Name: El vector unitario o de magnitud uno
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Normalizar un vector
Ejemplos de problemas de normalización

Sea $\vec{v}$ un vector diferente de cero, dicho vector tiene alguna magnitud, dirección y sentido. En muchas ocasiones por razones de simplificación de cálculos, es necesario generar a otro vector que tenga la misma dirección y sentido que $\displaystyle \vec{v}$ , pero con magnitud uno (unitario), por esta razón hacemos uso de un proceso llamado normalización.

Normalizar un vector

Normalizar, consite en tomar a un vector $\displaystyle \vec{v}$ distinto de cero, y con él obtener un vector $\displaystyle \vec{u}$ , de la misma dirección y sentido que $\displaystyle \vec{v}$ pero con magnitud uno.

Primero tomamos a un vector $\displaystyle\vec{v}=(v_1,v_2)$ diferente de cero
Ahora calculamos su magnitud ( la cual debe ser diferente de cero)

$\displaystyle \left \| \vec{v} \right \|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$

Mutiplicamos a $\displaystyle\vec{v}$ por el recíproco de la magnitud, y el vector que nos queda es $\vec{u}$

$\displaystyle \vec{u}=\frac{1}{\left \| \vec{v} \right \|}\vec{v}$

Comprobemos entonces que la magnitud de $\displaystyle \vec{u}$ es uno.

$\displaystyle \left \| \vec{u} \right \|=\left \| \frac{1}{\left \| \vec{v} \right \|} \vec{v} \right \|=\left \| \frac{1}{\left \| \vec{v} \right \|} \left ( v_1,v_2 \right ) \right \|=\left \| \left ( \frac{v_1}{\left \| \vec{v} \right \|},\frac{v_2}{\left \| \vec{v} \right \|} \right ) \right \|$

$\displaystyle\left \| \vec{u} \right \|=\left \| \left ( \frac{v_1}{\left \| \vec{v} \right \|},\frac{v_2}{\left \| \vec{v} \right \|} \right ) \right \|=\sqrt{\left ( \frac{v_1}{\left \| \vec{v} \right \|} \right )^2+\left ( \frac{v_2}{\left \| \vec{v} \right \|} \right )^2}$

$\displaystyle \left \| \vec{u} \right \|=\sqrt{\left ( \frac{v_1}{\left \| \vec{v} \right \|} \right )^2+\left ( \frac{v_2}{\left \| \vec{v} \right \|} \right )^2}=\sqrt{\frac{v_1^2}{\left \| \vec{v} \right \|^2}+\frac{v_2^2}{\left \| \vec{v} \right \|^2}}=\sqrt{\frac{v_1^2+v_2^2}{\left \| \vec{v} \right \|^2}}$

$\displaystyle \left \| \vec{u} \right \|=\sqrt{\frac{v_1^2+v_2^2}{\left \| \vec{v} \right \|^2}}=\frac{\sqrt{v_1^2+v_2^2}}{\left \| \vec{v} \right \|}=\frac{\left \| \vec{v} \right \|}{\left \| \vec{v} \right \|}=1$

esto comprueba que el vector obtenido tiene las características deseadas

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Ejemplos de problemas de normalización

1Si $\vec{v}=(3,4)$ , hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.

Solución:

$\displaystyle \left \| \vec{v} \right \|=\sqrt{3^{2}+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

entonces

$\displaystyle \vec{u}=\frac{1}{5}\left ( 3,4 \right )= \left ( \frac{3}{5},\frac{4}{5} \right )$

Es importante mencionar que el proceso también es válido para dimensiones $\displaystyle n\geq 2$ , como se analiza en el siguiente ejemplo.

2Si $\displaystyle\vec{v}=(3,-2,9)$ , hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.

Solución:

$\displaystyle \left \| \vec{v} \right \|=\sqrt{3^2+(-2)^2+9^2}=\sqrt{9+4+81}= \sqrt{94}$

entonces

$\displaystyle \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{94}}\left ( 3,-2,9 \right )= \left ( \frac{3}{\sqrt{94}},\frac{-2}{\sqrt{94}},\frac{9}{\sqrt{94}} \right )$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Cometta
Invité

5 Jun.

un vector unitario tiene que tener norma 1 y eso no da norma 1

Carlos Alberto Palafox Benitez
Invité

27 Oct.

Me temo que estas en un error, dado el vector u = (3/5, 4/5)

su norma es : [(3/5)^2 + (4/5)^2]^(1/2)

desarrollamos las potencias:

[(9/25) + (16/25)]^(1/2)

Sumamos:

[25/25] ^(1/2)

[1]^(1/2)

Raíz cuadrada de 1 es 1. Por lo tanto el vector u, es un vector unitario.

Risco
Invité

27 Abr.

hola, tengo una duda, como se soluciona si me dieran el vector ( 1, a, 3) y me piden que calcule el valor de a para que ese vector sea unitario?

Luis Ernesto Sanchez Perez
Editor

28 Jun.

Buen día

El que un vector sea unitario significa que su norma es igual a 1, entonces, suponiendo que usas la norma euclidiana, tu vector debe cumplir que

$\begin{align*} || (1, a, 3)|| &= \sqrt{1^2 + a^2 + 3^2}\\ &= \sqrt{1 + a^2 + 9}\\ &= \sqrt{10 + a^2}\\ &= 1 \end{align*}$

Esto es $\sqrt{10 + a^2} = 1$ , elevando al cuadradado ambos lados tenemos $10 + a^2 = 1$ o bien $a^2 = -9$ , notemos que esto nos da $a = 3i$ , por lo tanto, a es una coordenada imaginaria o si estás tratanto solo con reales, entonces no existe a que cumpla que tu vector sea unitario.

Vector de magnitud uno (unitario)

Normalizar un vector

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