Derivada en un punto

La derivada de una función  f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

f{}'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\Delta f}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

La gráfica de la derivada

 

 

Ejemplos

1 Calcular la derivada de la función f(x)=3x^{2} en el punto x = 2.

f{}'(2)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3(2+h)^{2}-3\cdot 2^{2}}{h}
desarrollamos el binomio al cuadrado, multiplicamos y eliminamos términos
=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3(4+4h+h^{2})-12}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3h^{2}+12h}{h}

aplicamos el límite

=\lim_{h\rightarrow 0}\left ( 3h+12 \right )=3(0)+12=12

 

2 Hallar la derivada de la función f(x)=x^{2}+4x-5 en x = 1.

f{}'(1)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=

desarrollamos el binomio al cuadrado, multiplicamos y eliminamos términos
=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left ( 1+h \right )^{2}+4\left ( 1+h \right )-5-\left ( 1^{2}+4\cdot 1-5 \right )}{h}=

sumamos términos
=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1+2h+h^{2}+4+4h-5}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^{2}+6h}{h}

aplicamos el límite
=\lim_{h\rightarrow 0}\left ( h+6 \right )=0+6=6

 

3 Calcular la derivada de f(x)=2x^{2}-6x+5 en x =-5.

f{}'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2(x+h)^{2}-6(x+h)+5-(2x^{2}-6x+5)}{h}=

desarrollamos el binomio al cuadrado, multiplicamos y eliminamos términos
=\lim_{h \to 0}\frac{2x^{2}+4xh+2h^{2}-6x-6h+5-2x^{2}+6x-5}{h}=

con el resultado factorizamos h en el numerador y se divide con la de abajo
=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{4xh-6h+2h^{2}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h(4x-6+2h)}{h}=

aplicamos el límite
=\lim_{h\rightarrow 0}(4x-6+2h)=4x-6+2(0)=4x-6

Ahora evaluamos x=-5
f{}'(-5)=4(-5)-6=-26

 

4 Hallar la derivada de f(x)=x^{3}+2x-5 en x = 1.

f{}'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^{3}+2(x+h)-5-(x^{3}+2x-5)}{h}=

desarrollamos el binomio al cubo, multiplicamos y eliminamos términos
=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}+2x+2h-5-x^{3}-2x+5}{h}=

con el resultado factorizamos h en el numerador y se divide con la de abajo
=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}+2h}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h(3x^{2}+3xh+h^{2}+2)}{h}=

aplicamos el límite
=\lim_{h\rightarrow 0}3x^{2}+3xh+h^{2}+2=3x^{2}+3x(0)+0^{2}+2=3x^{2}+2

Ahora evaluamos x=1
f{}'(1)=3(1)^{2}+2=5

 

5 Determinar la derivada de f(x)=\frac{1}{x} en x = 2.

Vamos a aplicar la regla para restar dos fracciones para poder eliminar términos

f{}'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}=

aplicamos ley de la herradura para poder eliminar h
=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{-h}{x^{2}+xh}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-h}{h\left ( x^{2}+xh \right )}=\lim_{h\rightarrow 0}\left ( -\frac{1}{x^{2}+xh} \right )
aplicamos el límite
=\lim_{h\rightarrow 0}\left ( -\frac{1}{x^{2}+xh} \right )=-\frac{1}{x^{2}+x(0)}=-\frac{1}{x^{2}}
Ahora evaluamos x=2
f{}'(2)=-\frac{1}{2^{2}}=-\frac{1}{4}

 

6 Calcula el valor de la derivada f(x)=\frac{x}{x-1} en x = 2.

Vamos a aplicar la regla para restar dos fracciones para poder eliminar términos

f{}'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{x+h}{x+h-1}-\frac{x}{x-1}}{h}=

aplicamos ley de la herradura para poder eliminar h
=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{x^{2}-x+xh-h-x^{2}-hx+x}{(x+h-1)(x-1)}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{-h}{(x+h-1)(x-1)}}{h}

aplicamos el límite
=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-1}{(x+h-1)(x-1)}=\frac{-1}{\left ( x+0-1 \right )\left ( x-1 \right )}=\frac{-1}{(x-1)^{2}}
Ahora evaluamos x=2
f{}'(2)=\frac{-1}{(2-1)^{2}}=-1

 

7 Hallar la derivada de f(x)=\sqrt{x} en x = 3.

Para esta función vamos a racionalizar multiplicando por su conjugado para eliminar las raíces cuadradas

f{}'(3)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{3+h}-\sqrt{3}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left ( \sqrt{3+h}-\sqrt{3} \right )\left ( \sqrt{3+h}+\sqrt{3} \right )}{h\left ( \sqrt{3+h}+\sqrt{3} \right )}=

restamos para eliminar y poder dividir la h con la del denominador
=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left ( 3+h \right )-3}{h\left( \sqrt{3+h}+\sqrt{3} \right )}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h}{h\left ( \sqrt{3+h}+\sqrt{3} \right )}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{3+h}+\sqrt{3}}

aplicamos el límite
=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{3+h}+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3+0}+\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}

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Vamos

Derivadas laterales

Una función es derivable en un punto si, y solo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.

Derivada por la izquierda

f{}'(a^{-})=\lim_{h\rightarrow 0^{-}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Derivada por la derecha

f{}'(a^{+})=\lim_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Ejemplo

Estudiar el valor de la derivada de f(x)=\left\{\begin{matrix} -x & \textit{si } x< 0\\ x & \textit{si } x\geq 0 \end{matrix}\right. en x = 0.

Calculamos la derivada por la izquierda.

\lim_{h\rightarrow 0^{-}}\frac{-(0+h)-0}{h}=\frac{-h}{h}=-1

Calculamos la derivada por la derecha.

\lim_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{(0+h)-0}{h}=\frac{h}{h}=1

Como no coinciden las derivadas laterales la función no tiene derivada en x = 0.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗