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Definición de coordenadas cartesianas y polares
Cambios de coordenadas
Ejercicios de coordenadas cartesianas y polares

Definición de coordenadas cartesianas y polares

En un sistema de referencia ortonormal, a cada punto $P$ del plano le corresponde un vector $\overrightarrow{OP}$ , tal que:

El vector $\overrightarrow{OP}$ suele escribirse como

$\overrightarrow{OP} = x\hat{i} + y\hat{j}$

A los coeficientes $x$ e $y$ de la combinación lineal se les llama coordenadas del punto $P$ . La coordenada $x$ se llama abscisa y la coordenada $y$ ordenada.

Como la combinación lineal es única, a cada punto le corresponde un par de números y a cada par de números un punto.

Cuando se conoce el módulo del vector $\vec{v} = \overrightarrow{OP}$ y el ángulo $\alpha$ que forma con el eje $OX$ , se dice que el vector esta expresado en coordenadas polares.

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Cambios de coordenadas

Para pasar de coordenadas polares a cartesianas empleamos las siguientes fórmulas:

$x = |\vec{v}| \cdot cos \alpha$

$y = |\vec{v}| \cdot sen \alpha$

Ejemplo: Pasar a coordenadas cartesianas $2_{120^o}$

1 Tenemos que $r = 2$ y $\alpha = 120^o$

2 Calculamos la coordenada $x$

$x = 2 \cdot cos 120^o = -1$

3 Calculamos la coordenada $y$

$y = 2 \cdot sen 120^o = \sqrt{3}$

Así la expresión en coordenadas cartesianas es

$(-1, \sqrt{3})$

Para pasar de coordenadas cartesianas a polares empleamos las siguientes fórmulas:

Módulo

$|\vec{v} = \sqrt{x^2 + y^2}|$

Argumento o ángulo

$\alpha = arc \, tg \, \cfrac{y}{x} = \left \{ \begin{array}{l} \cfrac{+y}{+x} = \alpha, \\ \cfrac{+y}{-x} = 180^o - \alpha, \\ \cfrac{-y}{-x} = 180^o + \alpha, \\ \cfrac{-y}{+x} = 360^o - \alpha \end{array} \right.$

Ejemplo: Pasar a coordenadas polares $(1, \sqrt{3})$

1 Tenemos que $x = 1$ y $y = \sqrt{3}$

2 Calculamos el módulo

$|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + \sqrt{3}^2} = 2$

3 Calculamos el argumento

$\alpha = arc \, tg \, \cfrac{+\sqrt{3}}{+1} = 60^o$

Así la expresión en coordenadas polares es

$2_{60^o}$

Ejercicios de coordenadas cartesianas y polares

Pasar a coordenadas cartesianas los siguientes vectores expresados en coordenadas polares

1 $1_{0^o}$

1 Tenemos que $r = 1$ y $\alpha = 0^o$

2 Calculamos la coordenada $x$

$x = 1 \cdot cos 0^o = 1$

3 Calculamos la coordenada $y$

$y = 1 \cdot sen 0^o = 0$

Así la expresión en coordenadas cartesianas es

$(1, 0)$

2 $1_{180^o}$

1 Tenemos que $r = 1$ y $\alpha = 180^o$

2 Calculamos la coordenada $x$

$x = 1 \cdot cos 180^o = -1$

3 Calculamos la coordenada $y$

$y = 1 \cdot sen 180^o = 0$

Así la expresión en coordenadas cartesianas es

$(-1, 0)$

3 $1_{90^o}$

1 Tenemos que $r = 1$ y $\alpha = 90^o$

2 Calculamos la coordenada $x$

$x = 1 \cdot cos 90^o = 0$

3 Calculamos la coordenada $y$

$y = 1 \cdot sen 90^o = 1$

Así la expresión en coordenadas cartesianas es

$(0, 1)$

4 $1_{270^o}$

1 Tenemos que $r = 1$ y $\alpha = 270^o$

2 Calculamos la coordenada $x$

$x = 1 \cdot cos 270^o = 0$

3 Calculamos la coordenada $y$

$y = 1 \cdot sen 270^o = -1$

Así la expresión en coordenadas cartesianas es

$(0, -1)$

Pasar a coordenadas polares los siguientes vectores expresados en coordenadas cartesianas

5 $(-1, \sqrt{3})$

1 Tenemos que $x = -1$ y $y = \sqrt{3}$

2 Calculamos el módulo

$|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + \sqrt{3}^2} = 2$

3 Calculamos el argumento

$\alpha = arc \, tg \, \cfrac{+\sqrt{3}}{-1} = 120^o$

Así la expresión en coordenadas polares es

$2_{120^o}$

6 $(-1, -\sqrt{3})$

1 Tenemos que $x = -1$ y $y = -\sqrt{3}$

2 Calculamos el módulo

$|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2$

3 Calculamos el argumento

$\alpha = arc \, tg \, \cfrac{-\sqrt{3}}{-1} = 240^o$

Así la expresión en coordenadas polares es

$2_{240^o}$

7 $(1, -\sqrt{3})$

1 Tenemos que $x = 1$ y $y = -\sqrt{3}$

2 Calculamos el módulo

$|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2$

3 Calculamos el argumento

$\alpha = arc \, tg \, \cfrac{-\sqrt{3}}{+1} = 300^o$

Así la expresión en coordenadas polares es

$2_{300^o}$

8 $(2, 0)$

1 Tenemos que $x = 2$ y $y = 0$

2 Calculamos el módulo

$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$

3 Calculamos el argumento

$\alpha = arc \, tg \, \cfrac{0}{+2} = 0^o$

Así la expresión en coordenadas polares es

$2_{0^o}$

9 $(-2, 0)$

1 Tenemos que $x = -2$ y $y = 0$

2 Calculamos el módulo

$|\vec{v}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2$

3 Calculamos el argumento

$\alpha = arc \, tg \, \cfrac{0}{-2} = 180^o$

Así la expresión en coordenadas polares es

$2_{180^o}$

10 $(0, 2)$

1 Tenemos que $x = 0$ y $y = 2$

2 Calculamos el módulo

$|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$

3 Calculamos el argumento

$\alpha = arc \, tg \, \cfrac{+2}{0} = 90^o$

Así la expresión en coordenadas polares es

$2_{90^o}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Resumen

Resumen de vectores y producto escalar

Traslaciones, giros, simetria axial y central

Teoría

El vector unitario o de magnitud uno

Suma y resta de vectores

¿Cuales son los elementos y las clases de vectores?

La combinacion lineal de vectores

Sistema de referencia

Independencia lineal entre vectores

Dependencia e independencia lineal. Bases

Giros

Distancia entre dos puntos y modulo de un vector

Producto escalar de dos vectores

Operaciones con vectores – suma, resta y multiplicacion por escalar

Vectores en el espacio

Condicion para que tres puntos esten alineados

Traslaciones de vectores

Base ortogonal y base ortonormal de dos vectores

Simetria axial

Coordenadas del baricentro

Coordenadas del punto medio de un segmento

El vector de posicion y el vector en el plano

Producto escalar de vectores en el espacio cartesiano

Definicion y ejemplos del producto mixto de tres vectores

Definicion de vectores equipolentes y libres

Aplicaciones de vectores y segmentos

Resumen de vectores de un plano

Producto de un numero por un vector

Division de un segmento en una relación dada

Operaciones con vectores en el espacio

Definición de vectores

Simetria central

Transformaciones geométricas

Simetrico de un punto respecto de otro

Fórmulas

Vectores ortogonales y ortonormales

Calcular la Distancia entre dos puntos

Producto escalar de vectores parte II

Fórmulas de vectores

Combinacion lineal de vectores en el espacio

Producto cruz

Tipos de vectores

Producto punto

Angulo de dos vectores

Vectores y coordenadas

Suma analitica y grafica de vectores

Multiplicacion de un escalar por un vector

¿Qué son los vectores linealmente independientes?

Vectores linealmente dependientes

Ejercicios de vectores en el espacio

Interpretacion geometrica del producto escalar

Cosenos directores

Base ortogonal y base ortonormal – tres vectores

Sistemas de referencia

Dependencia e independencia lineal de vectores

Formulas del producto escalar de vectores

Vectores en el plano

Ejercicios interactivos

Ejercicios interactivos de las coordenadas del punto medio y del baricentro

Ejercicios interactivos de tres puntos alineados y división de un segmento en tres partes iguales

Ejercicios interactivos de traslaciones

Ejercicios interactivos de giros

Ejercicios interactivos de tres puntos alineados y division de un segmento en tres partes iguales

Suma de Vectores Ejercicios Resueltos

Ejercicios interactivos de homotecias

Ejercicios interactivos de operaciones con vectores

Ejercicios interactivos: modulo de un vector, distancia entre dos puntos

Ejercicios interactivos del vector posición y coordenadas de un vector

Ejercicios interactivos de vectores unitarios

Ejercicios interactivos de simetria axial

Ejercicios interactivos de simetria central

Ejercicios interactivos: el punto simetrico

Otros ejercicios

Ejercicios resueltos de vectores II

Ejercicios del producto escalar y vectorial

Ejercicios resueltos de traslaciones

Problemas de vectores

Ejercicios resueltos de vectores

Ejercicios y problemas resueltos de vectores y producto escalar

Ejercicios de vectores III

Ejercicios del producto escalar

Problemas de vectores en el espacio

Producto vectorial y mixto

Ejercicios de vectores (parte 2)

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Shirley

Septiembre 2021

transforme a las coordenadas faltante de los vectores coordenadas polares geográficas rectangulares y bases
1) R = (-6, -2)
2) S = (5, N 45° E)
3) F = (7, 350°)

Lucia

Febrero 2022

Me ayudarían con el punto P =(3,186) está expresando en coordenadas polares me ayudan a hallar en coordenadas cartesianas y representar las en graficas

Jaren Narváez

Mayo 2021

¡Hola! Espero se encuentre bien, este artículo me a servido mucho para la comprensión de mi tarea. Sin embargo aún me queda una duda. ¿Los vectores polares pueden ser restados? necesito su orientación urgente:(

Coordenadas cartesianas y polares

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Cambios de coordenadas

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Resumen

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Traslaciones, giros, simetria axial y central

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Giros

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Coordenadas del punto medio de un segmento

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Resumen de vectores de un plano

Producto de un numero por un vector

Division de un segmento en una relación dada

Operaciones con vectores en el espacio

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Simetria central

Transformaciones geométricas

Simetrico de un punto respecto de otro

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Vectores ortogonales y ortonormales

Calcular la Distancia entre dos puntos

Producto escalar de vectores parte II

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Producto cruz

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Producto punto

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Ejercicios interactivos del vector posición y coordenadas de un vector

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Ejercicios interactivos: el punto simetrico

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Ejercicios resueltos de vectores II

Ejercicios del producto escalar y vectorial