Una vez que ya conocemos la definición de un vector, procederemos a estudiar algunas de las operaciones básicas que se pueden realizar entre vectores.

 

Suma de vectores

 

Si tenemos dos vectores \vec{u} = (u_1, u_2) y \vec{v} = (v_1, v_2), entonces la suma de \vec{u} y \vec{v} es

 

\displaystyle \vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)

 

En otras palabras, el vector suma de \vec{u} y \vec{v} es el vector que resulta de sumar las componentes respectivas de estos vectores: la primera componente de \vec{u} se suma con la primera componente de \vec{v}, y la segunda componente de \vec{u} se suma con la segunda componente de \vec{v}.

 

 Interpretación gráfica de la suma

 

Observemos la siguiente gráfica que muestra la suma de los vectores \vec{u} y \vec{v}:

 

representación gráfica de la suma de dos vectores u y v

 

Si \vec{u} y \vec{v} son dos vectores libres, entonces para sumarlos gráficamente primero se elige el representante de \vec{v} cuyo origen es el extremo de \vec{u}. Luego, \vec{u} + \vec{v} es el vector cuyo origen es el origen de \vec{u} y cuyo extremo es el extremo de \vec{v}.

 

Notemos que también se puede elegir un representante de \vec{u} tal que su origen sea el extremo de \vec{v}. La suma \vec{u} + \vec{v} tendrá el mismo valor, pero ahora la obtendremos uniendo el origen de \vec{v} con el extremo de \vec{u}.

 

Regla del paralelogramo

 

Lo que discutimos anteriormente como la suma gráfica de los vectores se conoce como regla del paralelogramo. En particular, si queremos sumar dos vectores libres con origen en común, entonces debemos trazar rectas paralelas a los vectores. De esta forma se obtiene un paralelogramo cuya diagonal —que inicia en el origen de los vectores— es la suma misma de los vectores.

 

Observa la siguiente figura que muestra la regla del paralelogramo.

 

regla del paralelogramo representacion grafica con los vectores u y v

 

Superprof

Resta de vectores

 

La resta de dos vectores \vec{u} y \vec{v} simplemente es la suma de \vec{u} con -\vec{v} (es decir, el opuesto de \vec{v}).

 

De este modo, si consideramos los componentes de \vec{u} y \vec{v}, entonces la resta está dada por

 

\displaystyle \vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + \left(- \vec{v}\right) = (u_1 - v_1, u_2 - v_2)

 

Gráficamente, la resta de \vec{u} y \vec{v} se obtiene igual que la suma. La única diferencia es que sumamos el opuesto de \vec{v}. Observa la siguiente figura que muestra a \vec{u} - \vec{v} y nota que en el extremo de \vec{u} se coloca el origen de - \vec{v}.

 

resta de u y v representacion grafica vectores

 

Observemos que la resta \vec{u} - \vec{v} gráficamente es el vector que une el extremo de \vec{v} con el extremo de \vec{u} tal y como se puede apreciar en la siguiente figura:

 

Producto de vector por escalar

 

La multiplicación de un vector \vec{u} por un número k se escribe k\vec{u} o k \cdot \vec{u}. El número k también se conoce como escalar. Además, la multiplicación por escalar es otro vector que satisface las siguientes propiedades:

 

  • k\vec{u} tiene la misma dirección que \vec{u}.
  • Si k es positivo, entonces k\vec{u} tiene el mismo sentido que \vec{u}.
  • Si k es negativo, entonces k\vec{u} tiene el sentido contrario que \vec{u}.
  • El módulo de k\vec{u} es | k | \cdot \left|\vec{u} \right|

 

Observemos la siguiente figura que representa la multiplicación de \vec{u} por 3.

 

multiplicacion de un vector u por 3 representacion grafica

 

En términos de componentes, si \vec{u} = (u_1, u_2), entonces la multiplicación por escalar está dada por

 

\displaystyle k\vec{u} = (k \cdot u_1, k \cdot u_2)

 

Ejemplos de ejercicios con vectores

 

Consideremos los vectores \vec{u} = (-2, 5) y \vec{v} = (3, -1). Entonces:

 

1 La suma está dada por:

 

\displaystyle \vec{u} + \vec{v} = (-2 +3 , 5 - 1) = (1, 4)

 

2 La resta es:

 

\displaystyle \vec{u} - \vec{v} = \left(-2 - 3 , 5 - (-1) \right) = (-5, 6)

 

3 El opuesto de \vec{u} es:

 

\displaystyle -\vec{u}= \left( 2 , -5 \right)

 

4 El producto escalar de \vec{v} por 3 está dado por:

 

\displaystyle 3 \vec{v}= \left( 9 , -3 \right)

 

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Marta

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Barbara
Barbara
Invité
28 May.

Sigo sin entender que son operaciones con vectores…

Samuel
Samuel
Invité
5 Sep.

Cool

Superprof
Superprof
Administrateur
5 Sep.

¡Estamos muy contentos de que te haya gustado nuestro articulo, Samuel!

De la Cruz Mayra
De la Cruz Mayra
Invité
22 Sep.

Me puede explicar el operaciones con vector con el plano cartesiano

Superprof
Superprof
Administrateur
25 May.

Hola Mayra, te aconsejamos usar el buscador arriba a la derecha poniendo «sistemas de referencia» para leer nuestra página de teoría sobre vectores en el plan. ¡Un saludo!