• Un vector fijo \overrightarrow{AB} es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).
  • Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden.
  • El módulo del vector\overrightarrow{AB} es la longitud del segmento AB.
  • El módulo se representa por \overrightarrow{AB}.
  • La direcccíon del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.
  • El sentido del vector \overrightarrow{AB} es el que va desde el origen A al extremo B.

 

Clasificación de los vectores

 

1 Vectores equipolentes:

representación gráfica de vectores equipolentes

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.

 

2Vectores libres:

 

representación gráfica de vectores libres

 

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Cada vector fijo es un representante del vector libre.

 

 

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Coordenadas de un Vector

 

 

1 Vector de posición de un punto en el plano de coordenadas

 

El vector \overrightarrow{OP} que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición del punto P.

 

 

2Coordenadas o componentes de un vector en el plano

 

Si las coordenadas de A y B son:

A(x_1,y_1) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B(x_2,y_2)

 

 

Las coordenadas o componentes del vector \overrightarrow{AB} son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

 

\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1, y_2-y_1)

 

Módulo de un vector

 

 

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

 

El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.

 

 

Cálculo del módulo conociendo sus componentes

 

 

\vec u = (u_1, u_2)

 

\left | \vec u \right | = \sqrt{{u_1}^{2}+{u_2}^{2}}

 

Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

 

 

 

representación gráfica de cálculo de módulo vectores

 

 

A(x_1,y_1) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B(x_2,y_2)
\left |\overrightarrow{AB} \right |=\sqrt{(x_2-x_1)^{2} + (y_2-y_1)^{2}}

Distancia entre dos puntos

 

La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

 

A(x_1,y_1) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B(x_2,y_2)

d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^{2} + (y_2-y_1)^{2}}

 

Módulo la unidad

 

\displaystyle \vec u = \frac{ \vec v }{\left | \vec v \right |}

 

Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad.

 

Suma de vectores

 

representación gráfica de suma de vectores libres

 

Para sumar dos vectores libres  \vec u y  \vec v se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

 

representación gráfica de suma de vectores

 

Regla del paralelogramo

 

Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

 

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

 

 \vec u = (u_1,u_2) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec v = (v_1,v_2)

 

 \vec u + vec v = (u_1 + v_1, v_1 + v_2)

 

 

Resta de vectores

 

representación gráfica de resta de vectores

 

Para restar dos vectores libres  \vec u y  \vec v se suma  \vec u con el opuesto de  \vec v .

 

Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

 

 \vec u = (u_1,u_2) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec v = (v_1,v_2)

 

 \vec u - vec v = (u_1 - v_1, v_1 - v_2)

 

Producto de un número por un vector

 

El producto de un número  k por un vector  \vec u  es otro vector:

 

1 De igual dirección que el vector  \vec u .

 

2 Del mismo sentido que el vector  \vec u  si   k  es positivo.

 

3 De sentido contrario del vector  \vec u  si  k   es negativo.

 

4 De módulo  \left | k \right | \cdot \left | \vec u \right |

 

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por  k   las componentes del vector.

 \vec u = (u_1,u_2)

 

 k \cdot (u_1,u_2)  = (k \cdot u_1, k \cdot u_2)

 

Combinación lineal de vectores

 

Dados dos vectores:  \vec u y  \vec v , y dos números:  a y  b , el vector  a \vec u + b \vec v  se dice que es una combinación lineal de  \vec u y  \vec v .

 

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.

 

 \vec w = \overrightarrow{2u} + \overrightarrow{3v}

 

Esta combinación lineal es única.

 

 

representación gráfica de combinación lineal

 

 

Sistema de referencia

 

 

representación gráfica de un sistema de referencia de vectores u y v

 

En el plano, un sistema de referencia está constituido por un punto  O del plano y una base (  \vec u ,  \vec v ).

 

El punto  O del sistema de referencia se llama origen.

 

Los vectores  \vec u ,  \vec v  no paralelos forman la base.

 

 

Bases

 

1Ortogonal

Los vectores base son perpendiculares, pero de distinto módulo.

 

2 Ortonormal

representación gráfica de base ortonormal

 

Los vectores de la base son perpendiculares y unitarios, es decir, de módulo  1 .

 

Se representan por las letras  \vec i, \vec j .

 

 \vec i = 1 \cdot \vec i + 0 \cdot \vec j \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \vec i = (1,0).

 

 \vec j = 0 \cdot \vec i + 1 \cdot \vec j \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \vec j = (0,1).

Las rectas  OX ,  OY   se llaman ejes de coordenadas o ejes coordenados cartesianos.

 

Coordenadas del punto medio de un segmento

 

representación gráfica de las coordenadas del punto medio de un segmento

 

Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos.

 

\displaystyle x_M=\frac{x_1+x_2}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y_M=\frac{y_1+y_2}{2}

 

Condición para qué tres puntos estén alineados

 

 

representación gráfica de tres puntos alineados

 

 

Los puntos  A (x_1 , y_1) ,  B (x_2 , y_2)  y  C (x_3 , y_3) están alineados siempre que los vectores \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{BC} tengan la misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales.

 

 \displaystyle \frac{x_2 - x_1}{x_3 - x_2}=\frac{y_2 - y_1}{y_3-y_2}

 

Simétrico de un punto respecto de otro

 

 

grafica de simetria entre 2 puntos

 

 

Si  A' es el simétrico de  A respecto de  M , entonces  M   es el punto medio del segmento  AA' . Por lo que se verificará igualdad:

 

\overrightarrow{AM}= \overrightarrow{MA'}

 

Coordenadas del baricentro

 

gráfica de las coordenadas del barricentro

 

Baricentro o centro de gravedad de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas.

 

Las coordenadas del baricentro son:

 

 \displaystyle G \left (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3 }{3} \right )

 

 

 

División de un segmento en una relación dada

 

Dividir un segmento  AB en una relación dada  r es determinar un punto  P de la recta que contiene al segmento  AB , de modo que las dos partes,  PA y  PB , están en la relación  r :

 

 \displaystyle \frac{PA}{PB}=r

 

Producto escalar

 

El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

 

 \vec u \cdot \vec v = \left | \vec u \right | \cdot \left | \vec v \right | \cdot cos \alpha

 

1Expresión analítica del producto escalar

 

 \vec u \cdot \vec v = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2

 

2Expresión analítica del módulo de un vector

 

 \left | \vec u \right | =\sqrt { \vec u \cdot \vec u} = \sqrt{u_1 \cdot u_2 + u_2 \cdot u_2}= \sqrt{{u_1}^{2} + {u_2}^{2} }

 

 \vec u = (3,0) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec v = (5,5)

 

3 Expresión analítica del ángulo de dos vectores

 

 \displaystyle cos \alpha = \frac{u_1 \cdot v_1 \cdot u_2 \cdot v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2} \cdot \sqrt{v_1^2+v_2^2}}

 

4 Condición analítica de la ortogonalidad de dos vectores

 

 \vec u \cdot \vec v =0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 = 0

 

Proyección

 

El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

 

representación gráfica de la proyecction de un vector

 

 \displaystyle cos \alpha = \frac{OA'}{\left | \vec v \right |} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ OA'=\left | \vec u \right | \cdot cos \alpha

 

 \displaystyle \vec u \cdot \vec v  = \left | \vec v \right | \cdot OA' \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ OA'=\left | \vec u \right | \cdot cos \alpha

 

 \displaystyle \vec u \cdot \vec v  = \left | \vec v \right | \cdot OA' \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ OA'= \frac{\vec u \cdot \vec v}{\left | \vec v \right |}

 

Propiedades del producto escalar

 

1 Conmutativa

 \vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u

 

2 Asociativa

k \cdot (\vec u \cdot \vec v) = (k \cdot \vec u) \cdot \vec v

 

3 Distributiva

\vec u \cdot (\vec v + \vec w) =\vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w

 

4 El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

 

 \vec u \neq 0 \Rightarrow \vec u \cdot \vec u > 0

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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pepi
pepi
Invité
10 Jul.

muy bueno

Superprof
Superprof
Administrateur
13 Jul.

¡Gracias Pepi!