Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua en x = a.

 

El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables.

 

Ejemplo: Estudiar la continuidad y derivabilidad de

 

f(x) = \left \{ \begin{array}{l} 1 \ \ si \ \ x<0 \\  x \ \ si \ \ x \geq 0 \end{array} \right.

 

1 En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0. Para esto verificamos si la función está definida en cero, si el límite existe y si ambos coinciden

 

f(0) = 0

 

Luego la función está definida en x = 0

 

Para el límite empleamos los límites laterales

 

\displaystyle \lim_{x \to 0^-}f(x) = \lim_{x \to 0^-} 1 = 1

 

\displaystyle \lim_{x \to 0^+}f(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0

 

Como los límites laterales no coinciden, entonces el límite no existe. Luego la función no es continua en x = 0

 

2 Como la función no es continua en x = 0, entonces no es derivable en x = 0.

 

derivabilidad y continuidad 1

 

Ejemplo: Estudiar la continuidad y derivabilidad de

 

f(x) = \left \{ \begin{array}{l} 0 \ \ si \ \ x<0 \\ x \ \ si \ \ x \geq 0 \end{array} \right.

 

1 En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0. Para esto verificamos si la función está definida en cero, si el límite existe y si ambos coinciden

 

f(0) = 0

 

Luego la función está definida en x = 0

 

Para el límite empleamos los límites laterales

 

\displaystyle \lim_{x \to 0^-}f(x) = \lim_{x \to 0^-} 0 = 0

 

\displaystyle \lim_{x \to 0^+}f(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0

 

Como los límites laterales coinciden, entonces el límite existe y es igual a cero

 

\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x) = 0

 

Como \displaystyle \lim_{x \to 0}f(x) = f(0), entonces la función es continua en x = 0

 

2 Calculamos la derivada mediante límites laterales.

 

\displaystyle \lim_{h \to 0^-} \cfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \cfrac{0 - 0}{h} = 0

 

\displaystyle \lim_{h \to 0^+} \cfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \cfrac{0 + h - 0}{h} = 1

 

Como los límites laterales no coinciden, entonces la derivada no existe en x = 0

 

derivabilidad y continuidad 2

 

Ejemplo: Estudiar la continuidad y derivabilidad en x = 0 de

 

f(x) = x^2

 

1La función es continua en x = 0, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.

 

2 Calculamos la derivada mediante límites

 

\displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \cfrac{(0 + h)^2 - 0^2}{h} = \lim_{h \to 0}h = 0

 

Así, en x = 0 la función es continua y derivable.

 

derivabilidad y continuidad 3

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗