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Marta

17 mayo 2021

Temas

Definición de coordenadas cartesianas y polares
Cambios de coordenadas
Ejercicios de coordenadas cartesianas y polares

Definición de coordenadas cartesianas y polares

En un sistema de referencia ortonormal, a cada punto $P$ del plano le corresponde un vector $\overrightarrow{OP}$ , tal que:

El vector $\overrightarrow{OP}$ suele escribirse como

$\overrightarrow{OP} = x\hat{i} + y\hat{j}$

A los coeficientes $x$ e $y$ de la combinación lineal se les llama coordenadas del punto $P$ . La coordenada $x$ se llama abscisa y la coordenada $y$ ordenada.

Como la combinación lineal es única, a cada punto le corresponde un par de números y a cada par de números un punto.

Cuando se conoce el módulo del vector $\vec{v} = \overrightarrow{OP}$ y el ángulo $\alpha$ que forma con el eje $OX$ , se dice que el vector esta expresado en coordenadas polares.

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Cambios de coordenadas

Para pasar de coordenadas polares a cartesianas empleamos las siguientes fórmulas:

$x = |\vec{v}| \cdot cos \alpha$

$y = |\vec{v}| \cdot sen \alpha$

Ejemplo: Pasar a coordenadas cartesianas $2_{120^o}$

1 Tenemos que $r = 2$ y $\alpha = 120^o$

2 Calculamos la coordenada $x$

$x = 2 \cdot cos 120^o = -1$

3 Calculamos la coordenada $y$

$y = 2 \cdot sen 120^o = \sqrt{3}$

Así la expresión en coordenadas cartesianas es

$(-1, \sqrt{3})$

Para pasar de coordenadas cartesianas a polares empleamos las siguientes fórmulas:

Módulo

$|\vec{v} = \sqrt{x^2 + y^2}|$

Argumento o ángulo

$\alpha = arc \, tg \, \cfrac{y}{x} = \left \{ \begin{array}{l} \cfrac{+y}{+x} = \alpha, \\ \cfrac{+y}{-x} = 180^o - \alpha, \\ \cfrac{-y}{-x} = 180^o + \alpha, \\ \cfrac{-y}{+x} = 360^o - \alpha \end{array} \right.$

Ejemplo: Pasar a coordenadas polares $(1, \sqrt{3})$

1 Tenemos que $x = 1$ y $y = \sqrt{3}$

2 Calculamos el módulo

$|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + \sqrt{3}^2} = 2$

3 Calculamos el argumento

$\alpha = arc \, tg \, \cfrac{+\sqrt{3}}{+1} = 60^o$

Así la expresión en coordenadas polares es

$2_{60^o}$

Ejercicios de coordenadas cartesianas y polares

Pasar a coordenadas cartesianas los siguientes vectores expresados en coordenadas polares

1 $1_{0^o}$

1 Tenemos que $r = 1$ y $\alpha = 0^o$

2 Calculamos la coordenada $x$

$x = 1 \cdot cos 0^o = 1$

3 Calculamos la coordenada $y$

$y = 1 \cdot sen 0^o = 0$

Así la expresión en coordenadas cartesianas es

$(1, 0)$

2 $1_{180^o}$

1 Tenemos que $r = 1$ y $\alpha = 180^o$

2 Calculamos la coordenada $x$

$x = 1 \cdot cos 180^o = -1$

3 Calculamos la coordenada $y$

$y = 1 \cdot sen 180^o = 0$

Así la expresión en coordenadas cartesianas es

$(-1, 0)$

3 $1_{90^o}$

1 Tenemos que $r = 1$ y $\alpha = 90^o$

2 Calculamos la coordenada $x$

$x = 1 \cdot cos 90^o = 0$

3 Calculamos la coordenada $y$

$y = 1 \cdot sen 90^o = 1$

Así la expresión en coordenadas cartesianas es

$(0, 1)$

4 $1_{270^o}$

1 Tenemos que $r = 1$ y $\alpha = 270^o$

2 Calculamos la coordenada $x$

$x = 1 \cdot cos 270^o = 0$

3 Calculamos la coordenada $y$

$y = 1 \cdot sen 270^o = -1$

Así la expresión en coordenadas cartesianas es

$(0, -1)$

Pasar a coordenadas polares los siguientes vectores expresados en coordenadas cartesianas

5 $(-1, \sqrt{3})$

1 Tenemos que $x = -1$ y $y = \sqrt{3}$

2 Calculamos el módulo

$|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + \sqrt{3}^2} = 2$

3 Calculamos el argumento

$\alpha = arc \, tg \, \cfrac{+\sqrt{3}}{-1} = 120^o$

Así la expresión en coordenadas polares es

$2_{120^o}$

6 $(-1, -\sqrt{3})$

1 Tenemos que $x = -1$ y $y = -\sqrt{3}$

2 Calculamos el módulo

$|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2$

3 Calculamos el argumento

$\alpha = arc \, tg \, \cfrac{-\sqrt{3}}{-1} = 240^o$

Así la expresión en coordenadas polares es

$2_{240^o}$

7 $(1, -\sqrt{3})$

1 Tenemos que $x = 1$ y $y = -\sqrt{3}$

2 Calculamos el módulo

$|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2$

3 Calculamos el argumento

$\alpha = arc \, tg \, \cfrac{-\sqrt{3}}{+1} = 300^o$

Así la expresión en coordenadas polares es

$2_{300^o}$

8 $(2, 0)$

1 Tenemos que $x = 2$ y $y = 0$

2 Calculamos el módulo

$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$

3 Calculamos el argumento

$\alpha = arc \, tg \, \cfrac{0}{+2} = 0^o$

Así la expresión en coordenadas polares es

$2_{0^o}$

9 $(-2, 0)$

1 Tenemos que $x = -2$ y $y = 0$

2 Calculamos el módulo

$|\vec{v}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2$

3 Calculamos el argumento

$\alpha = arc \, tg \, \cfrac{0}{-2} = 180^o$

Así la expresión en coordenadas polares es

$2_{180^o}$

10 $(0, 2)$

1 Tenemos que $x = 0$ y $y = 2$

2 Calculamos el módulo

$|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$

3 Calculamos el argumento

$\alpha = arc \, tg \, \cfrac{+2}{0} = 90^o$

Así la expresión en coordenadas polares es

$2_{90^o}$

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Marta

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Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Jaren Narváez

Mayo

¡Hola! Espero se encuentre bien, este artículo me a servido mucho para la comprensión de mi tarea. Sin embargo aún me queda una duda. ¿Los vectores polares pueden ser restados? necesito su orientación urgente:(

Coordenadas cartesianas y polares

Definición de coordenadas cartesianas y polares

Cambios de coordenadas

Ejercicios de coordenadas cartesianas y polares

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La combinacion lineal de vectores

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Independencia lineal entre vectores

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Dependencia e independencia lineal. Bases

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