Marta

9 agosto 2020

Temas

 

Como sabemos, existen 2 formas esenciales para resolver derivadas, la primera es a través del limite con la formula:

 

\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\cfrac{f(x+h)-f(x)}{h}

 

Y la segunda es a través de formulas definidas para cada uno de los diferentes casos, en estos ejercicios usaremos la segunda opción.

 

Calcula las derivadas de las funciones

 

1 f(x)=5

 

2 f(x)=-2x

 

3 f(x)=-2x+2

 

4 f(x)=-2x^{2}-5

 

5 f(x)=2x^{4}+x^{3}-x^{2}+4

 

6 f(x)=\cfrac{x^{3}+2}{3}

 

7 f(x)=\cfrac{1}{3x^{2}}

 

8 f(x)=\cfrac{x+1}{x-1}

 

9 f(x)=(5x^{2}-3)\cdot (x^{2}+x+4)

 

 

Calcula las derivadas de las funciones

 

1 f(x)=5

 

En este caso, utilizamos la fórmula \cfrac{d}{dx}\; a=0, que significa que la derivada de cualquier constante siempre es 'cero'.

 

f'(x)=0

 

 

2 f(x)=-2x

 

En este caso, utilizamos la fórmula \cfrac{d}{dx}\; a\cdot x=a, que significa que cuando tengamos una constante multiplicando a una variable, la derivada será la constante.

 

f'(x)=-2

 

 

3 f(x)=-2x+2

 

En este caso, utilizamos la regla \cfrac{d}{dx}\left ( u+v-w \right )=u'+v'-w', que significa que cuando se tenga una suma o diferencia de funciones (o términos algebraicos), la derivada será equivalente a la suma y/o diferencia de las derivadas de cada función (o términos algebraicos).

 

f'(x)=-2

 

 

4 f(x)=-2x^{2}-5

 

En este caso, derivamos cada término algebraico. Para el primero usamos la fórmula \cfrac{d}{dx}\; x^{n}=n\cdot x^{n-1}.

 

f'(x)=-4x

 

 

5 f(x)=2x^{4}+x^{3}-x^{2}+4

 

En este caso, derivamos cada término algebraico:

 

f'(x)=8x^{3}+3x^{2}-2x

 

 

6 f(x)=\cfrac{x^{3}+2}{3}

 

En este caso, podemos reescribir la función como:

 

f(x)=\cfrac{1}{3}\cdot \left ( x^{3}+2 \right )

 

Por lo que la derivada será \cfrac{1}{3} multiplicado por la derivada de la función x^{3}+2

 

f'(x)=\cfrac{1}{3}\cdot \left ( 3x^{2} \right )

 

f'(x)=x^{2}

 

 

7 f(x)=\cfrac{1}{3x^{2}}

 

Para este tipo de funciones, en las que la variable se encuentra en el denominador, podemos aplicar la propiedad de las potencias:

 

a^{-n}=\cfrac{1}{a^{n}}

 

f(x)= \cfrac{1}{3}\cdot x^{-2}

 

Para derivar, podemos aplicar la fórmula \cfrac{d}{dx}\; x^{n}=n\cdot x^{n-1}

 

Por lo que tenemos:

 

f'(x)=\cfrac{1}{3}\left ( -2x^{-3} \right )

 

f'(x)=-\cfrac{2}{3x^{3}}

 

 

8 f(x)=\cfrac{x+1}{x-1}

 

Para derivar un cociente usamos la formula:

 

\cfrac{d}{dx}\left ( \cfrac{u}{v} \right )=\cfrac{v\cdot u'-u\cdot v'}{v^2}

 

Por lo que la derivada nos queda:

 

f'(x)=\cfrac{(x-1)\cdot (1)-(x+1)\cdot (1)}{(x-1)^{2}}

 

f'(x)=\cfrac{x-1-x-1}{(x-1)^{2}}

 

f'(x)=-\cfrac{2}{(x-1)^{2}}

 

 

9 f(x)=(5x^{2}-3)\cdot (x^{2}+x+4)

 

Para derivar un producto, aplicamos la formula:

 

\cfrac{d}{dx}\; (u\cdot v)=u\cdot v'+v\cdot u'

 

Por lo que la derivada quedaría:

 

f'(x)=(5x^{2}-3)\cdot (2x+1)+(x^{2}+x+4)\cdot (10x)

 

f'(x)=10x^{3}+5x^{2}-6x-3+10x^{3}+10x^{2}+40x

 

f'(x)=20x^{3}+15x^{2}+34x-3

 

 

Calcula mediante la fórmula de la derivada de una potencia

 

1 f(x)=\cfrac{5}{x^{5}}

 

2 f(x)=\cfrac{5}{x^{5}}+\cfrac{3}{x^{2}}

 

3 f(x)=\sqrt{x}

 

4 f(x)=\cfrac{1}{\sqrt{x}}

 

5 f(x)=\cfrac{1}{x\cdot \sqrt{x}}

 

6 f(x)=\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt{x}

 

7 f(x)=(x^{2}+3x-2)^{4}

 

 

Calcula mediante la fórmula de la derivada de una potencia

 

Recuerda que la formula para derivar una potencia es:

 

\cfrac{d}{dx}\; x^{n}=n\cdot x^{n-1}

 

Esta formula la utilizaremos en todos los ejercicios de esta sección

 

1 f(x)=\cfrac{5}{x^{5}}

 

Utilizando las propiedades de las potencias, podemos reescribir la función como:

 

f(x)=5x^{-5}

 

Aplicando la formula para derivar una potencia:

 

f'(x)=-25x^{-6}

 

f'(x)=-\cfrac{25}{x^{6}}

 

 

2 f(x)=\cfrac{5}{x^{5}}+\cfrac{3}{x^{2}}

 

Utilizando las propiedades de las potencias, podemos reescribir la función como:

 

f(x)=5x^{-5}+3x^{-2}

 

Aplicando la formula para derivar una potencia:

 

f'(x)=-25x^{-6}-6x^{-3}

 

f'(x)=-\cfrac{25}{x^{6}}-\cfrac{6}{x^{3}}

 

 

3 f(x)=\sqrt{x}

 

Utilizando las propiedades de las potencias, podemos reescribir la función como:

 

f(x)=x^{\frac{1}{2}}

 

Aplicando la formula para derivar una potencia:

 

f'(x)=\cfrac{1}{2}\; x^{-\frac{1}{2}}

 

f'(x)=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}

 

 

4 f(x)=\cfrac{1}{\sqrt{x}}

 

Utilizando las propiedades de las potencias, podemos reescribir la función como:

 

f(x)=x^{-\frac{1}{2}}

 

Aplicando la formula para derivar una potencia:

 

f'(x)=-\cfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}

 

f'(x)=-\cfrac{1}{2\cdot x\cdot \sqrt{x}}

 

 

5 f(x)=\cfrac{1}{x\cdot \sqrt{x}}

 

Utilizando las propiedades de las potencias, podemos reescribir la función como:

 

f(x)=\cfrac{1}{x\cdot x^{\frac{1}{2}}}=\cfrac{1}{x^{\frac{3}{2}}}=x^{-\frac{3}{2}}

 

Aplicando la formula para derivar una potencia:

 

f'(x)=-\cfrac{3}{2}\; x^{-\frac{5}{2}}

 

f'(x)=-\cfrac{3}{2x^{2}\cdot \sqrt{x}}

 

 

6 f(x)=\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt{x}

 

Utilizando las propiedades de las potencias, podemos reescribir la función como:

 

f(x)=x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{2}}

 

Aplicando la formula para derivar una potencia:

 

f'(x)=\cfrac{2}{3}\; x^{-\frac{1}{3}}+\cfrac{1}{2}\; x^{-\frac{1}{2}}

 

f'(x)=\cfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}+\cfrac{1}{2\sqrt{x}}

 

 

7 f(x)=(x^{2}+3x-2)^{4}

 

En este caso, tenemos una función elevada a una potencia, por lo que podemos emplear la formula:

 

\cfrac{d}{dx}\; u^{n}=n\cdot u^{n-1}\cdot u'

 

f'(x)=4(x^{2}+3x-2)^{3}\cdot (2x+3)

 

f'(x)=(8x+12)(x^{2}+3x-2)^{3}

 

 

Calcula mediante la fórmula de la derivada de una raíz

 

1 f(x)=\sqrt{x^{2}-2x+3}

 

2 f(x)=\sqrt[4]{x^{5}-x^{3}-2}

 

3 f(x)=\sqrt[3]{\cfrac{x^{2}+1}{x^{2}-1}}

 

 

Calcula mediante la fórmula de la derivada de una raíz

 

Para derivar funciones que contienen raíces, podemos convertirlas a potencia (como en el apartado anterior), o bien, utilizar las siguientes formulas para derivar raíces:

 

\cfrac{d}{dx}\sqrt{u}=\cfrac{u'}{2\sqrt{u}}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \cfrac{d}{dx}\sqrt[k]{u}=\cfrac{u'}{k\cdot \sqrt[k]{u^{k-1}}}

 

1 f(x)=\sqrt{x^{2}-2x+3}

 

Al ser raíz cuadrada podemos utilizar la primer formula

 

f'(x)=\cfrac{2x-2}{2\sqrt{x^{2}-2x+3}}

 

f'(x)=\cfrac{x-1}{\sqrt{x^{2}-2x+3}}

 

 

2 f(x)=\sqrt[4]{x^{5}-x^{3}-2}

 

Al ser raíz cuarta, utilizamos la segunda formula

 

f'(x)=\cfrac{5x^{4}-3x^{2}}{4\cdot \sqrt[4]{(x^{5}-x^{3}-2)^{3}}}

 

 

3 f(x)=\sqrt[3]{\cfrac{x^{2}+1}{x^{2}-1}}

 

Al ser una raíz cúbica, comenzamos a derivar usando la segunda fórmula. La función dentro de la raíz se deriva con la fórmula de cociente \cfrac{d}{dx}\left ( \cfrac{u}{v} \right )=\cfrac{v\cdot u'-u\cdot v'}{v^{2}}

 

f'(x)=\cfrac{\cfrac{(x^{2}-1)(2x)-(x^{2}+1)(2x)}{(x^{2}-1)^{2}}}{3\cdot \sqrt[3]{\left ( \cfrac{x^{2}+1}{x^{2}-1} \right )^{2}}}

 

f'(x)=\cfrac{\cfrac{-4x}{(x^{2}-1)^{2}}}{3\cdot \sqrt[3]{\left ( \cfrac{x^{2}+1}{x^{2}-1} \right )^{2}}}

 

f'(x)=\cfrac{-4x}{3(x^{2}-1)^{2}\cdot \sqrt[3]{\left ( \cfrac{x^{2}+1}{x^{2}-1} \right )^{2}}}

 

f'(x)=\cfrac{-4x}{3\cdot \sqrt[3]{\left ( \cfrac{x^{2}+1}{x^{2}-1} \right )^{2}(x^{2}-6)^{6}}}

 

f'(x)=\cfrac{-4x}{3\cdot \sqrt[3]{(x^{2}+1)^{2}(x^{2}-1)^{4}}}

 

f'(x)=\cfrac{-4x}{3\cdot \sqrt[3]{(x^{4}-1)^{2}(x^{2}-1)^{2}}}

 

 

Deriva las funciones exponenciales

 

1 f(x)=10^{\sqrt{x}}

 

2 f(x)=e^{3-x^{2}}

 

3 f(x)=\cfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}

 

4 f(x)=3^{2x^{2}}\cdot \sqrt{x}

 

5 f(x)=\cfrac{e^{2x}}{x^{2}}

 

 

Deriva las funciones exponenciales

 

En esta sección, las formulas que ocuparemos son las siguientes:

 

\cfrac{d}{dx}\; a^{u}=a^{u}\ln a\cdot u'\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \cfrac{d}{dx}\; e^{u}=e^{u}\cdot u'

 

1 f(x)=10^{\sqrt{x}}

 

Aplicamos la primer formula y obtenemos:

 

f'(x)=10^{\sqrt{x}}\ln 10\cdot \cfrac{1}{2\sqrt{x}}

 

f'(x)=\cfrac{10^{\sqrt{x}}\cdot \ln 10}{2\sqrt{x}}

 

 

2 f(x)=e^{3-x^{2}}

 

Aplicamos la segunda formula y obtenemos:

 

f(x)=e^{3-x^{2}}\cdot (-2x)

 

f(x)=-2x\cdot e^{3-x^{2}}

 

 

3 f(x)=\cfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}

 

f'(x)=\cfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}

 

 

4 f(x)=3^{2x^{2}}\cdot \sqrt{x}

 

Comenzamos aplicando la fórmula de producto \cfrac{d}{dx}\; (u\cdot v)=u\cdot v'+v\cdot u'

 

f'(x)=3^{2x^{2}}\cdot \cfrac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\cdot 3^{2x^{2}}\cdot \ln 3 \cdot 4x

 

f'(x)=3^{2x^{2}}\cdot \left ( 4x\cdot \sqrt{x}\cdot \ln 3 +\cfrac{1}{2\sqrt{x}}\right )

 

 

5 f(x)=\cfrac{e^{2x}}{x^{2}}

 

Comenzamos aplicando la fórmula del cociente \cfrac{d}{dx}\left ( \cfrac{u}{v} \right )=\cfrac{v\cdot u'-u\cdot v'}{v^{2}}

 

f'(x)=\cfrac{x^{2}\cdot e^{2x}\cdot 2-e^{2x}\cdot 2x}{x^{4}}

 

f'(x)=\cfrac{2x\cdot e^{2x}\cdot (x-1)}{x^{4}}

 

f'(x)=\cfrac{2\cdot e^{2x}\cdot (x-1)}{x^{3}}

 

 

Calcula la derivada de las funciones logarítmicas

 

 

1 f(x)=\ln (2x^{4}-x^{3}+3x^{2}-3x)

 

2 f(x)=\ln \left (\cfrac{e^{x}+1}{e^{x}-1} \right )

 

3 f(x)=\log \sqrt{\cfrac{1+x}{1-x}}

 

4 f(x)=\ln \sqrt{x(1-x)}

 

5 f(x)=\ln \sqrt[3]{\cfrac{3x}{x+2}}

 

 

Calcula la derivada de las funciones logarítmicas

 

Para esta sección, ocuparemos las siguientes fórmulas:

 

\cfrac{d}{dx}\ln u=\cfrac{u'}{u}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \cfrac{d}{dx}\log u= \cfrac{\log e}{u}\cdot u'

 

Además, podemos aplicar las propiedades de los logaritmos para reescribir la función en una forma más sencilla de derivar

 

1 f(x)=\ln (2x^{4}-x^{3}+3x^{2}-3x)

 

Aplicamos la fórmula para derivar logaritmos neperianos

 

f'(x)=\cfrac{8x^{3}-3x^{2}+6x-3}{2x^{4}-x^{3}+3x^{2}-3x}

 

 

2 f(x)=\ln \left (\cfrac{e^{x}+1}{e^{x}-1} \right )

 

Aplicando la propiedad de los logaritmos \log\left ( \frac{A}{B} \right )=\log A-\log B obtenemos:

 

f(x)=\ln (e^{x}+1)-\ln(e^{x}-1)

 

Derivamos cada término aplicando la fórmula para derivar logaritmos neperianos

 

f'(x)=\cfrac{e^{x}}{e^{x}+1}-\cfrac{e^{x}}{e^{x}-1}

 

f'(x)=\cfrac{e^{2x}-e^{x}-e^{2x}-e^{x}}{(e^{x}+1)(e^{x}-1)}

 

f'(x)=\cfrac{-2e^{x}}{e^{2x}-1}

 

 

3 f(x)=\log\sqrt{\cfrac{1+x}{1-x}}

 

Aplicando las propiedades de los logaritmos \log \sqrt[n]{A^{m}}=\frac{m}{n}\cdot \log A y \log \cfrac{A}{B}=\log A-\log B obtenemos

 

f(x)=\cfrac{1}{2}\left [ \log(1+x)-\log(1-x) \right ]

 

Aplicando la fórmula para derivar logaritmo obtenemos

 

f'(x)=\cfrac{1}{2}\left ( \cfrac{\log e}{1+x}-\frac{-\log e}{1-x} \right )

 

f'(x)=\cfrac{1}{2}\cdot \log e\left ( \cfrac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x} \right )

 

f'(x)=\cfrac{1}{2}\cdot \log e\left ( \cfrac{1-x+1+x}{1-x^{2}} \right )

 

f'(x)=\cfrac{\log e}{1-x^{2}}

 

 

4 f(x)=\ln \sqrt{x(1-x)}

 

Aplicando las propiedades de los logaritmos \log \sqrt[n]{A^{m}}=\frac{m}{n}\cdot \log A y \log (A\cdot B)=\log A + \log B obtenemos

 

f(x)=\cfrac{1}{2}\left [ \ln x + \ln (1-x)\right ]

 

Aplicando la fórmula para derivar logaritmos neperianos obtenemos

 

f'(x)=\cfrac{1}{2}\left ( \cfrac{1}{x}+\cfrac{-1}{1-x} \right )

 

f'(x)=\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{1-x-x}{x\cdot (1-x)}

 

f'(x)=\cfrac{1-2x}{2x\cdot (1-x)}

 

 

5 f(x)=\ln \sqrt[3]{\cfrac{3x}{x+2}}

 

Aplicando las propiedades de los logaritmos \log \sqrt[n]{A^{m}}=\frac{m}{n}\cdot \log A y \log \cfrac{A}{B}=\log A-\log B obtenemos

 

f(x)=\cfrac{1}{3}\left [ \ln 3x-\ln(x+2) \right ]

 

Aplicando la fórmula para derivar logaritmos neperianos obtenemos

 

f'(x)=\cfrac{1}{3}\left ( \cfrac{3}{3x}-\cfrac{1}{x+2} \right )

 

f'(x)=\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{x+2-x}{x(x+2)}

 

f'(x)=\cfrac{2}{3x(x+2)}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗