v},\vec{w}) \right )

 

Dados los vectores \displaystyle \vec{u}=(1,2,3), \displaystyle \vec{v}=(2,0,1) y \displaystyle \vec{w}=(-1,3,0) hallar:

 

Soluciones:

 

a\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v},\vec{v} \cdot \vec{w},\vec{u} \cdot \vec{w},\vec{v} \cdot \vec{u}

 

Antes de realizar el ejercicio, recordemos:

 

Si tenemos al vector \displaystyle \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) y al vector \displaystyle \vec{v}=(v_x,v_y,v_z), definimos al producto escalar como:

 

\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}=(u_x,u_y,u_z)\cdot(v_x,v_y,v_z)=(u_x)(v_x)+(u_y)(v_y)+(u_z)(v_z)

 

y de esta manera ya podemos desarrollar el ejercicio.

 

\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v}=(1,2,3)\cdot(2,0,1)=(1)(2)+(2)(0)+(3)(1)=5

 

\displaystyle\vec{v} \cdot \vec{w}=(2,0,1)\cdot(-1,3,0)=(2)(-1)+(0)(3)+(1)(0)=-2

 

\displaystyle\vec{u} \cdot \vec{w}=(1,2,3)\cdot(-1,3,0)=(1)(-1)+(2)(3)+(3)(0)=5

 

\displaystyle\vec{v} \cdot \vec{u}=(2,0,1)\cdot(1,2,3)=(2)(1)+(0)(2)+(1)(3)=5

 

b\displaystyle\vec{u} \times \vec{v},\vec{u} \times \vec{w},\vec{v} \times \vec{u},\vec{v} \times \vec{w}

 

Usando la misma nomenclatura, definimos al producto vectorial como:

 

\displaystyle \vec{u} \times \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} u_y & u_z\\ v_y & v_z \end{vmatrix}\vec{i}- \begin{vmatrix} u_x & u_z\\ v_x & v_z \end{vmatrix}\vec{j}+ \begin{vmatrix} u_x & u_y\\ v_x & v_y \end{vmatrix}\vec{k}

 

donde

 

\displaystyle \begin{vmatrix} u_y & u_z\\ v_y & v_z \end{vmatrix}=u_yv_z-v_yu_z \hspace{0.3 cm} \begin{vmatrix} u_x & u_z\\ v_x & v_z \end{vmatrix}=u_xv_z-v_xu_z \hspace{0.3 cm} \begin{vmatrix} u_x & u_y\\ v_x & v_y \end{vmatrix}=u_xv_y-v_xu_y

 

la cual nos permite desarrollar los ejercicios solicitados.

 

\displaystyle \vec{u} \times \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2 & 3\\ 0 & 1 \end{vmatrix}\vec{i}- \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 1 \end{vmatrix}\vec{j}+ \begin{vmatrix} 1 & 2\\ 2 & 0 \end{vmatrix}\vec{k}= 2\vec{i}+5\vec{j}-4\vec{k}

 

\displaystyle \vec{u} \times \vec{w}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & 3 & 0 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2 & 3\\ 3 & 0 \end{vmatrix}\vec{i}- \begin{vmatrix} 1 & 3\\ -1 & 0 \end{vmatrix}\vec{j}+ \begin{vmatrix} 1 & 2\\ -1 & 3 \end{vmatrix}\vec{k}= -9\vec{i}-3\vec{j}+5\vec{k}

 

\displaystyle \vec{v} \times \vec{u}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 0 & 1\\ 2 & 3 \end{vmatrix}\vec{i}- \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{vmatrix}\vec{j}+ \begin{vmatrix} 2 & 0\\ 1 & 2 \end{vmatrix}\vec{k}= -2\vec{i}-5\vec{j}+4\vec{k}

 

\displaystyle \vec{v} \times \vec{w}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 0 & 1\\ 3 & 0 \end{vmatrix}\vec{i}- \begin{vmatrix} 2 & 1\\ -1 & 0 \end{vmatrix}\vec{j}+ \begin{vmatrix} 2 & 0\\ -1 & 3 \end{vmatrix}\vec{k}= -3\vec{i}-\vec{j}+6\vec{k}

 

c\displaystyle \left ( \vec{u} \times \vec{v} \right ) \cdot \vec{w} y \displaystyle \left ( \vec{v} \times \vec{w} \right ) \cdot \vec{u}

 

Una vez teniendo claras las definiciones de producto escalar y vectorial, podemos combinarlas entre ellas. No olvide que un producto escalar genera un número, y un producto vectorial un vector, debido a esta razón es importante el orden en que se realizan los productos, debido a eso los paréntesis. El producto final representa el volumen del paralelogramo generado por los vectores, y como son los mismo el volumen resulta igual en ambos casos.

 

\displaystyle \left ( \vec{u} \times \vec{v} \right ) \cdot \vec{w}=(2,5,-4)\cdot(-1,3,0)=-2+15=13

 

\displaystyle \left ( \vec{v} \times \vec{w} \right ) \cdot \vec{u}=(-3,-1,6)\cdot(1,2,3)=-3-2+18=13

 

4\displaystyle \left \| \vec{u} \right \|,\left \| \vec{v} \right \|,\left \| \vec{w} \right \|

 

Nuevamente, haciendo uso de la nomenclatura inicial, recordemos la definición del módulo de un vector

 

\displaystyle \left \| \vec{u} \right \|=\sqrt{(u_x)^2+(u_y)^2+(u_z)^2}

 

habiendo recordado la fórmula, ya podemos calcular

 

\displaystyle \left \| \vec{u} \right \|=\sqrt{(1)^2+(2)^2+(3)^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}

 

\displaystyle \left \| \vec{v} \right \|=\sqrt{(2)^2+(0)^2+(1)^2}=\sqrt{4+0+1}=\sqrt{5}

 

\displaystyle \left \| \vec{w} \right \|=\sqrt{(-1)^2+(3)^2+(0)^2}=\sqrt{1+9+0}=\sqrt{10}

 

d\displaystyle \cos\left ( \measuredangle (\vec{u},\vec{v}) \right ) y \displaystyle \cos\left ( \measuredangle (\vec{v},\vec{w}) \right )

 

Con toda esta información, ya es posible calcular el coseno del ángulo formado entre los vectores.

 

\displaystyle \cos\left ( \measuredangle (\vec{u},\vec{v}) \right )=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left \| \vec{u} \right \|\left \| \vec{v} \right \|}=\frac{5}{\sqrt{14}\sqrt{5}}\approx 0.5976143046...

 

\displaystyle \cos\left ( \measuredangle (\vec{v},\vec{w}) \right )=\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\left \| \vec{v} \right \|\left \| \vec{w} \right \|}=\frac{-2}{\sqrt{5}\sqrt{10}} \approx -0.2828427124...

 

1Dados los vectores \displaystyle \vec{u}=(3,1,-1) y \displaystyle \vec{v}=(2,3,4), hallar:

aLos módulos de \displaystyle \vec{u} y \displaystyle \vec{v}

bEl producto vectorial de \displaystyle \vec{u} y \displaystyle \vec{v}

cUn vector unitario ortogonal a \displaystyle \vec{u} y \displaystyle \vec{v}

dEl área del paralelogramo que tiene por lados los vectores\displaystyle \vec{u} y \displaystyle \vec{v}

 

Dados los vectores\displaystyle \vec{u}=(3,1,-1) y \displaystyle \vec{v}=(2,3,4), hallar:

 

Soluciones:

 

aLos módulos de \displaystyle \vec{u} y \displaystyle \vec{v}

 

\displaystyle \left \| \vec{u} \right \|=\sqrt{(3)^2+(1)^2+(-1)^2}=\sqrt{9+1+1}=\sqrt{11}

 

\displaystyle \left \| \vec{v} \right \|=\sqrt{(2)^2+(3)^2+(4)^2}=\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29}

 

bEl producto vectorial de \displaystyle \vec{u} y \displaystyle \vec{v}

 

\vec{u} \times \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & -1\\ 3 & 4 \end{vmatrix}\vec{i}- \begin{vmatrix} 3 & -1\\ 2 & 4 \end{vmatrix}\vec{j}+ \begin{vmatrix} 3 & 1\\ 2 & 3 \end{vmatrix}\vec{k}= 7\vec{i}-14\vec{j}+7\vec{k}

 

cUn vector unitario ortogonal a \displaystyle \vec{u} y \displaystyle \vec{v}

 

Cuando se calcula el producto vectorial entre dos vectores, se genera un vector ortogonal a ambos, por tal razón

 

\displaystyle \vec{w}=\vec{u} \times \vec{v}

 

es el vector ortogonal que necesitamos, ahora sólo hace falta hacerlo unitario, primero calculemos su módulo

 

\displaystyle \left \|\vec{w}\right \|=\left \| \vec{u} \times \vec{v} \right \|=\sqrt{(7)^2+(-14)^2+(7)^2}=\sqrt{294}

 

y entonces ya podemos hacerlo unitario

 

\displaystyle \widehat{w}=\frac{1}{\left \| \vec{w} \right \|}\vec{w}=\frac{1}{\sqrt{294}}\left ( 7,-14,7 \right )=\left ( \frac{7}{\sqrt{294}},\frac{-14}{\sqrt{294}},\frac{7}{\sqrt{294}} \right )

 

dEl área del paralelogramo que tiene por lados los vectores\displaystyle \vec{u} y \displaystyle \vec{v}

El área del paralelogramo, se calcula con el módulo del producto vectorial de los vectores que lo conforman

 

\displaystyle A=\left \| \vec{u} \times \vec{v} \right \|=\sqrt{294}u^2

3Hallar el ángulo que forman los vectores \displaystyle \vec{u}=(1,1,1) y \displaystyle \vec{v}=(2,2,1) .

 

Hallar el ángulo que forman los vectores \displaystyle \vec{u}=(1,1,-1) y \displaystyle \vec{v}=(2,2,1)

 

Sea

 

\displaystyle \alpha = \measuredangle (\vec{u},\vec{v})

 

el ángulo formado entre los vectores.

 

Calculemos entonces el coseno de dicho ángulo

 

    \begin{align*} \cos\left ( \alpha \right ) &= \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left \| \vec{u} \right \|\left \| \vec{v} \right \|}\\ &=\frac{(1)(2)+(1)(2)+(-1)(1)}{\sqrt{(1)^2+(1)^2+(-1)^2}\sqrt{(2)^2+(2)^2+(1)^2}} \\ &=\frac{3}{\sqrt{3}\sqrt{9}}= \frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{align*}

 

entonces ahora apliquemos la inversa del coseno sobre el valor calculado, para conocer el valor del ángulo formado entre los vectores

 

\displaystyle \alpha = \arccos\left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right )\approx 54.7356^{\circ}

&nbsp

4Hallar los cosenos directores del vector \displaystyle \vec{u}=(2,2,1) .

 

Hallar los cosenos directores del vector \displaystyle \vec{u}=(2,2,1).

 

Los cosenos directores, sirven para saber el ángulo generado entre cada eje y el vector respectivamente, es decir, sirven como una herramienta de localización de un punto

 

\displaystyle \left \| \vec{u} \right \|=\sqrt{(2)^2+(2)^2+(1)^2}=\sqrt{9}=3

 

\displaystyle \cos(\alpha)=\frac{u_x}{\left \| \vec{u} \right \|}=\frac{2}{3}

\displaystyle \cos(\beta)=\frac{u_y}{\left \| \vec{u} \right \|}=\frac{2}{3}

\displaystyle \cos(\gamma)=\frac{u_z}{\left \| \vec{u} \right \|}=\frac{1}{3}

5Dados los vectores \displaystyle \vec{u}=3\vec{i}-\vec{j}+\vec{k} y \displaystyle \vec{v}=2\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k}, hallar el producto \displaystyle \vec{u} \times \vec{v} y comprobar que este vector es ortogonal a \displaystyle \vec{u}  y a \displaystyle \vec{v}. Hallar el vector \displaystyle \vec{v} \times \vec{u}  y compararlo con \displaystyle \vec{u} \times \vec{v}.

 

Dados los vectores \displaystyle \vec{u}=3\vec{i}-\vec{j}+\vec{k} y \displaystyle \vec{v}=2\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k}, hallar el producto \displaystyle \vec{u} \times \vec{v} y comprobar que este vector es ortogonal a \displaystyle \vec{u}  y a \displaystyle \vec{v}. Hallar el vector \displaystyle \vec{v} \times \vec{u}  y compararlo con \displaystyle \vec{u} \times \vec{v}.

 

Primero el producto vectorial

 

\displaystyle \vec{u} \times \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} -1 & 1\\ -3 & 1 \end{vmatrix}\vec{i}- \begin{vmatrix} 3 & 1\\ 2 & 1 \end{vmatrix}\vec{j}+ \begin{vmatrix} 3 & -1\\ 2 & -3 \end{vmatrix}\vec{k}= 2\vec{i}-\vec{j}-7\vec{k}

 

Ahora recordemos que para que dos vectores sean perpendiculares, su producto escalar debe ser cero

 

\displaystyle \left ( \vec{u}\times\vec{v}\right ) \perp \vec{u} \Leftrightarrow \left ( \vec{u}\times\vec{v} \right ) \cdot \vec{u}=0

 

Verifiquemos:

 

\displaystyle (2,-1,-7)\cdot(3,-1,1)=6+1-7=0

 

ahora con el otro vector

 

\displaystyle \left ( \vec{u}\times\vec{v}\right ) \perp \vec{v} \Leftrightarrow \left ( \vec{u}\times\vec{v} \right ) \cdot \vec{v}=0

 

\displaystyle (2,-1,-7)\cdot(2,-3,1)=4+3-7=0

 

observando que efectivamente los vectores en cuestión son perpendiculares.

 

Ahora calculemos el siguiente producto vectorial, observe que los vectores ahora tienen distinto orden

 

\displaystyle \vec{v} \times \vec{u}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} -3 & 1\\ -1 & 1 \end{vmatrix}\vec{i}- \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 3 & 1 \end{vmatrix}\vec{j}+ \begin{vmatrix} 2 & -3\\ 3 & -1 \end{vmatrix}\vec{k}= -2\vec{i}+\vec{j}+7\vec{k}

 

llegando así al ejemplo de una de las propiedades importantes del producto vectorial, la anticonmutatividad

 

\displaystyle \vec{v} \times \vec{u}=-\left (\vec{u} \times \vec{v} \right )

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗