Si una función es derivable en un punto 
, entonces es continua en .
El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables.
Ejemplo: Estudiar la continuidad y derivabilidad de
1 En primer lugar estudiamos la continuidad en 
. Para esto verificamos si la función está definida en cero, si el límite existe y si ambos coinciden
Luego la función está definida en
Para el límite empleamos los límites laterales
Como los límites laterales no coinciden, entonces el límite no existe. Luego la función no es continua en
2 Como la función no es continua en , entonces no es derivable en .
Ejemplo: Estudiar la continuidad y derivabilidad de
1 En primer lugar estudiamos la continuidad en . Para esto verificamos si la función está definida en cero, si el límite existe y si ambos coinciden
Luego la función está definida en
Para el límite empleamos los límites laterales
Como los límites laterales coinciden, entonces el límite existe y es igual a cero
Como 
, entonces la función es continua en
2 Calculamos la derivada mediante límites laterales.
Como los límites laterales no coinciden, entonces la derivada no existe en
Ejemplo: Estudiar la continuidad y derivabilidad en de
1La función es continua en , por tanto podemos estudiar la derivabilidad.
2 Calculamos la derivada mediante límites
Así, en la función es continua y derivable.
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una pregunta, Si f es diferenciable en cualquier número real x, entonces f es continua en todas partes, es verdadero o falso?
como aplicar la continuidad a la derivada en un punto a
pero en sí, qué significa que una función es derivable y para qué me sirve saber si es derivable
Buen día,
El que una función sea derivable puede ayudar en muchas cosas, por ejemplo en encontrar sus mínimos o máximos, en saber la tasa de crecimiento de esta en cierto punto (como varía), una forma de verlo con aplicaciones físicas, con el desplazamiento, velocidad, aceleración, te invito a leer el artículo de Ejercicios de aplicaciones físicas de la derivada para que tengas mejor noción.
Sobre el qué significa, pues en términos matemáticos, el que una función sea derivable significa la existencia del límite que la define, pero puedes verlo como el hecho de que el que una función sea derivable implica que en todos sus puntos es posible calcular su tasa de crecimiento ya que esta es medible.
Saludos
En el ejercicio 1), no podria ser continua por la derecha? ya que su imagen y el limite por la derecha dan el mismo resultado.
Hola Marta, qué ocurre si la fin está definida como y=1 para x=0?
No es continúa, pero si derivable? Favor me explicas? Gracias
Buen día
Cuando hablamos de continuidad, hablamos de un entorno, donde siempre consideramos todo el alrededor del punto, no existe algo como continuidad por derecha o izquierda, supongo que estás confundiendo lo que es límite por derecha (límite no es lo mismo que continuidad). Te invito a investigar sobre la definición de continuidad en un aspecto mátemático puto para que te ayude a aclarar tus dudas.
Saludos.