Sea \vec{v} un vector diferente de cero, dicho vector tiene  alguna magnitud, dirección y sentido. En muchas ocasiones por razones de simplificación de cálculos, es necesario generar a otro vector que tenga la misma dirección y sentido que \displaystyle \vec{v}, pero con magnitud uno (unitario), por esta razón hacemos uso de un proceso llamado normalización.

 

 

Normalizar un vector

 

Normalizar,  consite en tomar a un vector \displaystyle \vec{v} distinto de cero, y con él obtener un vector \displaystyle \vec{u}, de la misma dirección y sentido que \displaystyle \vec{v} pero con magnitud uno.

 

  • Primero tomamos a un vector \displaystyle\vec{v}=(v_1,v_2) diferente de cero
  • Ahora calculamos su magnitud ( la cual debe ser diferente de cero)

 

\displaystyle \left \| \vec{v} \right \|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}

 

  • Mutiplicamos a \displaystyle\vec{v} por el recíproco de la magnitud, y el vector que nos queda es \vec{u}

 

\displaystyle \vec{u}=\frac{1}{\left \| \vec{v} \right \|}\vec{v}

 

Comprobemos entonces que la magnitud de \displaystyle \vec{u} es uno.

 

 

\displaystyle \left \| \vec{u} \right \|=\left \| \frac{1}{\left \| \vec{v} \right \|} \vec{v} \right \|=\left \| \frac{1}{\left \| \vec{v} \right \|} \left ( v_1,v_2 \right ) \right \|=\left \| \left ( \frac{v_1}{\left \| \vec{v} \right \|},\frac{v_2}{\left \| \vec{v} \right \|} \right ) \right \|

 

 

\displaystyle\left \| \vec{u} \right \|=\left \| \left ( \frac{v_1}{\left \| \vec{v} \right \|},\frac{v_2}{\left \| \vec{v} \right \|} \right ) \right \|=\sqrt{\left ( \frac{v_1}{\left \| \vec{v} \right \|} \right )^2+\left ( \frac{v_2}{\left \| \vec{v} \right \|} \right )^2}

 

 

\displaystyle \left \| \vec{u} \right \|=\sqrt{\left ( \frac{v_1}{\left \| \vec{v} \right \|} \right )^2+\left ( \frac{v_2}{\left \| \vec{v} \right \|} \right )^2}=\sqrt{\frac{v_1^2}{\left \| \vec{v} \right \|^2}+\frac{v_2^2}{\left \| \vec{v} \right \|^2}}=\sqrt{\frac{v_1^2+v_2^2}{\left \| \vec{v} \right \|^2}}

 

 

\displaystyle \left \| \vec{u} \right \|=\sqrt{\frac{v_1^2+v_2^2}{\left \| \vec{v} \right \|^2}}=\frac{\sqrt{v_1^2+v_2^2}}{\left \| \vec{v} \right \|}=\frac{\left \| \vec{v} \right \|}{\left \| \vec{v} \right \|}=1

 

 

esto comprueba que el vector obtenido tiene las características deseadas

 

Superprof

Ejemplos de problemas de normalización

 

1Si \vec{v}=(3,4), hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.

 

Solución:

 

\displaystyle \left \| \vec{v} \right \|=\sqrt{3^{2}+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

 

entonces

 

\displaystyle \vec{u}=\frac{1}{5}\left ( 3,4 \right )= \left ( \frac{3}{5},\frac{4}{5} \right )

 

 

Es importante mencionar que el proceso también es válido para dimensiones \displaystyle n\geq 2, como se analiza en el siguiente ejemplo.

 

 

2Si \displaystyle\vec{v}=(3,-2,9), hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.

 

Solución:

 

\displaystyle \left \| \vec{v} \right \|=\sqrt{3^2+(-2)^2+9^2}=\sqrt{9+4+81}= \sqrt{94}

 

entonces

 

\displaystyle \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{94}}\left ( 3,-2,9 \right )= \left ( \frac{3}{\sqrt{94}},\frac{-2}{\sqrt{94}},\frac{9}{\sqrt{94}} \right )

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Cometta
Cometta
Invité
5 Jun.

un vector unitario tiene que tener norma 1 y eso no da norma 1

Carlos Alberto Palafox Benitez
Carlos Alberto Palafox Benitez
Invité
27 Oct.

Me temo que estas en un error, dado el vector u = (3/5, 4/5)

su norma es : [(3/5)^2 + (4/5)^2]^(1/2)

desarrollamos las potencias:

[(9/25) + (16/25)]^(1/2)

Sumamos:

[25/25] ^(1/2)

[1]^(1/2)

Raíz cuadrada de 1 es 1. Por lo tanto el vector u, es un vector unitario.

Risco
Risco
Invité
27 Abr.

hola, tengo una duda, como se soluciona si me dieran el vector ( 1, a, 3) y me piden que calcule el valor de a para que ese vector sea unitario?

Luis Ernesto Sanchez Perez
Luis Ernesto Sanchez Perez
Editor
28 Jun.

Buen día

El que un vector sea unitario significa que su norma es igual a 1, entonces, suponiendo que usas la norma euclidiana, tu vector debe cumplir que

     \begin{align*} || (1, a, 3)|| &= \sqrt{1^2 + a^2 + 3^2}\\ &= \sqrt{1 + a^2 + 9}\\ &= \sqrt{10 + a^2}\\ &= 1 \end{align*}

Esto es \sqrt{10 + a^2} = 1, elevando al cuadradado ambos lados tenemos 10 + a^2 = 1 o bien a^2 = -9, notemos que esto nos da a = 3i, por lo tanto, a es una coordenada imaginaria o si estás tratanto solo con reales, entonces no existe a que cumpla que tu vector sea unitario.

Saludos.