Sea \vec{v} un vector diferente de cero, dicho vector tiene  alguna magnitud, dirección y sentido. En muchas ocasiones por razones de simplificación de cálculos, es necesario generar a otro vector que tenga la misma dirección y sentido que \displaystyle \vec{v}, pero con magnitud uno (unitario), por esta razón hacemos uso de un proceso llamado normalización.

 

 

Normalizar un vector

 

Normalizar,  consite en tomar a un vector \displaystyle \vec{v} distinto de cero, y con él obtener un vector \displaystyle \vec{u}, de la misma dirección y sentido que \displaystyle \vec{v} pero con magnitud uno.

 

  • Primero tomamos a un vector \displaystyle\vec{v}=(v_1,v_2) diferente de cero
  • Ahora calculamos su magnitud ( la cual debe ser diferente de cero)

 

\displaystyle \left \| \vec{v} \right \|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}

 

  • Mutiplicamos a \displaystyle\vec{v} por el recíproco de la magnitud, y el vector que nos queda es \vec{u}

 

\displaystyle \vec{u}=\frac{1}{\left \| \vec{v} \right \|}\vec{v}

 

Comprobemos entonces que la magnitud de \displaystyle \vec{u} es uno.

 

 

\displaystyle \left \| \vec{u} \right \|=\left \| \frac{1}{\left \| \vec{v} \right \|} \vec{v} \right \|=\left \| \frac{1}{\left \| \vec{v} \right \|} \left ( v_1,v_2 \right ) \right \|=\left \| \left ( \frac{v_1}{\left \| \vec{v} \right \|},\frac{v_2}{\left \| \vec{v} \right \|} \right ) \right \|

 

 

\displaystyle\left \| \vec{u} \right \|=\left \| \left ( \frac{v_1}{\left \| \vec{v} \right \|},\frac{v_2}{\left \| \vec{v} \right \|} \right ) \right \|=\sqrt{\left ( \frac{v_1}{\left \| \vec{v} \right \|} \right )^2+\left ( \frac{v_2}{\left \| \vec{v} \right \|} \right )^2}

 

 

\displaystyle \left \| \vec{u} \right \|=\sqrt{\left ( \frac{v_1}{\left \| \vec{v} \right \|} \right )^2+\left ( \frac{v_2}{\left \| \vec{v} \right \|} \right )^2}=\sqrt{\frac{v_1^2}{\left \| \vec{v} \right \|^2}+\frac{v_2^2}{\left \| \vec{v} \right \|^2}}=\sqrt{\frac{v_1^2+v_2^2}{\left \| \vec{v} \right \|^2}}

 

 

\displaystyle \left \| \vec{u} \right \|=\sqrt{\frac{v_1^2+v_2^2}{\left \| \vec{v} \right \|^2}}=\frac{\sqrt{v_1^2+v_2^2}}{\left \| \vec{v} \right \|}=\frac{\left \| \vec{v} \right \|}{\left \| \vec{v} \right \|}=1

 

 

esto comprueba que el vector obtenido tiene las características deseadas

 

\displaystyle \left \| \vec{v} \right \|=\sqrt{3^2+(-2)^2+9^2}=\sqrt{9+4+81}= \sqrt{94}

 

entonces

 

\displaystyle \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{94}}\left ( 3,-2,9 \right )= \left ( \frac{3}{\sqrt{94}},\frac{-2}{\sqrt{94}},\frac{9}{\sqrt{94}} \right )

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗