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Como determinar el punto medio
Consideremos el segmento con extremos en los puntos
y
de la siguiente figura:
El punto medio es aquel punto que está en el segmento
y que hace que el segmento
mida lo mismo que el segmento
, es decir,
El punto medio se calcula con la siguiente fórmula:
Se dice que el punto es simétrico de
respecto a
si
es el punto medio del segmento
.
Punto que divide un segmento en una proporción dada
En general, si queremos encontrar un punto que divida el segmento de recta de forma que cumpla una razón
entonces utilizamos
Ejercicios de coordenadas del punto medio
1 Halla las coordenadas del punto medio del segmento donde los extremos son:
a y
,
b y
.
Para encontrar el punto medio, simplemente utilizamos la fórmula:
a Para el primer caso, tenemos
Por lo que el punto medio es .
b Mientras que para el segundo caso, el punto medio es
2 Calcula:
a el punto simétrico de respecto al punto
,
b el punto simétrico a respecto de
.
a Denotemos al punto simétrico de como
. Entonces
es el punto medio del segmento
. Por tanto, si
tiene coordenadas
, entonces
se calcula utilizando
Pero, además, se tiene que . Por lo tanto,
Si multiplicamos por 2 ambas ecuaciones, obtenemos
Por lo tanto, al despejar tenemos y
. Es decir, el punto simétrico es
.
b De forma similar, denotaremos al punto simétrico como . Así,
se calcula utilizando
Pero, además, se tiene que . Por lo tanto,
Si multiplicamos por 2 ambas ecuaciones, obtenemos
Por lo tanto, al despejar tenemos y
. Es decir, el punto simétrico es
.
3 Calcula los puntos y
que dividen al segmento
, cuyos extremos son
y
, en tres partes iguales.
Notemos que debemos encontrar dos puntos y
tales que
a Para encontrar el primer punto, notemos que la razón es
ya que el segmento del denominador mide el doble. Así, utilizamos la fórmula:
b Similarmente, para encontrar el segundo punto ahora la razón es
ya que, en este caso, el segmento del numerador mide el doble. Así, utilizamos la fórmula:
Por lo tanto, los puntos son y
.
4 Encuentra las coordenadas del punto , sabiendo que
es el punto medio de
y que
.
Denotemos las coordenadas del punto como
. Entonces,
se calcula utilizando
Además, tenemos que . Por tanto, tenemos las ecuaciones
Si multiplicamos por 2 las ecuaciones, tenemos
Por lo tanto, al despejarlas, obtenemos que y
. Así, el punto es
5 Considera el segmento con extremos
y
. Encuentra las coordenadas del punto
que divide al semento
en dos segmentos tales que
es la mitad de
.
Como es la mitad de
, entonces tenemos
Por tanto, sólo utilizamos la fórmula:
Así, el punto es .
6 Si el segmento con extremos
y
se divide en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división?
Buscaremos 3 puntos ,
y
tales que
tal y como se muestra en la siguiente figura:
a Para calcular , notemos que
ya que el segmento de a
medirá la tercera parte del segmento que va de
a
. Así, utilizamos la fórmula para calcular
:
b Observemos que es el punto medio entre
y
, por lo que se calcula utilizando
c Por último, para tenemos
ya que el segmento de a
medirá tres veces la longitud del segmento que va de
a
. Así, utilizamos la fórmula para calcular
:
Por lo tanto, lo puntos son
7 Dados los puntos y
, encuentra un punto
que esté alineado con
y
, y que cumpla con la relación
La fórmula que tenemos para puntos medios o puntos que parten un segmento en una razón dada siempre se utiliza con puntos colineales. Por lo tanto, utilizaremos esa fórmula.
Asimismo, veamos que ya se nos proporcionó la razón , por lo que procedemos a utilizar la fórmula:
Es decir, el punto es
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(10,5) y (20,25) cordenadas
Determina la longitud del segmento que une los puntos de coordenadas (-5’3) y (4,2) y las coordenadas de su punto medio.
Realiza la gráfica
Hola quiero resolver este ejercicio y me a contando mucho porque no se nada.
Escribir como intervalo o union de intervalos el conjunto:
{XER/ 16/X > X}
Sean el conjunto 𝐴 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2⁄ 𝑥 =
𝑦+1 / 2} y 𝑀 el punto medio del
segmento determinado por 𝑃 = (−2, 1) y 𝑄 = (0, 3).
a) Hallar todos los puntos de 𝐴 cuya distancia a 𝑀 es igual a 5.
b) Decidir si existe algún punto de 𝐴 que se encuentre a distancia 2
de �
¿Cuál es la diferencia entre el punto A(8,-3) y el punto F(4,-7)?
El punto a está en corchetes (- 7, -7) y el punto M,en (-6,-1).
El punto M es el punto medio del punto A y el punto B .
¿Cuáles son las coordenadas del punto ?