Como determinar el punto medio

 

Consideremos el segmento AB con extremos en los puntos A(x_1, y_1) y B(x_2, y_2) de la siguiente figura:

 

Coordenadas del punto medio de un segmento

 

El punto medio es aquel punto M que está en el segmento AB y que hace que el segmento AM mida lo mismo que el segmento MB, es decir,

 

\displaystyle \overline{AM} = \overline{MB}

 

El punto medio se calcula con la siguiente fórmula:

 

\displaystyle M\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)

 

Se dice que el punto A' es simétrico de A respecto a M si M es el punto medio del segmento \overline{AA'}.

 

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Punto que divide un segmento en una proporción dada

 

En general, si queremos encontrar un punto M que divida el segmento de recta de forma que cumpla una razón

 

\displaystyle \frac{\overline{AM}}{\overline{MB}} = r

 

entonces utilizamos

 

\displaystyle M \left(\frac{x_1 + rx_2}{1 + r}, \frac{y_1 + ry_2}{1 + r} \right)

 

Ejercicios

 

1 Halla las coordenadas del punto medio del segmento AB donde los extremos son:

 

a A(3,9) y B(-1,5),

 

b A(7, 3) y B(-1, 5).

 

Para encontrar el punto medio, simplemente utilizamos la fórmula:

 

a Para el primer caso, tenemos

 

\displaystyle M\left( \frac{3 - 1}{2}, \frac{9 + 5}{2} \right) = M(1, 7)

 

Por lo que el punto medio es M(1, 7).

 

b Mientras que para el segundo caso, el punto medio es

 

\displaystyle M\left( \frac{7 - 1}{2}, \frac{3 + 5}{2} \right) = M\left( 3, 4 \right)

 

2 Calcula:

 

a el punto simétrico de A(7, 4) respecto al punto M(3, -11),

 

b el punto simétrico a A(4, -2) respecto de M(2, 6).

 

a Denotemos al punto simétrico de A como B. Entonces M es el punto medio del segmento \overline{AB}. Por tanto, si B tiene coordenadas B(x, y), entonces M se calcula utilizando

 

\displaystyle M = M\left( \frac{7 + x}{2}, \frac{4 + y}{2} \right)

 

Pero, además, se tiene que M(3, -11). Por lo tanto,

 

\displaystyle \frac{7 + x}{2} = 3, \qquad \frac{4 + y}{2} = -11

 

Si multiplicamos por 2 ambas ecuaciones, obtenemos

 

\displaystyle 7 + x = 6, \qquad 4 + y = -22

 

Por lo tanto, al despejar tenemos x = -1 y y = -26. Es decir, el punto simétrico es B(-1, -26).

 

b De forma similar, denotaremos al punto simétrico como B(x, y). Así, M se calcula utilizando

 

\displaystyle M = \left( \frac{4 + x}{2}, \frac{-2 + y}{2} \right)

 

Pero, además, se tiene que M(2, 6). Por lo tanto,

 

\displaystyle \frac{4 + x}{2} = 2, \qquad \frac{-2 + y}{2} = 6

 

Si multiplicamos por 2 ambas ecuaciones, obtenemos

 

\displaystyle 4 + x = 4, \qquad -2 + y = 12

 

Por lo tanto, al despejar tenemos x = 0 y y = 14. Es decir, el punto simétrico es B(0, 14).

 

3 Calcula los puntos P y Q que dividen al segmento \overline{AB}, cuyos extremos son A(-1, -3) y B(5, 6), en tres partes iguales.

 

Notemos que debemos encontrar dos puntos P_1 y P_2 tales que

 

\displaystyle \overline{AP_1} = \overline{P_1 P_2} = \overline{P_2 B}

 

a Para encontrar el primer punto, notemos que la razón es

 

\displaystyle \frac{\overline{AP_1} }{ \overline{P_1 B} } = \frac{1}{2}

 

ya que el segmento del denominador mide el doble. Así, utilizamos la fórmula:

 

    \begin{align*} P_1 & = P_1 \left( \frac{-1 + \tfrac{1}{2}5 }{1 + \tfrac{1}{2}}, \frac{-3 + \tfrac{1}{2}6 }{1 + \tfrac{1}{2}} \right)\\& = P_1\left( \frac{ \; \tfrac{3}{2} \; }{\tfrac{3}{2}}, \frac{\; 0 \;}{\tfrac{3}{2}} \right)\\& = P_1(1, 0)\end{align*}

 

b Similarmente, para encontrar el segundo punto ahora la razón es

 

\displaystyle \frac{\overline{AP_2} }{ \overline{P_2 B} } = 2

 

ya que, en este caso, el segmento del numerador mide el doble. Así, utilizamos la fórmula:

 

    \begin{align*} P_2 & = P_2\left( \frac{-1 + 2\cdot 5 }{1 + 2}, \frac{-3 + 2 \cdot 6 }{1 + 2} \right)\\& = P_2\left( \frac{ 9 }{3}, \frac{9}{3} \right)\\& = P_2(3, 3)\end{align*}

 

Por lo tanto, los puntos son P_1(1, 0) y P_2(3, 3).

 

4 Encuentra las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, -2) es el punto medio de \overline{AC} y que A(-3, 1).

 

Denotemos las coordenadas del punto C como C(x, y). Entonces, B se calcula utilizando

 

\displaystyle B\left( \frac{-3 + x}{2}, \frac{1 + y}{2} \right)

 

Además, tenemos que B(2, -2). Por tanto, tenemos las ecuaciones

 

\displaystyle \frac{-3 + x}{2} = 2, \qquad \frac{1 + y}{2} = -2

 

Si multiplicamos por 2 las ecuaciones, tenemos

 

\displaystyle -3 + x = 4, \qquad 1 + y = -4

 

Por lo tanto, al despejarlas, obtenemos que x = 7 y y = -5. Así, el punto es

 

\displaystyle C(7, -5)

 

5 Considera el segmento \overline{AB} con extremos A(2, -1) y B(8, -4). Encuentra las coordenadas del punto C que divide al semento \overline{AB} en dos segmentos tales que \overline{AC} es la mitad de \overline{CB}.

 

Como \overline{AC} es la mitad de \overline{CB}, entonces tenemos

 

\displaystyle \frac{\overline{AC}}{\overline{CB}} = \frac{1}{2}

 

Por tanto, sólo utilizamos la fórmula:

 

    \begin{align*} C(x, y) & = C\left( \frac{2 + \tfrac{1}{2}8}{1 + \tfrac{1}{2}}, \frac{-1 + \tfrac{1}{2}(-4)}{1 + \tfrac{1}{2}} \right)\\& = C\left( \frac{ \; 6 \;}{\tfrac{3}{2}}, \frac{-3}{\tfrac{3}{2}} \right)\\& = C(4, -2)\end{align*}

 

Así, el punto es C(4, -2).

 

6 Si el segmento AB con extremos A(1, 3) y B(7, 5) se divide en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división?

 

Buscaremos 3 puntos P, Q y R tales que

 

\displaystyle \overline{AP} = \overline{PQ} = \overline{QR} = \overline{R B}

 

tal y como se muestra en la siguiente figura:

 

segmento dividido en cuatro partes iguales

 

a Para calcular P, notemos que

 

\displaystyle \frac{\overline{AP}}{\overline{PB}} = \frac{1}{3}

 

ya que el segmento de A a P medirá la tercera parte del segmento que va de P a B. Así, utilizamos la fórmula para calcular P:

 

    \begin{align*} P & = P\left( \frac{1 + \tfrac{1}{3}7}{1 + \tfrac{1}{3}}, \frac{3 + \tfrac{1}{3}5}{1 + \tfrac{1}{3}} \right)\\& = P\left( \frac{ \; \tfrac{10}{3} \;}{\tfrac{4}{3}}, \frac{\; \tfrac{14}{3} \;}{\tfrac{4}{3}} \right)\\& = P\left( \frac{5}{2}, \frac{7}{2} \right)\end{align*}

 

b Observemos que Q es el punto medio entre A y B, por lo que se calcula utilizando

 

    \begin{align*} Q & = Q\left( \frac{1 + 7}{2}, \frac{3 + 5}{2} \right)\\& = Q\left( 4, 4 \right)\end{align*}

 

c Por último, para R tenemos

 

\displaystyle \frac{\overline{AR}}{\overline{RB}} = 3

 

ya que el segmento de A a R medirá tres veces la longitud del segmento que va de R a B. Así, utilizamos la fórmula para calcular R:

 

    \begin{align*} R & = R\left( \frac{1 + 3 \cdot 7}{1 + 3}, \frac{3 + 3 \cdot 5}{1 + 3} \right)\\& = R\left( \frac{ 22 }{4}, \frac{ 18 }{4} \right)\\& = R\left( \frac{11}{2}, \frac{9}{2} \right)\end{align*}

 

Por lo tanto, lo puntos son

 

\displaystyle P\left( \frac{5}{2}, \frac{7}{2} \right), \quad Q\left( 4, 4 \right), \quad R\left( \frac{11}{2}, \frac{9}{2} \right)

 

7 Dados los puntos A(3, 2) y B(5, 4), encuentra un punto C que esté alineado con A y B, y que cumpla con la relación

 

\displaystyle \frac{\overline{AC}}{\overline{CB}} = \frac{3}{2}

 

La fórmula que tenemos para puntos medios o puntos que parten un segmento en una razón dada siempre se utiliza con puntos colineales. Por lo tanto, utilizaremos esa fórmula.

 

Asimismo, veamos que ya se nos proporcionó la razón r, por lo que procedemos a utilizar la fórmula:

 

    \begin{align*} C(x, y) & = C\left( \frac{3 + \tfrac{3}{2} 5}{1 + \tfrac{3}{2}}, \frac{2 + \tfrac{3}{2} 4}{1 + \tfrac{3}{2}} \right)\\& = C\left( \frac{\;\; \frac{6 + 15}{2} \;\;}{\frac{2 + 3}{2}}, \frac{\;\; \frac{4 + 12}{2} \;\;}{\frac{2 + 3}{2}} \right)\\& = C\left( \frac{21}{5}, \frac{16}{5} \right)\end{align*}

 

Es decir, el punto C es

 

\displaystyle C\left( \frac{21}{5}, \frac{16}{5} \right)

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗