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Bienvenidos al tema de coordenadas del punto medio. En este artículo, exploraremos un concepto fundamental en la geometría analítica: cómo encontrar el punto medio entre dos puntos en un plano cartesiano. Este concepto es esencial en diversos campos, desde la física hasta la ingeniería y la programación.
El punto medio de un segmento de línea es aquel que se encuentra exactamente a mitad de camino entre dos puntos dados. A través de fórmulas simples y una comprensión clara de las coordenadas cartesianas, podrás determinar fácilmente las coordenadas del punto medio. Además, estudiaremos ejemplos prácticos que te ayudarán a aplicar este conocimiento en situaciones reales.
¡Comencemos nuestro viaje hacia el entendimiento de las coordenadas del punto medio y su relevancia en el mundo de la geometría analítica!
Como determinar el punto medio
Consideremos el segmento 
con extremos en los puntos 
y 
de la siguiente figura:
El punto medio es aquel punto 
que está en el segmento y que hace que el segmento 
mida lo mismo que el segmento 
, es decir,
El punto medio se calcula con la siguiente fórmula:
Se dice que el punto 
es simétrico de 
respecto a si es el punto medio del segmento 
.
Punto que divide un segmento en una proporción dada
En general, si queremos encontrar un punto que divida el segmento de recta de forma que cumpla una razón
entonces utilizamos
Ejercicios de coordenadas del punto medio
Halla las coordenadas del punto medio del segmento donde los extremos son:
a 
y 
,
b 
y 
.
Para encontrar el punto medio, simplemente utilizamos la fórmula:
a Para el primer caso, tenemos
Por lo que el punto medio es 
.
b Mientras que para el segundo caso, el punto medio es
Calcula:
a el punto simétrico de 
respecto al punto 
,
b el punto simétrico a 
respecto de 
.
a Denotemos al punto simétrico de como 
. Entonces es el punto medio del segmento 
. Por tanto, si tiene coordenadas 
, entonces se calcula utilizando
Pero, además, se tiene que . Por lo tanto,
Si multiplicamos por 2 ambas ecuaciones, obtenemos
Por lo tanto, al despejar tenemos 
y 
. Es decir, el punto simétrico es 
.
b De forma similar, denotaremos al punto simétrico como . Así, se calcula utilizando
Pero, además, se tiene que . Por lo tanto,
Si multiplicamos por 2 ambas ecuaciones, obtenemos
Por lo tanto, al despejar tenemos 
y 
. Es decir, el punto simétrico es 
.
Calcula los puntos 
y 
que dividen al segmento , cuyos extremos son 
y 
, en tres partes iguales
Notemos que debemos encontrar dos puntos 
y 
tales que
a Para encontrar el primer punto, notemos que la razón es
ya que el segmento del denominador mide el doble. Así, utilizamos la fórmula:
b Similarmente, para encontrar el segundo punto ahora la razón es
ya que, en este caso, el segmento del numerador mide el doble. Así, utilizamos la fórmula:
Por lo tanto, los puntos son 
y 
.
Encuentra las coordenadas del punto 
, sabiendo que 
es el punto medio de 
y que 
Denotemos las coordenadas del punto como 
. Entonces, se calcula utilizando
Además, tenemos que . Por tanto, tenemos las ecuaciones
Si multiplicamos por 2 las ecuaciones, tenemos
Por lo tanto, al despejarlas, obtenemos que 
y 
. Así, el punto es
Encuentra las coordenadas del punto que se encuentra cercano a y colineal al segmento , sabiendo que 
y 
mide lo mismo que
Como mide lo mismo que , entonces es el punto medio de 
.
Denotemos las coordenadas del punto como . Entonces, se calcula utilizando
Además, tenemos que 
. Por tanto, tenemos las ecuaciones
Si multiplicamos por 2 las ecuaciones, tenemos
Por lo tanto, al despejarlas, obtenemos que 
y 
. Así, el punto es
Encuentra las coordenadas del punto que se encuentra cercano a y colineal al segmento , sabiendo que y mide el doble que
Como mide el doble que , entonces
Denotemos las coordenadas del punto como . Entonces, se calcula utilizando
Además, tenemos que . Por tanto, tenemos las ecuaciones
Si multiplicamos por 3 las ecuaciones, tenemos
Por lo tanto, al despejarlas, obtenemos que y 
. Así, el punto es
Considera el segmento con extremos 
y 
. Encuentra las coordenadas del punto que divide al segmento en dos segmentos tales que es la mitad de
Como es la mitad de , entonces tenemos
Por tanto, sólo utilizamos la fórmula:
Así, el punto es 
.
Si el segmento con extremos 
y 
se divide en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división?
Buscaremos 3 puntos , y 
tales que
tal y como se muestra en la siguiente figura:
a Para calcular , notemos que
ya que el segmento de a medirá la tercera parte del segmento que va de a . Así, utilizamos la fórmula para calcular :
b Observemos que es el punto medio entre y , por lo que se calcula utilizando
c Por último, para tenemos
ya que el segmento de a medirá tres veces la longitud del segmento que va de a . Así, utilizamos la fórmula para calcular :
Por lo tanto, lo puntos son
Si el segmento con extremos 
y 
se divide en dos partes por un punto de manera que mide la tercera parte de , ¿cuáles son las coordenadas de ?
Buscaremos el punto tal que
Para calcular , notemos que
ya que el segmento de a medirá la tercera parte del segmento que va de a . Así, utilizamos la fórmula para calcular :
Es decir, el punto es
Dados los puntos 
y 
, encuentra un punto que esté alineado con y , y que cumpla con la relación
La fórmula que tenemos para puntos medios o puntos que parten un segmento en una razón dada siempre se utiliza con puntos colineales. Por lo tanto, utilizaremos esa fórmula.
Asimismo, veamos que ya se nos proporcionó la razón 
, por lo que procedemos a utilizar la fórmula:
Es decir, el punto es
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Suma de vectores f1=450n,30. 1FR=f1+f6
como sacar el residuo de una multiplicación
Hallar las coordenadas de punto medio del segmento que une (4,7);(14,12)
Hola, podrias mencionar que tipo de multiplicación (normal, de vectores etc.).
si se aplica una traslación al punto E(0;2) se obtiene el punto E'(-1;-5),indicar el vector de translación
Traslaciones Juan es un diseñador gráfico y de acuerdo con las exigencias de uno de sus clientes debe reorganizar los elementos de uno de los avisos publicitarios observemos en la ilustración los cambios y desplazamientos que realizo.
En la ilustración el barco se trasladó dos unidades hacia arriba.
Una traslación es el desplazamiento de una figura sobre un plano sin girarla en ninguna dirección para indicar una traslación usamos una flecha que muestra el sentido hacia donde se hace el movimiento:
Derecha , izquierda, arriba, abajo, occidente, Oriente, Norte o sur) y la magnitud (número de unidades que se mueve la figura).
En el aviso publicitario,? Cuál de los siguientes desplazamientos se realizó con el logo del pez? Márcalo con x
Vectores 400n+horizontal y a la izquierda