Definición de coordenadas cartesianas y polares

 

En un sistema de referencia ortonormal, a cada punto P del plano le corresponde un vector \overrightarrow{OP}, tal que:

 

coordenadas cartesianas

 

El vector \overrightarrow{OP} suele escribirse como

 

\overrightarrow{OP} = x\hat{i} + y\hat{j}

 

A los coeficientes x e y de la combinación lineal se les llama coordenadas del punto P. La coordenada x se llama abscisa y la coordenada y ordenada.

 

Como la combinación lineal es única, a cada punto le corresponde un par de números y a cada par de números un punto.

 

Cuando se conoce el módulo del vector \vec{v} = \overrightarrow{OP}  y el ángulo \alpha que forma con el eje OX,  se dice que el vector esta expresado en coordenadas polares.

 

coordenadas polares

 

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Cambios de coordenadas

 

Para pasar de coordenadas polares a cartesianas empleamos las siguientes fórmulas:

 

x = |\vec{v}| \cdot cos \alpha

 

y = |\vec{v}| \cdot sen \alpha

 

Ejemplo: Pasar a coordenadas cartesianas 2_{120^o}

 

1 Tenemos que r = 2 y \alpha = 120^o

 

2 Calculamos la coordenada x

 

x = 2 \cdot cos 120^o = -1

 

3 Calculamos la coordenada y

 

y = 2 \cdot sen 120^o = \sqrt{3}

 

Así la expresión en coordenadas cartesianas es

 

(-1, \sqrt{3})

 

Para pasar de coordenadas cartesianas a polares empleamos las siguientes fórmulas:

 

Módulo

 

|\vec{v} = \sqrt{x^2 + y^2}|

 

Argumento o ángulo

 

\alpha = arc \, tg \, \cfrac{y}{x} = \left \{ \begin{array}{l} \cfrac{+y}{+x} = \alpha, \\ \cfrac{+y}{-x} = 180^o - \alpha, \\  \cfrac{-y}{-x} = 180^o + \alpha, \\  \cfrac{-y}{+x} = 360^o - \alpha  \end{array}  \right.

 

Ejemplo: Pasar a coordenadas polares (1, \sqrt{3})

 

1 Tenemos que x = 1 y y = \sqrt{3}

 

2 Calculamos el módulo

 

|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + \sqrt{3}^2} = 2

 

3 Calculamos el argumento

 

\alpha = arc \, tg \, \cfrac{+\sqrt{3}}{+1} = 60^o

 

Así la expresión en coordenadas polares es

 

2_{60^o}

 

Ejercicios de coordenadas cartesianas y polares

 

Pasar a coordenadas cartesianas los siguientes vectores expresados en coordenadas polares

 

1 1_{0^o}

1 Tenemos que r = 1 y \alpha = 0^o

 

2 Calculamos la coordenada x

 

x = 1 \cdot cos 0^o = 1

 

3 Calculamos la coordenada y

 

y = 1 \cdot sen 0^o = 0

 

Así la expresión en coordenadas cartesianas es

 

(1, 0)

 

 

2 1_{180^o}

1 Tenemos que r = 1 y \alpha = 180^o

 

2 Calculamos la coordenada x

 

x = 1 \cdot cos 180^o = -1

 

3 Calculamos la coordenada y

 

y = 1 \cdot sen 180^o = 0

 

Así la expresión en coordenadas cartesianas es

 

(-1, 0)

 

 

3 1_{90^o}

1 Tenemos que r = 1 y \alpha = 90^o

 

2 Calculamos la coordenada x

 

x = 1 \cdot cos 90^o = 0

 

3 Calculamos la coordenada y

 

y = 1 \cdot sen 90^o = 1

 

Así la expresión en coordenadas cartesianas es

 

(0, 1)

 

 

4 1_{270^o}

1 Tenemos que r = 1 y \alpha = 270^o

 

2 Calculamos la coordenada x

 

x = 1 \cdot cos 270^o = 0

 

3 Calculamos la coordenada y

 

y = 1 \cdot sen 270^o = -1

 

Así la expresión en coordenadas cartesianas es

 

(0, -1)

 

Pasar a coordenadas polares los siguientes vectores expresados en coordenadas cartesianas

 

5 (-1, \sqrt{3})

1 Tenemos que x = -1 y y = \sqrt{3}

 

2 Calculamos el módulo

 

|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + \sqrt{3}^2} = 2

 

3 Calculamos el argumento

 

\alpha = arc \, tg \, \cfrac{+\sqrt{3}}{-1} = 120^o

 

Así la expresión en coordenadas polares es

 

2_{120^o}

 

 

6 (-1, -\sqrt{3})

1 Tenemos que x = -1 y y = -\sqrt{3}

 

2 Calculamos el módulo

 

|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2

 

3 Calculamos el argumento

 

\alpha = arc \, tg \, \cfrac{-\sqrt{3}}{-1} = 240^o

 

Así la expresión en coordenadas polares es

 

2_{240^o}

 

 

7 (1, -\sqrt{3})

1 Tenemos que x = 1 y y = -\sqrt{3}

 

2 Calculamos el módulo

 

|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2

 

3 Calculamos el argumento

 

\alpha = arc \, tg \, \cfrac{-\sqrt{3}}{+1} = 300^o

 

Así la expresión en coordenadas polares es

 

2_{300^o}

 

 

8 (2, 0)

1 Tenemos que x = 2 y y = 0

 

2 Calculamos el módulo

 

|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2

 

3 Calculamos el argumento

 

\alpha = arc \, tg \, \cfrac{0}{+2} = 0^o

 

Así la expresión en coordenadas polares es

 

2_{0^o}

 

 

9 (-2, 0)

1 Tenemos que x = -2 y y = 0

 

2 Calculamos el módulo

 

|\vec{v}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2

 

3 Calculamos el argumento

 

\alpha = arc \, tg \, \cfrac{0}{-2} = 180^o

 

Así la expresión en coordenadas polares es

 

2_{180^o}

 

 

10 (0, 2)

1 Tenemos que x = 0 y y = 2

 

2 Calculamos el módulo

 

|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2

 

3 Calculamos el argumento

 

\alpha = arc \, tg \, \cfrac{+2}{0} = 90^o

 

Así la expresión en coordenadas polares es

 

2_{90^o}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗