1Si M_1(2, 1), M_2(3, 3) y M_3(6, 2) son los puntos medios de los lados de un triángulo, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo?

1Graficamos los puntos medios del triángulo y representamos los vértices A(x_1, y_1),  B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)

 

ejercicios de vectores 1

 

2De la fórmula de punto medio se obtiene para la primera coordenada

 

\left \{ \begin{array}{l} \cfrac{x_1 + x_2}{2}  = 6 \\\\ \cfrac{x_2 + x_3}{2} = 2  \\\\ \cfrac{x_1 + x_3}{2} = 3 \end{array} \right. \ \ \ \Longrightarrow  \ \ \  \left \{ \begin{array}{l} x_1 + x_2  = 12 \\ x_2 + x_3 = 4  \\ x_1 + x_3 = 6 \end{array} \right.

 

Restamos la segunda ecuación de la primera y el resultado lo restamos de la tercera, obteniendo

 

\begin{array}{rcl}x_1 + x_2 &  = & 12 \\ - x_2 - x_3 & = & -4 \\ \hline  x_1 - x_3 & = & 8, \end{array}

 

\begin{array}{rcl}x_1 - x_3 & = & 8 \\ - x_1 - x_3 & = & -6 \\ \hline - 2x_3 & = & 2 \\ x_3 & = & -1 \end{array}

 

Luego x_1 = 7 y x_2 = 5

 

3De la fórmula de punto medio se obtiene para la segunda coordenada

 

\left \{ \begin{array}{l} \cfrac{y_1 + y_2}{2} = 2 \\\\ \cfrac{y_2 + y_3}{2} = 1 \\\\ \cfrac{y_1 + y_3}{2} = 3 \end{array} \right. \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left \{ \begin{array}{l} y_1 + y_2 = 4 \\ y_2 + y_3 = 2 \\ y_1 + y_3 = 6 \end{array} \right.

 

Restamos la segunda ecuación de la primera y el resultado lo restamos de la tercera, obteniendo

 

\begin{array}{rcl}y_1 + y_2 & = & 4 \\ - y_2 - y_3 & = & -2 \\ \hline y_1 - y_3 & = & 2, \end{array}

 

\begin{array}{rcl}y_1 - y_3 & = & 2 \\ - y_1 - y_3 & = & -6 \\ \hline - 2y_3 & = & -4 \\ y_3 & = & 2 \end{array}

 

Luego y_1 = 4 y y_2 = 0

 

4Así, los vértices son: A(7, 4),  B(5, 0), C(-1, 2)

 

2Probar que los puntos: A(1, 7), B(4, 6), C(1, -3) y D(-4, 2) pertenecen a una circunferencia de centro O(1, 2).

1Los puntos de una circunferencia equidistan del centro, por lo que hay que verificar que las distancias de los puntos al centro sea la misma

 

2Calculamos las distancias

 

d(O, A) = \sqrt{(1 - 1)^2 + (7 - 2)^2} = 5

d(O, B) = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = 5

d(O, C) = \sqrt{(1 - 1)^2 + (-3 - 2)^2} = 5

d(O, A) = \sqrt{(-4 - 1)^2 + (2 - 2)^2} = 5

 

De esta forma se garantiza que los cuatro puntos pertenecen a una circunferencia con centro O(1, 2)

 

3Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, −3), B(3, 0), C(0, 1).

1Graficamos los puntos

 

ejercicios de vectores 2

 

2Calculamos las distancias de los lados

 

|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(3 - 4)^2 + (0 + 3)^2} = \sqrt{10}

\overrightarrow{BC} = \sqrt{(0 - 3)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{10}

\overrightarrow{AC} = \sqrt{(0 - 4)^2 + (1 + 3)^2} = \sqrt{32}

 

De esta forma se garantiza que el triángulo es isósceles

 

3Clasificamos de acuerdo a sus ángulos:

 

Si |\overrightarrow{AC}|^2 < |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2 entonces es acutángulo.

 

Si |\overrightarrow{AC}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2 entonces es rectángulo.

 

Si |\overrightarrow{AC}|^2 > |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2 entonces es obtusángulo.

 

Como 32 > 10 + 10 entonces es obtusángulo.

 

4Normalizar los siguientes vectores: \vec{u} = (1, \sqrt{2}), \ \vec{v} = (-4, 3), \ \vec{w} = (6, -8).

1Para normalizar un vector, tenemos que dividir cada coordenada del vector entre la longitud del vector.

 

2Calculamos las longitudes de los vectores

 

|\vec{u}}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}

\vec{v} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = 5

\vec{w} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = 10

 

3Normalizamos los vectores

 

\cfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|} = \left ( \cfrac{1}{\sqrt{3}}, \cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \right ).

\cfrac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \left ( -\cfrac{4}{5}, \cfrac{3}{5} \right ).

\cfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|} = \left ( \cfrac{6}{10}, -\cfrac{8}{10} \right ).

 

5Hallar k si el ángulo que forma \vec{u} = (3, k) con \vec{v} = (2, -1) vale: a) 90^o, b) 0^o, c) 45^o

1Para el ángulo de 90^o se requiere que \vec{u} \cdot \vec{v} = 0. Sustituimos los valores de los vectores y resolvemos para k

 

\begin{array}{rcl}(3, k) \cdot (2, -1) & = & 0  \\\\  6 - k & = & 0  \\\\  k & = & 6 \end{array}

 

2Para el ángulo de 0^o se requiere que \cfrac{u_1}{u_2} =\cfrac{v_1}{v_2}. Sustituimos los valores de las coordenadas de los vectores y resolvemos para k

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{3}{k} & = & \cfrac{2}{-1} \\\\   \cfrac{k}{3} & = & \cfrac{-1}{2}  \\\\ k & = & -\cfrac{3}{2} \end{array}

 

3Para el ángulo de 45^o se requiere que cos \, 45^o = \cfrac{\sqrt{2}}{2}. Sustituimos los valores de las coordenadas de los vectores en la ecuación para el ángulo formado por dos rectas y resolvemos para k

 

\begin{array}{rcl}cos \, 45^o & = & \cfrac{3\cdot 2 + k \cdot (-1)}{\sqrt{3^2 + k^2} \cdot \sqrt{2^2 + (-1)^2}} \\\\ \cfrac{\sqrt{2}}{2} & = & \cfrac{6 - k}{\sqrt{9 + k^2} \cdot \sqrt{5}} \\\\ \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{9 + k^2} & = & 2(6 - k) \end{array}

 

Elevamos ambos lados al cuadrado

 

\begin{array}{rcl} ( \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{9 + k^2} )^2 & = & [2(6 - k)]^2 \\\\ 90 + 10k^2 & = & 144 - 48k + 4k^2 \\\\ 6k^2 + 48 k - 54 & = & 0 \\\\ 6(k + 9)(k - 1) & = & 0 \end{array}

 

Así, los valores buscados son k = -9 y k = 1

 

6Calcula la proyección del vector \overrightarrow{AB} sobre el vector \overrightarrow{AC}, siendo A(6, 0), B(3, 5), C(-1, -1).

1Representamos graficamente

 

ejercicios de vectores 3

 

2Para calcular la proyección empleamos \overline{AD} =\cfrac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}. Sustituimos los valores de las coordenadas de los vectores y resolvemos

 

\begin{array}{rcl}\overline{AD} & = & \cfrac{(3 - 6, 5 - 0) \cdot (-1 - 6, -1 - 0)}{\sqrt{(-7)^2 + (-1)^2}} \\\\  & = & \cfrac{16}{\sqrt{50}} \\\\  & = & \cfrac{16}{5 \sqrt{2}}  \\\\  & = & \cfrac{8 \sqrt{2}}{5} \end{array}

 

7Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados AB y AC del triángulo: A(3, 5), B(-2, 0), C(0, -3), es paralelo al lado BC e igual a su mitad.

1Representamos graficamente

 

ejercicios de vectores 4

 

2Calculamos el vector \overrightarrow{BC}

 

\begin{array}{rcl}\overrightarrow{BC} & = & (0 + 2, -3 - 0) \\\\ & = & (2, -3)  \end{array}

 

3Calculamos los puntos medios de AB y AC

 

M \left ( \cfrac{3 - 2}{2}, \cfrac{5 + 0}{2} \right ) = M \left ( \cfrac{1}{2}, \cfrac{5}{2} \right )

 

N \left ( \cfrac{3 + 0}{2}, \cfrac{5 -3}{2} \right ) = N \left ( \cfrac{3}{2}, 1 \right )

 

4Calculamos el vector \overrightarrow{MN}

 

\begin{array}{rcl}\overrightarrow{MN} & = & \left (\cfrac{3}{2} - \cfrac{1}{2}, 1 - \cfrac{5}{2} \right ) \\\\ & = & \left (1, -\cfrac{3}{2} \right ) \end{array}

 

5Dos vectores son paralelos si el ángulo que forman es de 0^o

 

\begin{array}{rcl}\alpha & = & arc \, cos \cfrac{\left|2 \cdot 1 - 3 \cdot \left (-\cfrac{3}{2}\right )\right|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2} \cdot \sqrt{1^2 + \left (-\cfrac{3}{2}\right )^2 }} \\\\ & = & arc \, cos \cfrac{\cfrac{13}{2}}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{\cfrac{13}{4}}} \\\\ & = & 0^o \end{array}

 

Luego los vectores son paralelos.

 

6Calculamos las longitudes de los vectores \overrightarrow{MN} y \overrightarrow{BC}

 

|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}

 

|\overrightarrow{MN}| = \sqrt{1^2 + \left (-\cfrac{3}{2}\right )^2} = \sqrt{\cfrac{13}{4}} = \cfrac{\sqrt{13}}{2}

 

Luego la longitud de \overrightarrow{MN} e la mitad de \overrightarrow{BC}

 

8Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6, 0), B(3, 5), C(-1, -1).

1Representamos graficamente

 

ejercicios de vectores 5

 

2Calculamos los vectores \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}

 

\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AB} & = & (3 - 6, 5 - 0) \\\\ & = & (-3, 5) \end{array}

 

\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AC} & = & (-1 - 6, -1 - 0) \\\\ & = & (-7, -1) \end{array}

 

\begin{array}{rcl}\overrightarrow{BA} & = & (6 - 3, 0 - 5) \\\\ & = & (3, -5) \end{array}

 

\begin{array}{rcl}\overrightarrow{BC} & = & (-1 - 3, -1 - 5) \\\\ & = & (-4, -6) \end{array}

 

3Calculamos el ángulo A formado por los vectores \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}

 

\begin{array}{rcl}A & = & arc \, cos \cfrac{\left|-3 \cdot (-7) + 5 \cdot (-1) \right|}{\sqrt{(-3)^2 + 5^2} \cdot \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2 }} \\\\ & = & arc \, cos \cfrac{16}{\sqrt{34} \cdot \sqrt{50}} \\\\ & = & 67^o \, 10' \end{array}

 

4Calculamos el ángulo B formado por los vectores \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}

 

\begin{array}{rcl}B & = & arc \, cos \cfrac{\left|3 \cdot (-4) - 5 \cdot (-6) \right|}{\sqrt{3^2 + (-5)^2} \cdot \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2 }} \\\\ & = & arc \, cos \cfrac{18}{\sqrt{34} \cdot \sqrt{52}} \\\\ & = & 64^o \, 39' \end{array}

 

5Calculamos el ángulo C[/latex]

 

 C = 180^o - 67^o \, 10' - 64^o \, 39' = 48^o \, 11'

 

9Dados los vectores \vec{u} = (1, 4), \ \vec{v} = (1, 3) que constituyen una base. Expresar en esta base el vector \vec{w} = (-1, -1).

1Escribimos \vec{w} como combinación lineal de \vec{u} y \vec{v}

 

\vec{w} = a \vec{u} + b \vec{v}

 

2Sustituimos los vectores y desarrollamos

 

\begin{array}{rcl} (-1, -1) = a (1, 4) + b (1, 3) \\\\ & = & (a + b, 4a + 3b) \end{array}

 

3Obtenemos el sistema de ecuaciones

 

\left \{\begin{array}{l} a + b = -1 \\ 4a + 3b = -1 \end{array} \right.

 

Multiplicamos la primera ecuación por cuatro y le restamos la segunda, obteniendo

 

\begin{array}{rcl} 4a + 4b & = & -4 \\ - 4a - 3b & = & 1 \\ \hline b & = & -3, \end{array}

 

Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones, se obtiene a = 2

 

4La combinación lineal buscada es

 

\vec{w} = 2 \vec{u} - 3 \vec{v}

 

10Calcular el valor de a para que los vectores \vec{u} = 3 \vec{i} + 4 \vec{j} y \vec{v} = a \vec{i} - 2 \vec{j} formen un ángulo de 45^o.

1Para el ángulo de 45^o se requiere que cos \, 45^o = \cfrac{\sqrt{2}}{2}. Sustituimos los valores de las coordenadas de los vectores en la ecuación para el ángulo formado por dos rectas y resolvemos para a

 

\begin{array}{rcl}cos \, 45^o & = & \cfrac{3 \cdot a + 4 \cdot (-2)}{\sqrt{3^2 + 4^2} \cdot \sqrt{a^2 + (-2)^2}} \\\\ \cfrac{\sqrt{2}}{2} & = & \cfrac{3a - 8}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{a^2 + 4}} \\\\ 5 \sqrt{2}  \cdot \sqrt{a^2 + 4} & = & 2(3a - 8) \end{array}

 

2Elevamos ambos lados al cuadrado

 

\begin{array}{rcl} ( 5 \sqrt{2} \cdot \sqrt{a^2 + 4} )^2 & = & [2(3a - 8)]^2 \\\\ 50a^2 + 200 & = & 36a^2 - 192a + 256 \\\\ 14a^2 + 192a - 56 & = & 0 \\\\  2(7a^2 + 96a -28) & = & 0  \\\\ 2(7a - 2)(a + 14) & = & 0 \end{array}

 

Así, los valores buscados son a = \cfrac{2}{7} y a = -14

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗