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Normalizar un vector
Ejemplos de problemas de normalización

Sea $\vec{v}$ un vector diferente de cero, dicho vector tiene alguna magnitud, dirección y sentido. En muchas ocasiones por razones de simplificación de cálculos, es necesario generar a otro vector que tenga la misma dirección y sentido que $\displaystyle \vec{v}$ , pero con magnitud uno (unitario), por esta razón hacemos uso de un proceso llamado normalización.

Normalizar un vector

Normalizar, consite en tomar a un vector $\displaystyle \vec{v}$ distinto de cero, y con él obtener un vector $\displaystyle \vec{u}$ , de la misma dirección y sentido que $\displaystyle \vec{v}$ pero con magnitud uno.

Primero tomamos a un vector $\displaystyle\vec{v}=(v_1,v_2)$ diferente de cero
Ahora calculamos su magnitud ( la cual debe ser diferente de cero)

$\displaystyle \left \| \vec{v} \right \|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$

Mutiplicamos a $\displaystyle\vec{v}$ por el recíproco de la magnitud, y el vector que nos queda es $\vec{u}$

$\displaystyle \vec{u}=\frac{1}{\left \| \vec{v} \right \|}\vec{v}$

Comprobemos entonces que la magnitud de $\displaystyle \vec{u}$ es uno.

$\displaystyle \left \| \vec{u} \right \|=\left \| \frac{1}{\left \| \vec{v} \right \|} \vec{v} \right \|=\left \| \frac{1}{\left \| \vec{v} \right \|} \left ( v_1,v_2 \right ) \right \|=\left \| \left ( \frac{v_1}{\left \| \vec{v} \right \|},\frac{v_2}{\left \| \vec{v} \right \|} \right ) \right \|$

$\displaystyle\left \| \vec{u} \right \|=\left \| \left ( \frac{v_1}{\left \| \vec{v} \right \|},\frac{v_2}{\left \| \vec{v} \right \|} \right ) \right \|=\sqrt{\left ( \frac{v_1}{\left \| \vec{v} \right \|} \right )^2+\left ( \frac{v_2}{\left \| \vec{v} \right \|} \right )^2}$

$\displaystyle \left \| \vec{u} \right \|=\sqrt{\left ( \frac{v_1}{\left \| \vec{v} \right \|} \right )^2+\left ( \frac{v_2}{\left \| \vec{v} \right \|} \right )^2}=\sqrt{\frac{v_1^2}{\left \| \vec{v} \right \|^2}+\frac{v_2^2}{\left \| \vec{v} \right \|^2}}=\sqrt{\frac{v_1^2+v_2^2}{\left \| \vec{v} \right \|^2}}$

$\displaystyle \left \| \vec{u} \right \|=\sqrt{\frac{v_1^2+v_2^2}{\left \| \vec{v} \right \|^2}}=\frac{\sqrt{v_1^2+v_2^2}}{\left \| \vec{v} \right \|}=\frac{\left \| \vec{v} \right \|}{\left \| \vec{v} \right \|}=1$

esto comprueba que el vector obtenido tiene las características deseadas

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