Consideremos una función \quad y = f(x) \quad y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas \quad a \quad y \quad a + h, siendo \quad h \quad un número real que corresponde al incremento de \quad x \quad (\quad \Delta x \quad).

 

Se llama tasa de variación (TV) de la función en el intervalo \quad [a, a + h], que se representa por \quad \Delta y \quad, a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de las abscisas \quad a \quad y \quad a + h \quad.

 

\displaystyle \Delta y = f(a + h) - f(a)

 

Gráfica sobre la tasa de variación en una función.

 

Tasa de variación media

 

Se llama tasa de variación media (TVM) en intervalo \quad [a, a + h], representada por \quad \frac{\Delta y}{h} \quad o \quad \frac{\Delta y}{\Delta x}, al cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo considerado sobre el eje de abscisas, \quad h \quad o \quad \Delta x, esto es:

 

\displaystyle \text{{\bf TVM}}[a, a + h] = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

 

 

La expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la función \quad f(x) , que pasa por los puntos de abscisas \quad a \quad y \quad a + h \quad.

 

\displaystyle m = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

 

ya que en el triángulo \quad PQR, de la imagen anterior, resulta que:

 

\displaystyle \tan (\alpha) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

 

Ejemplos

 

1. Calcular la TVM de la función \quad f(x) = x^2 - x \quad en el intervalo \quad [1, 4].

 

     \begin{align*} \text{{\bf TVM}}[1, 4] &= \frac{f(4) - f(1)}{3}\\ &= \frac{12 - 0}{3}\\ &= 4 \end{align*}

 

2. El índice de la bolsa de Madrid pasó cierto año de \quad 1350 \quad a \quad 1510. Hallar la tasa de variación media mensual.

 

     \begin{align*} \text{{\bf TVM}} &= \frac{1510 - 1350 }{12}\\ &= \frac{160}{12}\\ &= 13.33 \end{align*}

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Marta

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