Ejercicios propuestos

1

Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:

 

Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:

Hallamos el dominio

Derivamos e igulamos la derivada a cero y hallamos sus raíces

Formamos intervalos con los ceros de la derivada primera y el punto de discontinuidad

Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo

2

Hallar los máximos y mínimos de la función:

 

Hallar los máximos y mínimos de la función:

Factorizamos el denominador

Derivamos

Igulamos la derivada a cero y hallamos las raíces de la ecuación

Calculamos la derivada segunda

Calculamos el signo que toman la raíces de la derivada primera

Si f''(x) > 0 tenemos un mínimo

Si f''(x) < 0 tenemos un máximo

Calculamos la segunda coordenada del mínimo en la función

3

Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inflexión a la curva: f(x) = x³ − 3x² + 7x + 1.

 

Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inflexión a la curva: f(x) = x³ − 3x² + 7x + 1.

Hallamos los puntos de inflexión hallando los ceros de la derivada segunda que al sustituirlos en la derivada tercera tienen que dar distinto de cero

La segunda coordenada del punto de inflexión se calcula sustituyendo en la función

f′ (x) = 3x 2 − 6x + 7

f′′ (x) = 6 x − 6

6 x − 6 = 0 x= 1

f′′′(x) =12 f′′′(1) ≠ 0 f(1)= 6

Punto de inflexión: (1, 6)

La pendiente de la recta tangente será igual a la derivada primera en el punto

La pendiente de la recta normal es el opuesto del inverso de la derivada primera en el punto

 

mt = f′(1) = 3 · 1 2 − 6 · 1 + 7 = 4 mn = −1/4

Recta tangente: y − 6 = 4 (x − 1) 4x − y + 2 = 0

Recta normal: y − 6 = − 1/ 4 (x − 1) x + 4 y − 25 = 0

4

La cantidad (y) expresa el dinero acumulado en una máquina tragaperras durante un día y sigue una ley del tipo:

y = 1/3x³ — 19x² + 352x + 100

donde la variable x representa el tiempo en horas (de 0 a 24). Responde a las siguientes preguntas:

1 ¿Se queda alguna vez vacía de dinero la máquina?

2 Si se realiza la "caja" a las 24 horas. ¿Arroja ganancias para los dueños de la máquina?

3 ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima?

4 ¿Cuándo entrega el mayor premio?

 

La cantidad (y) expresa el dinero acumulado en una máquina tragaperras durante un día y sigue una ley del tipo:

y = 1/3x³ — 19x² + 352x + 100

donde la variable x representa el tiempo en horas (de 0 a 24). Responde a las siguientes preguntas:

¿Se queda alguna vez vacía de dinero la máquina?

Entre 0 y 24 la función es distinta de cero, por lo cual la máquina siempre tiene monedas.

Hay un mínimo absoluto en (0, 100).

Si se realiza la "caja" a las 24 horas. ¿Arroja ganancias para los dueños de la máquina?

Ganancia: f(24) − f(0)= 2212 − 100 = 2112

¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima?

f′(x)= x² − 38x + 352 x² − 38x + 352 = 0

x = 16 x = 22

f′′(x)= 2x − 38

f′′(16) = 32 − 38 < 0Máximo (16, 6700/3)

f′′(22) = 44 − 38 > 0Mínimo (22, 6592/3)

¿Cuándo entrega el mayor premio?

El mayor premio será igual al punto de inflexión.

f′′′(x) = 2

2x − 38 = 0x = 19

5

Sea f(x) = x³ + ax² + bx + 7. Hallar a y b de manera que la gráfica de la función f(x) tenga para x= 1 una inflexión, y cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de 45° con el eje OX.

 

Sea f(x) = x³ + ax² + bx + 7. Hallar a y b de manera que la gráfica de la función f(x) tenga para x = 1 una inflexión, y cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de 45° con el eje OX.

f'(x) = 3x² + 2ax + b f′′(x) = 6x + 2a

tg 45º = f'(1) = 1

3 + 2a + b = 1

f′′(1) = 0

6 + 2a = 0

a = − 3 b = 4

6

Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x³ − 6x 2 + 4 en su punto de inflexión.

 

Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x³ − 6x 2 + 4 en su punto de inflexión.

f′(x) = 6x2 − 12xf′′(x) = 12x − 12

12x − 12 = 0x = 1

f′′′(x) = 12 f′′′(1) ≠ 0 f(1) = 0

Punto de inflexión: (1, 0)

f′(1) = 6 − 12 = − 6 = m

y − 0 = −6(x − 1)y = −6x + 6

7

Determinar a, b y c para que la función f(x) = x 3 + ax² + bx + c tenga un máximo para x = −4, un mínimo, para x = 0 y tome el valor 1 para x = 1.

 

Determinar a, b y c para que la función f(x) = x³ + ax² + bx + c tenga un máximo para x = −4, un mínimo, para x = 0 y tome el valor 1 para x = 1.

f(x) = x³ + ax² + bx + c f′(x) = 3x² + 2ax + b

f(1) = 1

1 = 1 + a + b + c a + b + c = 0

f'(–4) = 0

0 = 48 − 8a + b 8a − b = 48

f'(0) = 0

0 = 0 − 0 + b b = 0

a = 6 b = 0 c = −6

8

Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = ax³ + bx² + cx + d tenga un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).

 

Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = ax³ + bx² + cx + d tenga un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).

f(x) = ax³ + bx 2 + cx + df′(x) = 3ax² + 2bx + c

f(0) = 4

d = 4

f(2) = 0

8a + 4b + 2c + d = 0

f′(0) = 0

c = 0

f′(2) =0

12a + 4b + c = 0

a = 1 b = −3 c = 0 d = 4

9

Determinar a, b, c, d y e, de modo que la curva f(x) = ax4 + bx³ + cx² + dx + e, tenga un punto crítico en (1, 3) y un punto de inflexión con tangente de ecuación y = 2x en (0, 0).

 

Determinar a, b, c, d y e, de modo que la curva f(x) = ax4 + bx³ + c x² + dx + e, tenga un punto crítico en (1, 3) y un punto de inflexión con tangente de ecuación y = 2x en (0, 0).

f′(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d f′′(x) = 12ax² + 6bx + 2c

f(1) = 3

a + b + c + d = 3

f(0) = 0

e = 0

f′(1) = 3 (punto crítico: máximo o mínimo)

4a + 3 b + 2c + d = 3

mt = f′(0) = 2

d = 2

f′′(0) = 0

2c = 0

a = −5 b = 6 c = 0 d = 2 e = 0

10

La curva f(x) = x³ + ax² + bx + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c.

 

La curva f(x) = x 3 + a x² + b x + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c.

11

Dada la función:

Calcula a, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, −1) un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.

 

Dada la función:

Calcula a, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, −1) un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.

12

Hallar a y b para qué la función: f(x) = a · ln x + bx² + x tenga extremos en los puntos x1 = 1 y x2 = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tienen la función en 1 y en 2?

 

Hallar a y b para qué la función: f(x) = a · ln x + bx² + x tenga extremos en los puntos x1 = 1 y x2 = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tienen la función en 1 y en 2?

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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