Traslación en el plano

1Una traslación en el plano está definida por un vector \overrightarrow{v}=(2,3). Hallar la imagen por dicha traslación de un punto A(4,1).

translación de un vector

Recordemos que la translación por el vector \overrightarrow{v}=(2,3) está dada por

 

    $$T_{\overrightarrow{v}}(U)=(u_{1}+2,u_{2}+3),$$

 

donde U = (u_{1},u_{2}). Por lo tanto la imagen por dicha translación del vector del A(4,1), es

    $$A'=T_{\overrightarrow{v}}(A)=(4+2,1+3)=(6,4).$$

 

Traslación de circunferencias

 

2Una traslación en el plano está definida por un vector \overrightarrow{v}=(2,-3).

a Hallar la imagen por dicha traslación de un punto A(1,3).

b Hallar la transformada de una circunferencia que tiene de centro (3,4) y de radio 1.

transformada de una circunferencia

 

Para resolver la parte a podemos proceder de la misma forma que el ejercicio 1, en este caso la traslación definida por \overrightarrow{v}=(2,-3) es

 

    $$T_{\overrightarrow{v}}(U)=(u_{1}+2,u_{2}-3),$$

donde U=(u_{1},u_{2}).

 

Esto implica que la imagen del punto A(1,3) por dicha traslación es

    $$A'=T_{\overrightarrow{v}}(A)=(1+2,3-3)=(3,0),$$

como indica la figura.

 

Para resolver el inciso b , lo que debemos hacer es hallar la traslación del centro del circunferencia respecto al vector \overrightarrow{v}=(2,-3). Luego,  la transformada que estamos buscando, será la circunferencia con centro en la traslación y radio 1; el mismo radio de la circunferencia inicial.

Obtengamos la traslación de su centro:

 

    $$O'=T_{\overrightarrow{v}}(O)=T_{\overrightarrow{v}}(3,4)=(3+2,4-3)=(5,1).$$

 

Como lo mencionamos antes, la transformada de la circunferencia de centro O(3,4) y radio r=1, es la circunferencia con centro en O'(5,1) y radio r'=1, tal como se observa en la figura.

 

3En una traslación mediante el vector \overrightarrow{v}, un punto A(3,-2) se transforma en un puntoA'(1,5). Calcular:

aEl transformado del punto B(-2,4).

bLa transformada de una circunferencia de centro (1,2) y radio 3.

translación de figuras geométricas

 

Para el inciso a encontremos primero el vector \overrightarrow{v}. Esto lo podemos hacer de

la siguiente forma, la traslación por \overrightarrow{v} del punto A(3,-2) es igual a A'(1,5), entonces

 

    $$T_{\overrightarrow{v}}(A)=(v_{1}+3,v_{2}-2)=(1,5).$$

 

Esta igualdad nos dice que v_{1}+3=1 y v_{2}-2=5.

 

Despejando v_{1}  y v_{2}, tenemos que v_{1}=-2  y v_{2}=7, asi \overrightarrow{v}=(-2,7).

 

Finalmente, el transformado de B(-2,4)  respecto a \overrightarrow{v}=(-2,7) es

 

    $$T_{\overrightarrow{v}}(B)=(v_{1}-2,v_{2}+4)=(-2-2,7+4)=(-4,11).$$

 

Notemos que este resultado lo podemos apreciar en la figura.

 

Para resolver b , primero debemos hallar el transformado del centro O(1,2), que es

 

    $$O'=T_{\overrightarrow{v}}(O)=(v_{1}+1,v_{2}+2)=(-2+1,7+2)=(-1,9).$$

 

De esta forma la transformada de una circunferencia de centro O(1,2) y radio r=3, es una circunferencia con centro O(-1,9) y radio r'=3.

Traslación de triángulos

 

4Una traslación tiene de vector \overrightarrow{v}=(3,-3). Hallar la figura transformada de un triángulo cuyos vértices son: A(0,0), B(5,7) y C(8,4).

transformada de triángulos

 

La transformada de un triángulo con vértices A(0,0), B(5,7) y C(8,4), es el triangulo con vértices A', B' y C', donde A' es la translación de A, B' es la translación de B y C' es la translación de C, todas con respecto a \overrightarrow{v}=(3,-3).

 

Sabiendo esto, procedamos a calcular dichas translaciones.

 

    $$A'=T_{\overrightarrow{v}}(A)=(v_{1}-2,v_{2}+4)=(3+0,-3+0)=(3,-3),$$

 

    $$B'=T_{\overrightarrow{v}}(B)=(v_{1}-2,v_{2}+4)=(3+5,-3+7)=(8,4),$$

 

    $$C'=T_{\overrightarrow{v}}(C)=(v_{1}-2,v_{2}+4)=(3+8,-3+4)=(11,1).$$

 

Así como lo podemos apreciar en la figura, el triángulo que buscamos tiene como vértices a

    $$A'(3,-3), B'(8,4), C'(11,1).$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗