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Como determinar el punto medio
Punto que divide un segmento en una proporción dada
Ejercicios de coordenadas del punto medio

Como determinar el punto medio

Consideremos el segmento $AB$ con extremos en los puntos $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2)$ de la siguiente figura:

El punto medio es aquel punto $M$ que está en el segmento $AB$ y que hace que el segmento $AM$ mida lo mismo que el segmento $MB$ , es decir,

$\displaystyle \overline{AM} = \overline{MB}$

El punto medio se calcula con la siguiente fórmula:

$\displaystyle M\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$

Se dice que el punto $A'$ es simétrico de $A$ respecto a $M$ si $M$ es el punto medio del segmento $\overline{AA'}$ .

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Punto que divide un segmento en una proporción dada

En general, si queremos encontrar un punto $M$ que divida el segmento de recta de forma que cumpla una razón

$\displaystyle \frac{\overline{AM}}{\overline{MB}} = r$

entonces utilizamos

$\displaystyle M \left(\frac{x_1 + rx_2}{1 + r}, \frac{y_1 + ry_2}{1 + r} \right)$

Ejercicios de coordenadas del punto medio

1 Halla las coordenadas del punto medio del segmento $AB$ donde los extremos son:

a $A(3,9)$ y $B(-1,5)$ ,

b $A(7, 3)$ y $B(-1, 5)$ .

Para encontrar el punto medio, simplemente utilizamos la fórmula:

a Para el primer caso, tenemos

$\displaystyle M\left( \frac{3 - 1}{2}, \frac{9 + 5}{2} \right) = M(1, 7)$

Por lo que el punto medio es $M(1, 7)$ .

b Mientras que para el segundo caso, el punto medio es

$\displaystyle M\left( \frac{7 - 1}{2}, \frac{3 + 5}{2} \right) = M\left( 3, 4 \right)$

2 Calcula:

a el punto simétrico de $A(7, 4)$ respecto al punto $M(3, -11)$ ,

b el punto simétrico a $A(4, -2)$ respecto de $M(2, 6)$ .

a Denotemos al punto simétrico de $A$ como $B$ . Entonces $M$ es el punto medio del segmento $\overline{AB}$ . Por tanto, si $B$ tiene coordenadas $B(x, y)$ , entonces $M$ se calcula utilizando

$\displaystyle M = M\left( \frac{7 + x}{2}, \frac{4 + y}{2} \right)$

Pero, además, se tiene que $M(3, -11)$ . Por lo tanto,

$\displaystyle \frac{7 + x}{2} = 3, \qquad \frac{4 + y}{2} = -11$

Si multiplicamos por 2 ambas ecuaciones, obtenemos

$\displaystyle 7 + x = 6, \qquad 4 + y = -22$

Por lo tanto, al despejar tenemos $x = -1$ y $y = -26$ . Es decir, el punto simétrico es $B(-1, -26)$ .

b De forma similar, denotaremos al punto simétrico como $B(x, y)$ . Así, $M$ se calcula utilizando

$\displaystyle M = \left( \frac{4 + x}{2}, \frac{-2 + y}{2} \right)$

Pero, además, se tiene que $M(2, 6)$ . Por lo tanto,

$\displaystyle \frac{4 + x}{2} = 2, \qquad \frac{-2 + y}{2} = 6$

Si multiplicamos por 2 ambas ecuaciones, obtenemos

$\displaystyle 4 + x = 4, \qquad -2 + y = 12$

Por lo tanto, al despejar tenemos $x = 0$ y $y = 14$ . Es decir, el punto simétrico es $B(0, 14)$ .

3 Calcula los puntos $P$ y $Q$ que dividen al segmento $\overline{AB}$ , cuyos extremos son $A(-1, -3)$ y $B(5, 6)$ , en tres partes iguales.

Notemos que debemos encontrar dos puntos $P_1$ y $P_2$ tales que

$\displaystyle \overline{AP_1} = \overline{P_1 P_2} = \overline{P_2 B}$

a Para encontrar el primer punto, notemos que la razón es

$\displaystyle \frac{\overline{AP_1} }{ \overline{P_1 B} } = \frac{1}{2}$

ya que el segmento del denominador mide el doble. Así, utilizamos la fórmula:

$\begin{align*} P_1 & = P_1 \left( \frac{-1 + \tfrac{1}{2}5 }{1 + \tfrac{1}{2}}, \frac{-3 + \tfrac{1}{2}6 }{1 + \tfrac{1}{2}} \right)\\& = P_1\left( \frac{ \; \tfrac{3}{2} \; }{\tfrac{3}{2}}, \frac{\; 0 \;}{\tfrac{3}{2}} \right)\\& = P_1(1, 0)\end{align*}$

b Similarmente, para encontrar el segundo punto ahora la razón es

$\displaystyle \frac{\overline{AP_2} }{ \overline{P_2 B} } = 2$

ya que, en este caso, el segmento del numerador mide el doble. Así, utilizamos la fórmula:

$\begin{align*} P_2 & = P_2\left( \frac{-1 + 2\cdot 5 }{1 + 2}, \frac{-3 + 2 \cdot 6 }{1 + 2} \right)\\& = P_2\left( \frac{ 9 }{3}, \frac{9}{3} \right)\\& = P_2(3, 3)\end{align*}$

Por lo tanto, los puntos son $P_1(1, 0)$ y $P_2(3, 3)$ .

4 Encuentra las coordenadas del punto $C$ , sabiendo que $B(2, -2)$ es el punto medio de $\overline{AC}$ y que $A(-3, 1)$ .

Denotemos las coordenadas del punto $C$ como $C(x, y)$ . Entonces, $B$ se calcula utilizando

$\displaystyle B\left( \frac{-3 + x}{2}, \frac{1 + y}{2} \right)$

Además, tenemos que $B(2, -2)$ . Por tanto, tenemos las ecuaciones

$\displaystyle \frac{-3 + x}{2} = 2, \qquad \frac{1 + y}{2} = -2$

Si multiplicamos por 2 las ecuaciones, tenemos

$\displaystyle -3 + x = 4, \qquad 1 + y = -4$

Por lo tanto, al despejarlas, obtenemos que $x = 7$ y $y = -5$ . Así, el punto es

$\displaystyle C(7, -5)$

5 Considera el segmento $\overline{AB}$ con extremos $A(2, -1)$ y $B(8, -4)$ . Encuentra las coordenadas del punto $C$ que divide al semento $\overline{AB}$ en dos segmentos tales que $\overline{AC}$ es la mitad de $\overline{CB}$ .

Como $\overline{AC}$ es la mitad de $\overline{CB}$ , entonces tenemos

$\displaystyle \frac{\overline{AC}}{\overline{CB}} = \frac{1}{2}$

Por tanto, sólo utilizamos la fórmula:

$\begin{align*} C(x, y) & = C\left( \frac{2 + \tfrac{1}{2}8}{1 + \tfrac{1}{2}}, \frac{-1 + \tfrac{1}{2}(-4)}{1 + \tfrac{1}{2}} \right)\\& = C\left( \frac{ \; 6 \;}{\tfrac{3}{2}}, \frac{-3}{\tfrac{3}{2}} \right)\\& = C(4, -2)\end{align*}$

Así, el punto es $C(4, -2)$ .

6 Si el segmento $AB$ con extremos $A(1, 3)$ y $B(7, 5)$ se divide en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división?

Buscaremos 3 puntos $P$ , $Q$ y $R$ tales que

$\displaystyle \overline{AP} = \overline{PQ} = \overline{QR} = \overline{R B}$

tal y como se muestra en la siguiente figura:

a Para calcular $P$ , notemos que

$\displaystyle \frac{\overline{AP}}{\overline{PB}} = \frac{1}{3}$

ya que el segmento de $A$ a $P$ medirá la tercera parte del segmento que va de $P$ a $B$ . Así, utilizamos la fórmula para calcular $P$ :

$\begin{align*} P & = P\left( \frac{1 + \tfrac{1}{3}7}{1 + \tfrac{1}{3}}, \frac{3 + \tfrac{1}{3}5}{1 + \tfrac{1}{3}} \right)\\& = P\left( \frac{ \; \tfrac{10}{3} \;}{\tfrac{4}{3}}, \frac{\; \tfrac{14}{3} \;}{\tfrac{4}{3}} \right)\\& = P\left( \frac{5}{2}, \frac{7}{2} \right)\end{align*}$

b Observemos que $Q$ es el punto medio entre $A$ y $B$ , por lo que se calcula utilizando

$\begin{align*} Q & = Q\left( \frac{1 + 7}{2}, \frac{3 + 5}{2} \right)\\& = Q\left( 4, 4 \right)\end{align*}$

c Por último, para $R$ tenemos

$\displaystyle \frac{\overline{AR}}{\overline{RB}} = 3$

ya que el segmento de $A$ a $R$ medirá tres veces la longitud del segmento que va de $R$ a $B$ . Así, utilizamos la fórmula para calcular $R$ :

$\begin{align*} R & = R\left( \frac{1 + 3 \cdot 7}{1 + 3}, \frac{3 + 3 \cdot 5}{1 + 3} \right)\\& = R\left( \frac{ 22 }{4}, \frac{ 18 }{4} \right)\\& = R\left( \frac{11}{2}, \frac{9}{2} \right)\end{align*}$

Por lo tanto, lo puntos son

$\displaystyle P\left( \frac{5}{2}, \frac{7}{2} \right), \quad Q\left( 4, 4 \right), \quad R\left( \frac{11}{2}, \frac{9}{2} \right)$

7 Dados los puntos $A(3, 2)$ y $B(5, 4)$ , encuentra un punto $C$ que esté alineado con $A$ y $B$ , y que cumpla con la relación

$\displaystyle \frac{\overline{AC}}{\overline{CB}} = \frac{3}{2}$

La fórmula que tenemos para puntos medios o puntos que parten un segmento en una razón dada siempre se utiliza con puntos colineales. Por lo tanto, utilizaremos esa fórmula.

Asimismo, veamos que ya se nos proporcionó la razón $r$ , por lo que procedemos a utilizar la fórmula:

$\begin{align*} C(x, y) & = C\left( \frac{3 + \tfrac{3}{2} 5}{1 + \tfrac{3}{2}}, \frac{2 + \tfrac{3}{2} 4}{1 + \tfrac{3}{2}} \right)\\& = C\left( \frac{\;\; \frac{6 + 15}{2} \;\;}{\frac{2 + 3}{2}}, \frac{\;\; \frac{4 + 12}{2} \;\;}{\frac{2 + 3}{2}} \right)\\& = C\left( \frac{21}{5}, \frac{16}{5} \right)\end{align*}$

Es decir, el punto $C$ es

$\displaystyle C\left( \frac{21}{5}, \frac{16}{5} \right)$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Alexa Geronimo López

Mayo 2022

(10,5) y (20,25) cordenadas

Paola Galán

Abril 2022

Determina la longitud del segmento que une los puntos de coordenadas (-5’3) y (4,2) y las coordenadas de su punto medio.
Realiza la gráfica

Victoria

Abril 2022

Hola quiero resolver este ejercicio y me a contando mucho porque no se nada.
Escribir como intervalo o union de intervalos el conjunto:
{XER/ 16/X > X}

Leonardo

Abril 2022

Sean el conjunto 𝐴 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2⁄ 𝑥 =
𝑦+1 / 2} y 𝑀 el punto medio del
segmento determinado por 𝑃 = (−2, 1) y 𝑄 = (0, 3).
a) Hallar todos los puntos de 𝐴 cuya distancia a 𝑀 es igual a 5.
b) Decidir si existe algún punto de 𝐴 que se encuentre a distancia 2
de �

Jojos

Mayo 2022

¿Cuál es la diferencia entre el punto A(8,-3) y el punto F(4,-7)?

Lindsay

Marzo 2022

El punto a está en corchetes (- 7, -7) y el punto M,en (-6,-1).
El punto M es el punto medio del punto A y el punto B .
¿Cuáles son las coordenadas del punto ?

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