Si f y g son funciones inversas, es decir g\circ f=f\circ g=I. Entonces

 

g'(x)=\cfrac{1}{f'(g(x))}

 

Pasos para derivar una función

 

En la práctica, para derivar una función y=f(x) a partir de su función inversa, podemos seguir los siguientes pasos:

 

 1  Buscamos la función inversa de y=f(x), que escribiremos de la forma x=g(y).

 2  Hacemos x'=g'(y).

 3  Usando lo anterior, y'=\cfrac{1}{x'}.

 4  Sustituimos x' por g'(y) y operamos.

 5  Por último sustituimos x por g(y) y habremos acabado.

 

Ejemplos usando la derivada de la función inversa

 

 1  Derivar, usando la derivada de la función inversa: y=\arcsin x

 

La función inversa de la dada es: x=\sin y

 

x'=\cos y

 

y'=\cfrac{1}{x'}=\cfrac{1}{\cos y}

 

y'=\cfrac{1}{x'}=\cfrac{1}{\cos y}=\cfrac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}y}}

 

Sabiendo que x=\sin y, se tiene:

 

y'=\cfrac{1}{x'}=...=\cfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

 

 2  Derivar, usando la derivada de la función inversa: y=\arctan x

 

x=\tan y

 

y'=\cfrac{1}{x'}=\cfrac{1}{1+\tan^{2}y}=\cfrac{1}{1+x^{2}}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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