Ejercicios propuestos

1

Expresa el vector = (1, 2, 3) como combinación lineal de los vectores: = (1, 0, 1), = (1, 1, 0) y = (0, 1, 1).

 

Expresa el vector = (1, 2, 3) como combinación lineal de los vectores: = (1, 0, 1), = (1, 1, 0) y = (0, 1, 1).

Sumamos miembro a miembro las tres ecuaciones y a la ecuación obtenida se le resta cada una de las ecuaciones.

2

Siendo = (1, 0, 1), = (1, 1, 0) y = (0, 1, 1), demostrar que dichos vectores son linealmente independientes y expresa el vector = (1, 2, 3) como combinación lineal de dichos vectores.

 

Siendo = (1, 0, 1), = (1, 1, 0) y = (0, 1, 1), demostrar que dichos vectores son linealmente independientes y expresa el vector = (1, 2, 3) como combinación lineal de dichos vectores.

El sistema admite únicamente la solución trivial:

Por tanto, los tres vectores son linealmente independientes.

Sumamos miembro a miembro las tres ecuaciones y a la ecuación obtenida se le resta cada una de las ecuaciones.

3

Dados los vectores = (1, 2, 3), = (2, 1, 0) y = (−1, −1, 0), demostrar que dichos vectores forman una base y calcula las coordenadas del vector (1, −1, 0) respecto de dicha base.

 

Dados los vectores = (1, 2, 3), = (2, 1, 0) y = (−1, −1, 0), demostrar que dichos vectores forman una base y calcula las coordenadas del vector (1, −1, 0) respecto de dicha base.

El sistema homogéneo sólo admite la solución trivial:

Por tanto, los tres vectores son linealmente independientes y forman una base.

Las coordenadas del vector (1, −1, 0) respecto a la base son:.

4

Dados los vectores: (1, 1, 0), (1, 0, 1) y (0, 1, 1).

1Demostrar que forman una base. 2Hallar las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de esta base.

 

Dados los vectores: (1, 1, 0), (1, 0, 1) y (0, 1, 1).

Soluciones:

1Demostrar que forman una base.

Los tres vectores forman una base si son linealmente independientes.

En el sistema homogéneo el rango coincide con el número de incógnitas, por tanto tan sólo admite la solución trivial:

Los vectores son linealmente independientes y, por tanto, forma una base.

2Hallar las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de esta base.

Las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de la base son:

5

Determinar el valor del parámetro k para que los vectores = k − 2 + 3, = − + k + sean:

1Ortogonales 2Paralelos

 

Determinar el valor del parámetro k para que los vectores = k − 2 + 3, = − + k + sean:

Soluciones:

1Ortogonales

Para que los vectores sean ortogonales su producto escalar tiene que ser igual a cero.

2Paralelos

Para qué dos vectores sean paralelos, sus componentes tienen que ser proporcionales.

El sistema no admite solución.

6

Dados los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 1) y C(1, 6, a), se pide:

1Hallar para qué valores del parámetro a están alineados. 2Hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son tres vértices de un paralelogramo de área 3 y, en caso afirmativo, calcularlos.

 

Dados los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 1) y C(1, 6, a), se pide:

Soluciones:

1Hallar para qué valores del parámetro a están alineados.

Si A, B y C están alineados los vectores y tienen la misma dirección, por lo que son linealmente dependientes y tienen sus componentes proporcionales.

2Hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son tres vértices de un paralelogramo de área 3 y, en caso afirmativo, calcularlos.

El módulo del producto vectorial de los vectores y es igual al área del paralelogramo construido sobre y .

7

Hallar dos vectores de módulo la unidad y ortogonales a (2, −2, 3) y (3, −3, 2).

 

Hallar dos vectores de módulo la unidad y ortogonales a (2, −2, 3) y (3, −3, 2).

8

Hallar un vector perpendicular a y , y que sea unitario.

 

Hallar un vector perpendicular a y , y que sea unitario.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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