Vectores equipolentes

 

1Dado el vector \vec{u}= (2, -1), determinar dos vectores \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{CD} equipolentes a \vec{u}, , sabiendo que A(1, -3) y D(2, 0).

 

1 \boldsymbol{\overrightarrow{AB}}
 
Por definición de equipolente, queremos \vec{u}=\overrightarrow{AB}. Entonces

(2,-1)=(x_B-1,y_B+3)

Lo que implica que

\left\{\begin{matrix} 2=x_B-1 & &x_B=3\\ \\ -1=y_B+3 & & \ \ y_B=-4 \end{matrix}\right.\hspace{1cm}\Rightarrow \hspace{1cm} B=(3,-4)

 
2 \boldsymbol{\overrightarrow{CD}}
 
Por definición de equipolente, queremos \vec{u}=\overrightarrow{CD}. Entonces

(2,-1)=(2-x_C,0-y_C)

Lo que implica que

\left\{\begin{matrix} 2=2-x_C & &x_C=0\\ \\ -1=-y_C & & \ \ y_C=1 \end{matrix}\right.\hspace{1cm}\Rightarrow \hspace{1cm} C=(0,1)

 

2 Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(−1, −2), B(4, −1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.

vectores equipolentes

Al ser paralelogramo, los vectores \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{DC} deben ser equipolentes, es decir

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}

Esto es

    \begin{align*} (5-x_D,2-y_D)&=(4-(-1),-1-(-2)) \hspace{3.5cm}.\\ (5-x_D, 2-y_D)&=(4+1,-1+2)\\ (5-x_D, 2-y_D)&=(5,1)\end{align*}

Y así,

\left\{\begin{matrix} 5= 5-x_D & &x_D=0\\ \\ 1=2-y_D & & y_D=1 \end{matrix}\right.\hspace{1cm}\Rightarrow \hspace{1cm} D=(0,1)

 

3 Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: A (2, −1) y B(8, −4). Hallar las coordenadas del punto C que divide al segmento AB en dos partes tales que AC es la mitad de CB.

 
Queremos encontrar el punto C tal que AC es la mitad de CB, es decir,

\displaystyle \overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}

Entonces,

\displaystyle (x_C-2,y_C+1)=\frac{1}{2}(8-x,-4-y)

Y así,

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x-2= \frac{1}{2}(8-x) & &x_C=4\\ \\ y+1=\frac{1}{2}(-4-y) & & y_C=-2 \end{matrix}\right.\hspace{1cm}\Rightarrow \hspace{1cm} C=(4,-2)

 

4 Hallar el simétrico del punto A(4, −2) respecto de M(2, 6).

 
Queremos hallar el simétrico de A respecto a M, por lo que lo vectores AM y MA' deben ser equipolentes

\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MA'}

Entonces,

(2-,6+2)=(x-2,y-6)

Y así,

 \left\{\begin{matrix} x-2= -2 & &x_{A'}=0\\ \\ y-6=8 & & y_{A'}=14 \end{matrix}\right.\hspace{1cm}\Rightarrow \hspace{1cm} A'(0,14)

 

Superprof

Punto medio y baricentro

 

5 Dados los vértices de un triángulo A(1, 2), B(−3, 4) y C(−1, 6), hallar las coordenadas del baricentro.

 

Recordemos que las coordenadas del baricentro de un triángulo están dadas por

\displaystyle G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)

 
Por lo tanto en este caso, el baricentro es:

\displaystyle G\left(\frac{1-3-1}{3},\frac{2+4+6}{3}\right)=G(-1,4)

 

6 Si A(−3, 1), hallar las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, −2) es el punto medio de AC.

 

Recordamos que el punto medio entre (x_1,y_1) y (x_2,y_2) está dado por

\displaystyle \left( \frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2} \right)

Entonces

\displaystyle \left(\frac{-3+x_C}{2}, \frac{1+y_C}{2}\right)=(2,-2)

Lo que implica que

\left\{\begin{matrix} \frac{-3+x_C}{2}=2 & & -3+x_C=4  & &x_C=7\\ \\ \frac{1+y_C}{2}=-2 & &  1+y_C=-4   & & y_C=-5 \end{matrix}\right.

 
Y así el punto es C(7,-5)
 

7 Si el segmento AB de extremos A(1, 3), B(7, 5), se divide en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división?

punto medio de un segmento

Recordamos que el punto medio entre (x_1,y_1) y (x_2,y_2) está dado por
 

\displaystyle \left( \frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2} \right)

 

1 Q punto medio de AB

 

\displaystyle Q\left(\frac{1+7}{2},\frac{3+5}{2}\right)=Q(4,4)

 

2 P punto medio de AQ

 

\displaystyle P\left(\frac{1+4}{2},\frac{3+4}{2}\right)=P\left(\frac{5}{2},\frac{7}{2}\right)

 

3 R punto medio de QB

 

\displaystyle Q\left(\frac{4+7}{2},\frac{4+5}{2}\right)=Q\left(\frac{11}{2},\frac{9}{2}\right)

 

Módulos y puntos alineados

 

8Calcula el valor de k sabiendo que el módulo del vector \vec{v}= (k, 3) es 5.

 

Calculamos el módulo del vector y lo igualamos a 5

\left | (k,3) \right |=\sqrt{k^2 +3^2}=5

Elevamos al cuadrado para deshacernos de la raíz

25=k^2 +9

Despejamos y sacamos raíz

k^2=16 \hspace{2cm} k=\pm 4

 

9 Si \vec{v} es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.

 

Siempre que dividamos un vector por su módulo, obtendremos un vector unitario.
Así que calcularemos el módulo

\left | \vec{v} \right |=\sqrt{3^2+4^2}=5

El vector unitario es

\displaystyle \vec{w}= \frac{1}{5} (3,4)=\left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)

 

10 Averiguar si están alineados los puntos: A(−2, −3), B(1, 0) y C(6, 5).

 

Recordemos que 3 puntos están alineados si sus coordenadas son proporcionales

\displaystyle \frac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\frac{y_2-y_1}{y_3-y_2}

Entonces

\displaystyle \frac{1-(-2)}{6-1}=\frac{0-(-3)}{5-0}\hspace{1cm}\frac{1+2}{6-1}=\frac{0+3}{5-0} \hspace{1cm} \frac{3}{5}=\frac{3}{5}

Por lo tanto, los puntos se encuentran alineados
 
 

 

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Marta

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astulle
astulle
Invité
1 May.

Los cuatro vértices consecutivos de un paralelogramo son A = (-3; -4), B, C = (8; 6)yD. siendo M=(-5,3) el punto medio del lado AB. Hallar By D.
me podrias ayudar porfa

Luis Ernesto Sanchez Perez
Luis Ernesto Sanchez Perez
Editor
20 Jun.

¡Buen día! Resolvamos el ejercicio. Primero, recordemos que dados dos puntos (x1, y1), (x2, y2), su punto medio está dado por ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2). Dado que sabemos los valores de A, y los valores de su punto medio con B, M, tenemos que ((-3 + b1)/2, (-4 + b2)/2) = (-5, 3) De donde se sigue que (-3 + b1)/2 = -5 -3 + b1 = -10 b1 = -7 (-4 + b2)/2 = 3 -4 + b2 = 6 b2 = 10 Así, B = (-7, 10) Ahora, notemos la diferencia entre las coordenadas de A… Lire la suite »