Ejercicios propuestos

 

1 Expresa el vector {\overrightarrow{m}=(1,2,3)} como combinación lineal de los vectores: {\vec{u}=(1,0,1), \, \vec{v}=(1,1,0), \, \overrightarrow{w}=(0,1,1)}.

 

 

Expresa el vector {\overrightarrow{m}=(1,2,3)} como combinación lineal de los vectores: {\vec{u}=(1,0,1), \, \vec{v}=(1,1,0), \, \overrightarrow{w}=(0,1,1)}.

 

1 Expresamos el vector {\overrightarrow{m}} como combinación lineal de {\vec{u}, \, \vec{v}, \, \overrightarrow{w}}

 

{\overrightarrow{m}=x\vec{u} +y\vec{v} + z\overrightarrow{w}}.

 

2 Sustituimos los valores de los vectores

 

{\begin{array}{rcl} (1,2,3)&=&x(1,0,1)+y(1,1,0)+z(0,1,1) \\ && \\ &=&(x+y,y+z,x+z) \end{array}}

 

3 Obtenemos el sistema de ecuaciones

 

{\left\{ \begin{array}{rcl} x+y&=&1 \\ y+z&=&2 \\ x+z&=&3 \end{array}\right. }

 

4 Sumamos miembro a miembro las tres ecuaciones y simplificamos la ecuación obtenida se le resta cada una de las ecuaciones

 

{\begin{array}{rcl} 2x+2y+2z&=&6 \\ 2(x+y+z)&=&6 \\ x+y+z&=&3 \end{array}}

 

5 A la ecuación obtenida se le resta cada una de las tres ecuaciones y se obtiene

 

{x=1, \ \ \ y=0, \ \ \ z=2}

 

6 La combinación lineal es

 

{\overrightarrow{m}=\vec{u}+2\overrightarrow{w}}

 

2 Siendo {\vec{u}=(1,0,1), \, \vec{v}=(1,1,0), \, \overrightarrow{w}=(0,1,1)}, demostrar que dichos vectores son linealmente independientes y expresa el vector {\overrightarrow{m}=(1,2,3)} como combinación lineal de dichos vectores.

 

 

Siendo {\vec{u}=(1,0,1), \, \vec{v}=(1,1,0), \, \overrightarrow{w}=(0,1,1)}, demostrar que dichos vectores son linealmente independientes y expresa el vector {\overrightarrow{m}=(1,2,3)} como combinación lineal de dichos vectores.

 

1Calculamos el determinante de {\vec{u}, \, \vec{v}, \, \overrightarrow{w}}

 

{\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right| = 2}

 

Como el determinante es distinto de cero, entonces {\vec{u}, \, \vec{v}, \, \overrightarrow{w}} son linealmente independientes.

 

2 Expresamos el vector {\overrightarrow{m}} como combinación lineal de {\vec{u}, \, \vec{v}, \, \overrightarrow{w}}

 

{\overrightarrow{m}=x\vec{u} +y\vec{v} + z\overrightarrow{w}}.

 

3 Sustituimos los valores de los vectores

 

{\begin{array}{rcl} (1,2,3)&=&x(1,0,1)+y(1,1,0)+z(0,1,1) \\ && \\ &=&(x+y,y+z,x+z) \end{array}}

 

4 Obtenemos el sistema de ecuaciones

 

{\left\{ \begin{array}{rcl} x+y&=&1 \\ y+z&=&2 \\ x+z&=&3 \end{array}\right. }

 

5 Sumamos miembro a miembro las tres ecuaciones y simplificamos la ecuación obtenida se le resta cada una de las ecuaciones

 

{\begin{array}{rcl} 2x+2y+2z&=&6 \\ 2(x+y+z)&=&6 \\ x+y+z&=&3 \end{array}}

 

6 A la ecuación obtenida se le resta cada una de las tres ecuaciones y se obtiene

 

{x=1, \ \ \ y=0, \ \ \ z=2}

 

7 La combinación lineal es

 

{\overrightarrow{m}=\vec{u}+2\overrightarrow{w}}

 

3 Dados los vectores {\vec{u}=(1,2,3), \, \vec{v}=(2,1,0), \, \overrightarrow{w}=(-1,-1,0)}, demostrar que dichos vectores forman una base y calcula las coordenadas del vector {(1,-1,0)} respecto de dicha base.

 

 

Dados los vectores {\vec{u}=(1,2,3), \, \vec{v}=(2,1,0), \, \overrightarrow{w}=(-1,-1,0)}, demostrar que dichos vectores forman una base y calcula las coordenadas del vector {(1,-1,0)} respecto de dicha base.

 

1Calculamos el determinante de {\vec{u}, \, \vec{v}, \, \overrightarrow{w}}

 

{\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1\\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & 0 \end{array}\right| = -3}

 

Como el determinante es distinto de cero, entonces {\vec{u}, \, \vec{v}, \, \overrightarrow{w}} son linealmente independientes y forman una base.

 

2 Expresamos el vector {\overrightarrow{m}} como combinación lineal de {\vec{u}, \, \vec{v}, \, \overrightarrow{w}}

 

{\overrightarrow{m}=x\vec{u} +y\vec{v} + z\overrightarrow{w}}.

 

3 Sustituimos los valores de los vectores

 

{\begin{array}{rcl} (1,-1,0) &=&x(1,2,3)+y(2,1,0)+z(-1,-1,0) \\ && \\ &=&(x+2y-z,2x+y-z,3x) \end{array}}

 

4 Obtenemos el sistema de ecuaciones

 

{\left\{ \begin{array}{rcl} x+2y-z&=&1 \\ 2x+y-z&=&-1 \\ 3x&=&0 \end{array}\right. }

 

5 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene

 

{x=0, \ \ \ y=2, \ \ \ z=3}

 

6 La combinación lineal es

 

{\overrightarrow{m}=2\vec{v}+3\overrightarrow{w}}

 

4 Dados los vectores: {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}. Demostrar que forman una base y hallar las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de esta base.

 

Dados los vectores: {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}. Demostrar que forman una base y hallar las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de esta base.

 

1Calculamos el determinante de {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}

 

{\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right| = -2}

 

Como el determinante es distinto de cero, entonces {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} son linealmente independientes y forman una base.

 

2 Expresamos el vector canónico {(1,0,0)} como combinación lineal de {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}

 

{(1,0,0)=x(1, 1, 0)+ y(1, 0, 1) +z(0, 1, 1)}.

 

3 Obtenemos el sistema de ecuaciones

 

{\left\{ \begin{array}{rcl} x+y&=&1 \\ x+z&=&0 \\ y+z&=&0 \end{array}\right. }

 

4 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene

 

{x=\displaystyle\frac{1}{2}, \ \ \ y=\displaystyle\frac{1}{2}, \ \ \ z=-\displaystyle\frac{1}{2}}

 

5 Las coordenadas del vector canónico {(1,0,0)} respecto a la nueva base es:

 

{\left(\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{2},-\displaystyle\frac{1}{2}\right)}

 

6 Repitiendo los pasos 2 a 5, las coordenadas de los vectores canónicos {(0,1,0), (0,0,1)} respecto a la nueva base son:

 

{\left(\displaystyle\frac{1}{2},-\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{2}\right)}

 

{\left(-\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{2}\right)}

 

5Determinar el valor del parámetro k para que los vectores {\vec{x}=(k,-2,3), \; \vec{y}=(-1,k,1)} sean ortogonales:

 

 

Determinar el valor del parámetro k para que los vectores {\vec{x}=(k,-2,3), \; \vec{y}=(-1,k,1)} sean ortogonales:

 

1Para que los vectores sean ortogonales su producto escalar tiene que ser igual a cero

 

{\begin{array}{rcl} \vec{x}\cdot \vec{y}&= &(k,-2,3) \cdot (-1,k,1) \\ && \\ &=&-k-2k+3 \\ && \\ &=&-3k+3 \\ && \\ &=&0 \end{array}}

 

2El resultado de la igualdad {-3k+3=0} es {k=1}, el cual es el valor buscado.

 

6Dados los puntos {A=(1, 0, 1), B=(1, 1, 1), C=(1, 6, a)}, hallar los valores de {a} para que los puntos estén alineados. Si los puntos son tres vértices de un paralelogramo de área 3, ¿cuáles son los valores de {a}?

 

Dados los puntos {A=(1, 0, 1), B=(1, 1, 1), C=(1, 6, a)}, hallar los valores de {a} para que los puntos estén alineados. Si los puntos son tres vértices de un paralelogramo de área 3, ¿cuáles son los valores de {a}?

 

1Calculamos los vectores {\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}}

 

{\overrightarrow{AB}=(1-1,1-0,1-1)=(0,1,0),}

 

{\overrightarrow{AC}=(1-1,6-0,a-1)=(0,6,a-1)}

 

2Si {A, B, C} están alineados los vectores {\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}} tienen la misma dirección, por lo que son linealmente dependientes y tienen sus componentes proporcionales

 

{(0,6,a-1)=k(0,1,0)}

 

3Igualando coordenadas obtenemos

 

{a-1=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a=1}

 

4Si los puntos son vértices de un paralelogramo, entonces el módulo del producto vectorial de {\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}} es igual al área del paralelogramo construido sobre {\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}}

 

{\left|  \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right|=|(a-1, 0, 0)|=\pm (a-1)}

 

5Igualamos el área a 3 y obtenemos

 

{a-1=3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a=4,}

 

{-(a-1)=3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a=-2,}

 

7Hallar dos vectores de módulo la unidad y ortogonales a {(2,-2,3)} y {(3,-3, 2)}.

 

Hallar dos vectores de módulo la unidad y ortogonales a {(2,-2,3)} y {(3,-3, 2)}.

 

1Calculamos el módulo del producto vectorial de ambos vectores

 

{\left| (2,-2,3) \times (3,-3, 2)\right|=|(5, 5, 0)|=\pm 5\sqrt{2}}

 

2Los vectores unitarios ortogonales unitarios son

 

{\displaystyle\frac{1}{5\sqrt{2}}(5, 5, 0)}

 

8Hallar un vector unitario y perpendicular a {\vec{u}=(2,3,4)} y {\vec{v}=(-1,3,-5)}.

 

Hallar un vector unitario y perpendicular a {\vec{u}=(2,3,4)} y {\vec{v}=(-1,3,-5)}.

 

1Calculamos el producto vectorial de ambos vectores, el cual es perpendicular a {\vec{u}} y {\vec{v}}

 

{\vec{u} \times \vec{v}=(-27, 6, 9)}

 

2Calculamos el módulo del vector anterior

 

{\left|\vec{u} \times \vec{v}\right|=\sqrt{846}}

 

3El vector unitario es

 

{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{846}}(-27, 6, 9)}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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