Calcula las coordenadas del punto medio del segmento formado por los siguientes pares de puntos (Punto medio):

1 A(2, 8) y B(4, 0)

,

Utilizando la formula del punto medio, donde, el punto medio de los puntos (x_1, y_1) y  (x_2, y_2) es

     \[ \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)\]

Tendremos que las coordenadas en x,y son

 

     \[ \begin{aligned} &\mathrm{x}_{M}=\frac{2+4}{2}=\frac{6}{2}=3 \\ &\mathrm{y}_{M}=\frac{8+0}{2}=\frac{8}{2}=4 \end{aligned} \]

 

Es decir, la solución es M(3,4).

2A (-2, 3) y B(1, 5)

,

Usando la formula del punto medio, calculamos las coordenadas de x,y:

     \[ \begin{aligned} &\mathrm{x}_{M}=\frac{-2+1}{2}=\frac{-1}{2} \\ &\mathrm{y}_{M}=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4 \end{aligned} \]

Es decir, el punto medio es M(-\frac{1}{2},4).

3A(3, 1) y B(-1, -5)

,

Nuevamente utilizando la formula del punto medio, tenemos que las coordenadas son

     \[ \begin{aligned} &\mathrm{x}_{M}=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2} = 1\\ &\mathrm{y}_{M}=\frac{1-5}{2}=-\frac{4}{2}= -2 \end{aligned} \]

Y por tanto el punto medio es M(1,-2).

4 A(-2, -3) y B(-4, 3)

,

Calculamos las coordenadas del punto medio

     \[ \begin{aligned} &\mathrm{x}_{M}=\frac{-2-4}{2}= -\frac{6}{2} = -3\\ &\mathrm{y}_{M}=\frac{-3+3}{2}= 0 \end{aligned} \]

Y de aquí el punto medio es M(-3,0).

Calcula las coordenadas de los puntos que faltan considerando los datos proporcionados (Punto medio):

5 A(x_1, y_1), B(4, 3) y M(5/2, 7/2)

,

Tenemos un punto B y las coordenadas del punto medio, con esto y haciendo uso de la formula del punto medio calculamos el punto faltante.

    \[ \begin{aligned} &\mathrm{x}_{M}=\frac{\mathrm{x}_1+4}{2}=\frac{5}{2} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{x}_1+4=5 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{x}_1=1 \\ &\mathrm{y}_{M}=\frac{\mathrm{y}_1+3}{2}=\frac{7}{2} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{y}_1+3=7 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{y}_1=4 \end{aligned} \]

Por tanto el punto es A(1,4).

6 A(x_1, y_1), B(4, 3) y M(2, 1)

,

Nuevamente usamos la formula del punto medio

    \[ \begin{aligned} &\mathrm{x}_{M}=\frac{\mathrm{x}_1+4}{2}=2 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{x}_1+4=4 \Rightarrow \mathrm{x}_1=0 \\ &\mathrm{y}_{M}=\frac{\mathrm{y}_1+3}{2}=1 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{y}_1+3=2 \Rightarrow \mathrm{y}_1=-1 \end{aligned} \]

Es decir, el punto faltante es A(0,-1).

7A(5, 1), B (x_2, y_2) y M(0, 3)

,

Tendremos

    \[ \begin{aligned} &\mathrm{x}_{M}=\frac{5+\mathrm{x}_2}{2}=0 \quad \Rightarrow \quad 5+\mathrm{x}_1=0 \Rightarrow \mathrm{x}_2=-5 \\ &\mathrm{y}_{M}=\frac{1+\mathrm{y}_2}{2}=3 \quad \Rightarrow \quad 1+\mathrm{y}_1=6 \Rightarrow \mathrm{y}_1=5 \end{aligned} \]

Y el otro punto es B(-5,5).

8A(-7, 3), B (x_2, y_2) y M(4, 5)

,

Similarmente

    \[ \begin{aligned} &\mathrm{x}_{\mathrm{M}}=\frac{-7+\mathrm{x}_2}{2}=4 \quad \Rightarrow \quad -7+\mathrm{x}_1=8 \Rightarrow \mathrm{x}_2=15 \\ &\mathrm{y}_{\mathrm{M}}=\frac{3+\mathrm{y}_2}{2}=5 \quad \Rightarrow \quad 3+\mathrm{y}_2=10 \Rightarrow \mathrm{y}_2=7 \end{aligned} \]

Obteniendo B(15,7).

Hallar las coordenadas del baricentro de los triángulos cuyos vértices son: (Baricentro):

9A(2, 7), B(4, 3) y C(0, 2)

,

Recordemos que el baricentro es el punto de corte de las tres medianas. Las medianas de un triángulo son las rectas que unen el punto medio de un lado del triángulo con el vértice opuesto.

Recordemos también que las coordenadas del baricentro de un triangulo con vértices A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3), son

    \[ G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right) \]

Por tanto, utilizando lo anterior buscamos las coordenadas del baricentro

    \[ \begin{aligned} &\mathrm{x}_{\mathrm{G}}=\frac{2+4+0}{3}=\frac{6}{3}=2 \\ &\mathrm{y}_{\mathrm{G}}=\frac{7+3+2}{3}=\frac{12}{3}=4 \end{aligned} \]

Es decir, el baricentro se encuentra en G(2,4).

10A(-1, 0), B(2, -3) y C(5, 1)

,

Igual que el ejercicio anterior

    \[ \begin{aligned} &x_{\text {G }}=\frac{-1+2+5}{3}=\frac{6}{3}=2 \\ &y_G=\frac{0-3+1}{3}=\frac{-2}{3} \end{aligned} \]

Por tanto, el baricentro se encuentra en G(2,-2/3).

Si tienes dudas puedes consultar la teoría aquí y aquí

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗