1 junio 2019
Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua para x = a.
El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables.
Ejemplos
Estudiar la continuidad y derivabilidad de las funciones:
1. 
En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.
La función no es continua, por tanto tampoco es derivable.
2. 
En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.
La función es continua, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.
Como no coinciden las derivadas laterales no es derivable en x = 0.
3. f(x) = x² en x = 0.
La función es continua en x = 0, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.
En x = 0 la función es continua y derivable.
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En el ejercicio 1), no podria ser continua por la derecha? ya que su imagen y el limite por la derecha dan el mismo resultado.
Buen día
Cuando hablamos de continuidad, hablamos de un entorno, donde siempre consideramos todo el alrededor del punto, no existe algo como continuidad por derecha o izquierda, supongo que estás confundiendo lo que es límite por derecha (límite no es lo mismo que continuidad). Te invito a investigar sobre la definición de continuidad en un aspecto mátemático puto para que te ayude a aclarar tus dudas.
Saludos.
pero en sí, qué significa que una función es derivable y para qué me sirve saber si es derivable
Buen día,
El que una función sea derivable puede ayudar en muchas cosas, por ejemplo en encontrar sus mínimos o máximos, en saber la tasa de crecimiento de esta en cierto punto (como varía), una forma de verlo con aplicaciones físicas, con el desplazamiento, velocidad, aceleración, te invito a leer el artículo de Ejercicios de aplicaciones físicas de la derivada para que tengas mejor noción.
Sobre el qué significa, pues en términos matemáticos, el que una función sea derivable significa la existencia del límite que la define, pero puedes verlo como el hecho de que el que una función sea derivable implica que en todos sus puntos es posible calcular su tasa de crecimiento ya que esta es medible.
Saludos
como aplicar la continuidad a la derivada en un punto a