1 Encuentra los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la siguiente función:

 

\displaystyle f(x) = x + \frac{4}{x}

 

Notemos, primero, que el dominio de f(x) es

 

\displaystyle D(f) = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}

 

ya que tenemos una indeterminación en 0.

 

Para encontrar los intervalos de crecimiento, debemos encontrar esos intervalos donde la derivada es positiva. De manera similar, para encontrar los intervalos de decrecimiento, necesitamos encontrar los intervalos en donde la derivada es negativa. Por lo tanto, lo primero que debemos hacer es derivar la función:

 

\displaystyle f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2}

 

Ahora, para encontrar los intervalos donde f'(x) es positiva o negativa, debemos encontrar los ceros de f'(x) primero:

 

\displaystyle 1 - \frac{4}{x^2} = 0 \quad \Longrightarrow \quad 1 = \frac{4}{x^2}

 

Por lo tanto, x^2 = 4, de donde se sigue que x = -2 y x = 2. Además, observemos que debemos tomar en cuenta el valor de x = 0 ya que f'(x) tiene una indeterminación ahí.

 

La lógica que seguimos aquí es que f'(x) cambia de signo alrededor de sus raíces o puntos de indeterminación.

 

Observemos que si x < - 2 (es decir, x \in (-\infty, -2)), entonces f'(x) > 0. Para notarlo evaluamos, por ejemplo, en x = -3 con lo que obtenemos f(3) = 5/9.

 

Similarmente, si x \in (-2, 0), entonces f'(x) < 0.

 

Si x \in (0, 2), entonces f'(x) < 0.

 

Por último, si x \in (2, \infty), entonces tenemos que f'(x) > 0.

 

De este modo, los intervalos donde f(x) es creciente son

 

\displaystyle (-\infty, -2) \cup (2, \infty)

 

mientras que los intervalos donde f(x) es decreciente son

 

\displaystyle (-2, 0) \cup (0, 2)

 

2 Encuentra los máximos y mínimos de la siguiente función:

 

\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 6x + 9}

 

Para encontrar los máximos y mínimos de la función, necesitamos calcular la derivada de la función. Observemos, antes que el denominador es un trinomio cuadrado perfecto, por lo que la función se puede simplificar como

 

\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{(x - 3)^2}

 

Así, la derivada es:

 

\displaystyle f'(x) = \frac{(2x - 1)(x - 3)^2 - 2(x - 3)(x^2 - x - 2)}{(x - 3)^4}

 

que al simplificar el numerador, obtenemos:

 

\displaystyle f'(x) = \frac{(x - 3)(-5x + 7)}{(x - 3)^4} = \frac{-5x + 7}{(x - 3)^3}

 

La función tendrá un máximo o mínimo cuando f'(x) = 0, es decir,

 

\displaystyle f'(x) = \frac{-5x + 7}{(x - 3)^3} = 0

 

lo cual se cumple si -5x + 7 = 0. Luego, x = 7/5.

 

Para determianr si x = 7/5 es un máximo, podemos utilizar el criterio de la segunda derivada o el criterio de la primera derivada. En este caso, es más sencillo utilizar el criterio de la primera derivada para evitar calcular la segunda derivada. Para esto, evaluamos f'(x) en un punto a la izquierda de x = 7/5 y en un punto a la derecha de este (siempre que no sea mayor a 3). Como 1 está a la izquierda de 7/5, evaluamos:

 

\displaystyle f(1) = \frac{-5 + 7}{(1 - 3)^3} = \frac{2}{-8} < 0

 

Asimismo, como 2 está a la derecha de 7/5, entonces evaluamos:

 

\displaystyle \frac{-10 + 7}{(2 - 3)^3} = \frac{-3}{-1} > 0

 

Notemos que a la izquierda de 7/5 la derivada es negativa (la función decrese) y a la derecha de 7/5 la derivada es positiva (la función crece).

 

El valor de f(x) en 7/5 es:

 

\displaystyle f\left(\tfrac{7}{5}\right) = \frac{\tfrac{49}{25} - \tfrac{7}{5} - 2}{\tfrac{49}{25} - 6 \cdot \tfrac{7}{5} + 9} = -\frac{9}{16}

 

Esto significa que \left( \frac{7}{5}, -\frac{9}{16} \right) es un mínimo (y el único valor extremo de f(x)).

 

3 Determina las ecuaciones de la recta tangente y la ecuación normal en el punto de inflexión de la siguiente función:

 

\displaystyle f(x) = x^3 - 3x^2 + 7x + 1

 

Primero debemos encontrar el punto de inflexión de la derivada. Esto lo logramos al encontrar la segunda derivada de la función. La primera derivada está dada por

 

\displaystyle f'(x) = 3x^2 - 6x + 7

 

mientras que la segunda derivada está dada por

 

\displaystyle f''(x) = 6x - 6

 

El punto de inflexión se encuentra cuando f''(x) = 0, es decir,

 

\displaystyle 6x - 6 = 0

 

por lo que x = 1 es el punto de inflexión.

 

Luego, el valor de la derivada en el punto de inflexión es:

 

\displaystyle f'(1) = 3 - 6 + 7 = 4

 

Así, la pendiente de f(x) en x = 1 es 4. La recta tangente debe tener esa pendiente.

 

Si evaluamos la función en x = 1, tenemos:

 

\displaystyle f(1) = 1 - 3 + 7 + 1 = 6

 

Por tanto, la función pasa por el punto (1, 6) y la recta tangente debe pasar por el mismo punto.

 

1 Para determinar ecuación de la recta tangente, utilizamos la fórmula punto pendiente con m = 4 y x_0 = (1, 6):

 

\displaystyle y - 6 = 4(x - 1) = 4x - 4

 

por lo que la ecuación de la recta tangente es

 

\displaystyle y = 4x + 2

 

2 Similarmente, para encontrar la ecuación de la recta normal, utilizamos la fórmula pendiente, pero ahora con m = -1/4 y x_0 = (1, 6):

 

\displaystyle y - 6 = -\frac{1}{4}(x - 1) = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}

 

por lo que la ecuación de la recta normal es

 

\displaystyle y = -\frac{1}{4}x + \frac{25}{4}

 

or

 

\displaystyle x + 4y - 25 = 0

 

4 La cantidad y expresa el dinero acumulado en una máquina de tragaperras durante un día y se calcula de la siguiente manera:

 

\displaystyle y = \tfrac{1}{3}x^3 - 19 x^2 + 352x + 100

 

en donde la variable x representa el tiempo en horas (entre 0 y 24). Responde las siguientes preguntas:

 

a ¿Se queda sin dinero la máquina en alguna ocasión?

 

b Si se realiza la "caja" a las 24 horas. ¿La máquina da ganancias a los dueños de la máquina?

 

c ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima?

 

d ¿En qué momento la máquina entrega el mayor premio?

 

a ¿Se queda sin dinero la máquina en alguna ocasión?

 

Para responder esta pregunta, es necesario verificar que f(x) > 0 para todo x \in [0, 24]. Esto no es sencillo, pues tenemos que encontrar las raíces de f(x) y es una ecuación de tercer grado. La forma más sencilla es graficar la función:

 

grafica dinero como funcion del tiempo

 

Observemos que la grafica es positiva en todo el intervalo [0, 24]. Asimismo, observemos que toma valores muy grandes, incluso superiores a y = 2000.

 

Por lo tanto, podemos concluir que la máquina nunca se queda sin monedas.

 

b Si se realiza la "caja" a las 24 horas. ¿La máquina da ganancias a los dueños de la máquina?

 

Para responder esta pregunta debemos determinar la cantidad de dinero al inicio y al final del periodo de 24 horas. Es decir, f(0) y f(24). Tenemos que

 

\displaystyle f(0) = 100

 

y

 

\displaystyle f(24) = 4608 - 10944 + 8448 + 100 = 2212

 

por lo tanto, al final de las 24 horas, la máquina tiene 2\;212 euros. Esto representa una ganacia de 2; 112 euros por día.

 

c ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima?

 

Interpretamos los momentos de mayor y menor recaudación como aquellos momentos donde la máquina tiene el mayor o menor dinero.

 

De la gráfica podemos observar que la máquina tiene el menor dinero cuando x = 0, pues es el único caso donde f(x) = 100. Este mínimo no se puede obtener por medio de la derivada.

 

Para la mayor recaudación debemos encontrar el máximo de la función. Por tanto, debemos derivar:

 

\displaystyle f'(x) = x^2 - 38x + 352

 

Encontramos las raíces por medio de la fórmula general:

 

\displaystyle x = \frac{38 \pm \sqrt{1444 - 4(352)}}{2} = \frac{38 \pm 6}{2} = 19 \pm 3

 

por lo que las raíces son 16 y 22.

 

Calculamos la segunda derivada:

 

\displaystyle f''(x) = 2x - 38

 

y observamos que f''(16) = -6 < 0 por lo que en x = 16 tenemos un máximo. Al evaluar f''(22) = 6 > 0, por lo que x = 22 es un mínimo local (sin embargo, su valor es mayor al de f(0).

 

Antes de concluir que el momento de máxima recaudación es x = 16, debemos comprobar que f(16) sea mayor a f(24) = 2\; 212:

 

\displaystyle f(16) = \frac{4096}{3} - 4864 + 5632 + 100 = 2233.33 > f(24)

 

por lo que, en efecto, el momento de mayor recaudación es cuando x = 16. Es decir, a la 16va hora.

 

d ¿En qué momento la máquina entrega el mayor premio?

 

El mayor premio se entrega cuando f(x) decrece lo mayor posible. La función solo decrece entre 16 y 22, así que en alguno de estos momentos se entrega el mayor premio. Hay dos formas de encontrarlo, una forma es encontrar el mínimo de f'(x) el cual, al ser una parábola, será el punto medio de sus raíces (16 y 22), es decir, 19.

 

Otra forma es encontrar el punto de inflexión utilizando la segunda derivada. En este caso, f''(x) = 2x - 38. Si igualamos a 0, obtenemos

 

\displaystyle 2x - 38 = 0

 

de manera que x = 19. Justo como lo habíamos calculado anteriormente. Por consiguiente, en la hora 19 se entrega el mayor premio.

 

5 Sea f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 7. Encuentra los valores de a y b de manera que la gráfica de la función de f(x) tenga un punto de inflexión en x = 1 y cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de 45^{\circ} con el eje-x.

 

Para encontrar el punto de inflexión necesitamos la segunda derivada. Por tanto, empezamos calculando la primera derivada:

 

\displaystyle f'(x) = 3x^2 + 2ax + b

 

Luego, la segunda derivada es

 

\displaystyle f''(x) = 6x + 2a

 

Como queremos que el punto de inflexión esté en x = 1, evaluamos en 1 e igualamos a 0:

 

\displaystyle f''(1) = 6 + 2a = 0

 

de donde se obtiene la ecuación 6 + 2a = 0 y, por tanto, a = -3. Luego, deseamos que la tangente en ese punto forme un ángulo de 45^{\circ} con el eje-x. Sabemos que la tangente de ese ángulo es la pendiente, por tanto

 

\displaystyle m = \tan 45^{\circ} = 1

 

es decir, la recta tangente debe tener una pendiente de 1, es decir, f'(1) = 1. Así, evaluando en la derivada, obtenemos

 

\displaystyle 1 = f'(1) = 3 + 2a + b = 3 + 2(-3) + b = 3 - 6 + b

 

De donde obtenemos que 1 = -3 + b o b = 4.

 

Por lo tanto, a = -3 y b = 4.

 

6 Obtén la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4 en su punto de inflexión.

 

Primero debemos encontrar el punto de inflexión. Para hacerlo, necesitamos que la segunda derivada sea igual a cero. Primero calculamos la primera derivada:

 

\displaystyle f'(x) = 6x^2 - 12x

 

Por lo que la segunda derivada es

 

\displaystyle f''(x) = 12x - 12

 

Así, al igualar en cero tenemos 12x - 12 = 0 o x = 1. Por lo que el punto de inflexión se encuentra cuando x = 1. Ahora evaluamos f(x) en x = 1:

 

\displaystyle f(-1) = 2 - 6 + 4 = 0

 

de manera que el punto de inflexión es el punto (1, 0).

 

Asimismo, la recta tangente tiene como pendiente a m = f'(1). Por tanto, evaluamos f'(x) en x = 1:

 

\displaystyle f'(1) = 6 - 12 = -6

 

Con esto ya podemos encontrar la ecuación de la recta tangente utilizando la fórmula punto-pendiente:

 

\displaystyle y - 0 = -6(x - 1) = -6x + 6

 

Así, la ecuación de la recta tangente es

 

\displaystyle y = -6x + 6

 

7 Determina el a, b y c para que la función f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c tenga un máximo en x = -4, tenga un mínimo para x = 0 y tome el valor de 1 en x = 1.

 

Como sabemos donde están los máximos y mínimos, necesitamos la primera derivada de la función:

 

\displaystyle f'(x) = 3x^2 + 2ax + b

 

donde los valores críticos deben estar en x = -4 y x = 0 (nota que no importa si son mínimos o máximos, como el coeficiente principal es 1, entonces el máximo siempre estará a la izquierda). Así, se debe cumplir que f'(0) = 0 y f'(-4) = 0:

 

\displaystyle f'(0) = b = 0

 

de donde se sigue que b = 0. Similarmente,

 

\displaystyle f'(-4) 3(-4)^2 + 2a(-4) = 48 - 8a = 0

 

de donde se obtiene que a = 6 al despejar a.

 

Por último, sabemos que f(1) = 1. Así:

 

\displaystyle f(1) = 1 + 6 + c = 1

 

Por lo que c = -6. Así, los valores son

 

\displaystyle a = 6, \quad b = 0, \quad c = -6

 

y la función es f(x) = x^3 + 6x^2 - 6.

 

8 Determinar a, b, c, d y e de manera que la curva f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e tenga un punto crítico en (1, 3) y tenga un punto de inflexión tangente a la recta y = 2x en el punto (0, 0).

 

Sabemos que f(x) tiene un punto de inflexión en (0, 0), esto significa que

 

1 f(x) debe pasar por el punto (0, 0):

 

\displaystyle f(0) = e = 0

 

por lo tanto, e = 0.

 

2 La segunda derivada de f(x) debe ser 0 en x = 0. Por tanto, calculamos las derivadas:

 

\displaystyle f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d

 

y

 

\displaystyle f''(x) = 12ax^2 + 6bx + 2c

 

donde se debe cumplir que f''(0) = 0:

 

\displaystyle f''(0) = 2c = 0

 

de donde se sigue que c = 0.

 

Todavía nos faltan por determinar las constantes a, b y d. Sin embargo, ya sabemos que la función tiene la forma

 

\displaystyle f(x) = ax^4 + bx^3 + dx

 

Sabemos que la función es tangente a y = 2x (pendiente 2) en el punto (0, 0). Por tanto, debemos tener que f'(0) = 2:

 

\displaystyle f'(0) = d = 2

 

de donde se sigue de inmediato que d = 2.

 

Por último, sabemos que f(x) tiene un punto crítico en (1, 3). Esto significa que

 

1 f(x) pasa por el punto (1, 3) o que f(1) = 3. Así:

 

\displaystyle f(1) = a + b + 2 = 3

 

o

 

\displaystyle a + b = 1 \qquad \dots (1)

 

2 La derivada de f(x) en x = 1 debe ser 0. Es decir:

 

\displaystyle f'(1) = 4a + 3b + 2 = 0

 

o

 

\displaystyle 4a + 3b = -2 \qquad \dots (2)

 

Notemos que (1) y (2) forman un sistema de ecuaciones. Una forma de resolverlo es multiplicar a (1) por 3 y restar el resultado a (2). Esto resulta:

 

\displaystyle a = -5

 

Luego, sustituimos este valor en (1) para obtener -5 + b = 1 o b = 6.

 

Por tanto,

 

\displaystyle a = -5, \quad b = 6, \quad c = 0, \quad d = 2, \quad e = 0

 

9 La curva f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en \left( \tfrac{2}{3}, \tfrac{1}{9} \right). Encuentra los valores de a, b y c.

 

Como la curva corta al eje de abscisas en x = 3, entonces debemos tener que f(3) = 0. Es decir,

 

\displaystyle f(3) = 27 + 9a + 3b + c = 0

 

o

 

\displaystyle 9a + 3b + c = -27. \qquad \dots (1)

 

Luego, conocemos un punto de inflexión de f(x). Esto significa dos cosas:

 

1 f(x) debe pasar por el punto \left( \tfrac{2}{3}, \tfrac{1}{9} \right)

 

\displaystyle \tfrac{1}{9} = f\left( \tfrac{2}{3} \right) = \frac{8}{27} + \frac{4}{9}a + \frac{2}{3}b + c

 

es decir

 

\displaystyle 3 = 8 + 12a + 18b + 27c

 

o

 

\displaystyle 12 a + 18 b + 27 c = -5 \qquad \dots (2)

 

2 Además, sabemos que el punto de inflexión está en x = 2/3. Por lo tanto, necesitamos la segunda derivada de f(x). Primero calculamos la primera derivada:

 

\displaystyle f'(x) = 3x^2 + 2ax + b

 

por lo que la segunda derivada es

 

\displaystyle f''(x) = 6x + 2a

 

donde sabemos que f''(2/3) = 0, es decir

 

\displaystyle 0 = f''\left( \tfrac{2}{3} \right) = 6 \cdot \frac{2}{3} + 2a = 4 + 2a

 

Luego, a = -2.

 

Ahora sustituimos a = -2 en las dos ecuaciones anteriores. Al sustituir en (2) tenemos -24 + 18 b + 27 c = 22, es decir

 

\displaystyle 18 b + 27c = 19 \qquad \dots (3)

 

y al sustituir en (1), obtenemos -18 + 3b + c = -27, es decir,

 

\displaystyle 3b + c = -9 \quad \Longrightarrow \quad c = -9 - 3b

 

Sustituyendo en la ecuación (3), se obtiene que

 

\displaystyle 18 b + 27(-9 - 3b) = 18 b - 243 - 81 b = -63b - 243 = 19

 

es decir, b = -\tfrac{262}{63}. Luego, al sustituir en la expresión que tenemos para c, obtenemos

 

\displaystyle c = -9 - 3 \cdot \left( - \frac{262}{63} \right) = -9 + \frac{262}{21} = \frac{73}{21}

 

Por lo tanto, los valores son

 

\displaystyle a = -2, \quad b = -\frac{262}{63}, \quad c = \frac{73}{21}

 

10 Dada la función

 

\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{x^2 + ax + c}

 

encuentra los valores de a, b y c tales que la función f(x) tenga en (2, -1) un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.

 

Deseamos que la curva pase por el origen de coordenadas. Es decir, f(0) = 0. Si evaluamos la función en el origen, obtenemos:

 

\displaystyle f(0) = \frac{0^2 + a(0) + b}{0^2 + a(0) + c} = \frac{b}{c} = 0

 

de donde se sigue b = 0 y que c \neq 0. Por lo tanto, ya encontramos uno de los tres valores.

 

Asimismo, sabemos que f(x) debe tener un extremo local en (2, -1). Esto significa dos cosas:

 

1 Lo primero, es que f(2) = -1. Es decir, f(x) debe pasar por el punto (2, -1). De modo que, al evaluar f(x) en 2, obtenemos

 

\displaystyle f(2) = \frac{4 + 2a}{4 + 2a + c} = -1

 

Si pasamos el denominador multiplicando, obtenemos

 

\displaystyle 4 + 2a = -4 - 2a - c

 

es decir

 

\displaystyle 4a + c + 8 = 0

 

2 Además de que f(x) deba pasar por (2, -1), también se debe cumplir que f'(2) = 0 para que la función tenga un extremo local en ese punto. Por tanto, debemos encontrar la derivada de f(x) utilizando la regla del cociente:

 

\displaystyle f'(x) = \frac{(2x + a)(x^2 + ax + c) - (2x + a)(x^2 + ax)}{(x^2 + ax + c)^2}

 

que, si simplificamos un poco, resulta en

 

\displaystyle f'(x) = \frac{(2x + a)c}{(x^2 + ax + c)^2}

 

Al evaluar en 2, obtenemos:

 

\displaystyle f'(2) = \frac{(4 + a)c}{(4 + 2a + c)^2} = 0

 

Debemos tener que 4 + 2x + c \neq 0 para que no se indetermine la derivada. Así, la expresión es equivalente a (4 + a)c = 0. Como sabemos que c \neq 0, entonces se debe tener que 4 + a = 0. Así, a = -4.

 

Luego, sustituyendo en la ecuación del caso anterior, tenemos:

 

\displaystyle 4(-4) + c + 8 = -16 + 8 + c = 0

 

es decir c = 8.

 

Por lo tanto, a = -4, b = c y c = 8.

 

11 Encuentra los valores de a y b para que la función f(x) = a\ln x + bx^2 + x tenga valores extremos en los puntos x_1 = 1 y x_2 = 2. Luego, dados esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tiene la función en x_1 y en x_2?

 

Como queremos que la función tenga valores extremos en x_1 = 1 y x_2 = 2, entonces debemos tener que f'(1) = 0 y f'(2) = 0.

 

Por lo tanto, primero calculamos la derivada de la función

 

\displaystyle f'(x) = \frac{a}{x} + 2bx + 1

 

Ahora evaluamos en x_1 = 1:

 

\displaystyle f'(1) = \frac{a}{1} + 2b(1) + 1 = a + 2b + 1 = 0

 

Asimismo, si evaluamos x_2 = 2:

 

\displaystyle f'(2) = \frac{a}{2} + 2b(2) + 1 = \frac{a}{2} + 4b + 1 = 0

 

Por tanto, tenemos el siguiente sistema de ecuaciónes

 

\displaystyle \begin{cases}a + 2b = -1\\\frac{1}{2}a + 4b = -1\end{cases}

 

cuya solución es a = -2/3 y b = -1/6. Por tanto, los valores son

 

\displaystyle a = -\frac{2}{3} \qquad b = -\frac{1}{6}

 

y nuestra función es

 

\displaystyle f(x) = -\frac{2}{3}\ln x - \frac{1}{6}x^2 + x

 

Luego, para determinar si son mínimos o máximos, calculamos la segunda derivada:

 

\displaystyle f''(x) = -a\frac{1}{x^2} + 2b = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^2} - \frac{1}{3}

 

Si evaluamos en x_1 = 1:

 

\displaystyle f''(1) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} > 0

 

por lo que tenemos un mínimo en x_1 = 1. Similarmente, si evaluamos en x_2 = 2:

 

\displaystyle f''(2) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{6} < 0

 

de manera que tenemos un máximo en x_2 = 2.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗