Representación en el plano de un punto trasladado por un vector v
La traslación es una transformación puntual por la cual a todo punto A del plano le corresponde otro punto A' también del plano de forma que AA'= \vec v, siendo \vec v el vector que define la traslación.
La traslación se designa por T_{\overrightarrow{v} }, luego T_{\overrightarrow{v} }(A)=A'.

El punto A' es el punto trasladado de A.

Un punto y su trasladado se dice que son homólogos.

 

Coordenadas de un punto mediante una traslación

Representación en el plano de un punto trasladado por un vector v
La traslación T, definida por el vector \vec v del punto A hacia el punto A' se puede entender mediante la siguiente fórmula.

Primero, detallamos cómo se escriben los dátos:

T_{\overrightarrow{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A(x,y) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \vec v = (a,b).

El punto A' es igual al punto A, más el vector \vec v:

A' = A + \vec v .
Entonces,

 

A'=(x,y)+(a,b)=(x+a,y+b).

 

donde,

 

x'= x+a

 

y'= y+b

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Vamos

Ejemplo de traslación de un punto

 

En la representación gráfica, podemos observar el punto A que se traslada al punto A' mediante el vector \vec v .
representación gráfica de traslación del punto A(4, 1) con vector v(2,3)

Los datos de la traslación son los siguientes:

 

T_{\overrightarrow{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A(4,1) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A'(x',y')\ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \vec v = (2,3).

 

Sabemos que la coordenada x' se calcula mediante la fórmula x'= x+a

x'= 4+2 = 6

 

Calculamos ahora y' con la fórmula y'= y+b
y'= 1+3 = 4

Las coordenadas del punto A'  son A'(6,4)

Traslación de una recta

Representación gráfica de traslación de una recta con vector v

Una recta que se transforma, mediante una traslación, en una recta paralela.

Traslación de una circunferencia

representación gráfica de traslación de un circulo con vector v

La homóloga de una circunferencia mediante una traslación es otra circunferencia de igual radio que tiene como centro el punto homólogo del centro de la circunferencia original.

Composición de traslaciones

Representación gráfica de dos traslaciones con vectores u y v de un triangulo ABC

Al aplicar sucesivamente dos traslaciones de vectores \vec v y \vec u , se obtiene otra traslación cuyo vector es la suma de los vectores \vec u + \vec v, donde:

A' = A + \vec u
A" = A + \vec u + \vec v

Ejercicios de traslaciones

1Una traslación en el plano está definida por un vector \vec v (2,-3)
a Hallar la imagen por dicha traslación de un punto A (1,3).

b Hallar la transformada de una circunferencia que tiene de centro (3,4) y de radio 1.

 

Una traslación en el plano está definida por un vector \vec v (2,-3)a Hallar la imagen por dicha traslación de un punto A (1,3).

Primero, escribimos los datos del problema:

\vec v (2,-3) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A (1,3).

Usando la fórmula A'=(x,y)+(a,b)=(x+a,y+b) para calcular la imágen, obtenemos:

A'=(2,-3)+(1,3)=(2+1,-3+3).
A'=(3,0).

b Hallar la transformada de una circunferencia que tiene de centro (3,4) y de radio 1.

Primero, escribimos los datos del problema:

\vec v (2,-3) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ O (3,4) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r=1

O corresponde a las coordenadas del centro de la circunferencia y r su radio.

Usando, la misma fórmula que en el punto A, calculamos la imagen de O,

O'=(x,y)+(a,b)=(x+a,y+b) y obtenemos:

O'=(3,4)+(2,-3)=(3+2,4-3)

O'=(5,1) y la imagen del radio, r'=1 sigue siendo igual que r

2 En una traslación mediante el vector \vec v, un punto A (3, - 2) se transforma en un punto A' (1,5).
Calcular:
a El transformado del punto B(-2, 4).

b La transformada de una circunferencia de centro (1,2)y radio r=3.

En una traslación mediante el vector \vec v, un punto A (3, - 2) se transforma en un punto A' (1,5).
Calcular:
a El transformado del punto B(-2, 4)[/latex].

Primero, escribimos los datos del problema:

A (3, - 2) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A'(1,5)

Para poder escribir el transformado del punto B, que vamos a notar B', necesitamos averiguar cual es el vector \vec v.

Sabemos que el vector \vec v se nota con las cooredenadas (a,b).

Usando la fórmula de la traslacion, competamos los datos conocidos (las coordenadas de los puntos A, A':

A'=(x,y)+(a,b)=(x+a,y+b).

A'=(3,-2)+(a,b)=(3+a,-2+b)= (1, 5).

Sabemos entoces que:

3+a=1.

a=1-3 = -2.

-2+b=5.

b=5+2= 7.

Teniendo las coordenadas del vector \vec v (-2,7), podemos calcular el transformado del punto B(-2,4).

Usando la misma fórmula,

B'=(x,y)+(a,b)=(x+a,y+b).

Colocamos los datos conocidos:

B'=(-2,4)+(-2,7)=(-2-2,4+7),

y obtenemos:

B'=(-4,11).

b La transformada de una circunferencia de centro (1,2)y radio r=3.

Primero escribimos los datos del problema:

\vec v (-2,7)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ O(1,2)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r = 3

Y calculamos la transformada de la circunfencia, que notamos con O', usando la misma fórmula:

O'=(x,y)+(a,b)=(x+a,y+b).

B'=(1,2)+(-2,7)=(1-2,2+7).

B'=(-1,9) y r'=3 igual que r.

3Una traslación tiene de vector \vec v (3,-3). Hallar la figura transformada de un triángulo cuyos vértices son:

A(0,0)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B(5,7)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C(8,4)

 

Una traslación tiene de vector \vec v (3,-3). Hallar la figura transformada de un triángulo cuyos vértices son:A(0,0)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B(5,7)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C(8,4)Para poder dibujar la figura transformada, tenemos que averiguar las coordenadas de los puntos Una traslación tiene de vector A', B' y C'.

Primero, escribimos los datos del problema:

A(0,0)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B(5,7)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C(8,4)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec v(3,-3)

Usando la fórmula, calculamos cada una de las coordenadas:

A'=(x,y)+(a,b)=(x+a,y+b).
A'=(0,0)+(3,-3)=(3,-3) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A'(3,-3).
B'=(5,7)+(3,-3)=(5+3,7-3)=(8,4) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B'(8,4) .
C'=(8,4)+(3,-3)=(8+3,4-3)=(11,1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C'(11,1).

 

Teniendo las coordenadas, podemos dibujar la figura:

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗