Vectores linealmente dependientes

 

Un conjunto de vectores se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal. Es decir,

a_1 \vec{v}_1+a_2 \vec{v}_2+...+a_n \vec{v}_n=\vec{0}
y a_i\not =0 para algún valor de i=1,2,...,n

Propiedades

1 Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

a_1 \vec{v}_1+a_2 \vec{v}_2+...+a_n \vec{v}_n=\vec{0}

Si \displaystyle a_1 \not =0 entonces \displaystyle \vec{v}_1=-\frac{a_2}{a_1}\vec{v}_2-\frac{a_3}{a_1}\vec{v}_3-...-\frac{a_n}{a_1}\vec{v}_n

 

También se cumple el recíproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

2 Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.
3 Dos vectores del plano \vec{u}=(u_1,u_2) y \vec{v}=(v_1,v_2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

\vec{u}=k\vec{v} \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} (u_1,u_2)=k(v_1,v_2)

 

\displaystyle \frac{u_1}{v_1}=\frac{u_2}{v_2}=k

 

Superprof

Vectores linealmente independientes

 

Un conjunto de vectores se dice linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por lo que la siguiente expresión

a_1 \vec{v}_1+a_2 \vec{v}_2+...+a_n \vec{v}_n=\vec{0}

Será cierta sólo cuando todos los coeficientes sean iguales a cero.

a_1=a_2 =...=a_n=0

Los vectores linealmente independientes en el plano tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

Ejemplo:

Determinar si son linealmente dependientes o independientes los vectores.

  • \vec{u}=(3,1)
  • \vec{v}=(2,3)

 

\displaystyle \frac{3}{2}\not =\frac{1}{3} \hspace{1cm}\text{pues}\hspace{1cm} 3\cdot 3 \not=2\cdot 1

Como sus componentes no son proporcionales entonces, son linealmente independientes.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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