Si {f(x)} es una función derivable, la diferencial de una función correspondiente al incremento {h} de la variable independiente, es el producto {f'(x)\cdot h}.

 

La diferencial de una función se representa por {df} ó {dy}.

 

{df=f'(x)\cdot h}

 

{dy=f'(x)\cdot h}

 

Interpretación geométrica de la diferencial

 

 

{f'(x)=tg\alpha = \displaystyle\frac{QR}{PR}=\frac{QR}{h}}

 

{QR=f'(x)\cdot h, \ \ \ QR=(dy)_{x=a}}

 

La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable independiente.

 

Ejemplos de diferenciales

 

1Hallar la diferencial de {f(x)=3x^{2}+5x-6}

 

Calculamos la derivada de la función

 

{f'(x)=6x+5}

 

Así la diferencial es igual a la derivada de la función por el incremento

 

{df=(6x+5)dx}

 

2Hallar la diferencial de {f(x)=e^{tg\; x}}

 

Calculamos la derivada de la función

 

{f'(x)=e^{tg\, x}sec^{2}x}

 

Así la diferencial es igual a la derivada de la función por el incremento

 

{df=e^{tg\, x}sec^{2}x\; dx}

 

3Hallar la diferencial de {f(x)=\displaystyle\frac{x+2}{x^{2}}}

 

Calculamos la derivada de la función

 

{f'(x)=-\displaystyle\frac{x+4}{x^{3}}}

 

Así la diferencial es igual a la derivada de la función por el incremento

 

{df=-\displaystyle\frac{x+4}{x^{3}}\; dx}

 

4Hallar la diferencial de {f(x)=7^{3x^{2}-1}}

 

Calculamos la derivada de la función

 

{f'(x)=6x\cdot 7^{3x^{2}-1}\cdot ln\; 7}

 

Así la diferencial es igual a la derivada de la función por el incremento

 

{df=6x\cdot 7^{3x^{2}-1}\cdot ln\; 7\; dx}

 

5Hallar la diferencial de {f(x)=ln\; sen\sqrt{x}}

 

Calculamos la derivada de la función

 

{f'(x)=\displaystyle\frac{1}{sen\sqrt{x}}\cdot cos\sqrt{x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{cotg\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}}

 

Así la diferencial es igual a la derivada de la función por el incremento

 

{df=\displaystyle\frac{cotg\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\; dx}

 

6Hallar la diferencial de {f(x)=log_{x}\sqrt{x}}

 

Aplicamos la definición de logaritmo:

 

{\begin{array}{rcl} y&=&log_{x}\sqrt{x} \\ && \\ x^{y}&=&\sqrt{x} \end{array}}

 

Aplicamos {ln} en ambos ados de la igualdad:

 

{\begin{array}{rcl} x^{y}&=&\sqrt{x} \\ && \\ ln\; x^{y}&=&ln \sqrt{x} \\ && \\ y\; ln \; x&=&\displaystyle\frac{1}{2} ln\; x \\ && \\ y & = & \displaystyle\frac{1}{2} \end{array}}

 

Así {f(x)=\displaystyle\frac{1}{2}} y su derivada es {f'(x)=0}

 

Tenemos que la diferencial es {df=0}

 

7Un cuadrado tiene 2 m de lado. determínese en cuánto aumenta el área del cuadrado cuando su lado lo hace en un milímetro. Calcúlese el error que se comete al usar diferenciales en lugar de incrementos.

 

El área del cuadrado es {S=x^{2}}

 

Calculamos el incremento

 

{\Delta S=(x+h)^{2}-x^{2}=(2.0001)^{2}-(2)^{2}=0.004001 \; m^{2}}

 

Calculamos la diferencial

 

{dS=2x\; dx=(2)(2)(0.001)=0.004 \; m^{2}}

 

Calculamos el error

 

{Error=\Delta S- dS=0.004001 -0.004=10^{-6} \; m^{2}}

 

8Hallar la variación de volumen que experimenta un cubo, de arista 20 cm, cuando ésta aumenta 0.2 cm su longitud.

 

El volumen del cubo es {V=x^{3}}

 

Calculamos la diferencial

 

{dV=3x^{2} dx=(3)(20)^{2} (0.2)=240 \; cm^{3}}

 

9Calcula el error absoluto y relativo cometido en el cálculo del volumen de una esfera de 12.51 mm de diámetro, medido con un instrumento que aprecia milésimas de centímetro.

 

El volumen de la esfera es {V=\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^{3}}

 

Calculamos la diferencial

 

{dV=4\pi r^{2} dr}

 

El radio de la esfera es {r=6.255\; mm} y la diferencial es {dr=0.01 \; mm}

 

El error absoluto es

 

{\displaystyle\frac{dV}{V}=\frac{4\pi r^{2} dr}{\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^{3}}=\frac{3\; dr}{r}=\frac{(3)(0.01)}{6.255}=0.0048}

 

10Si el lugar de {\sqrt{0.80}} se halla {\sqrt{0.81}=0.9}. ¿Cuáles son las aproximaciones del error absoluto y relativo?

 

La función a emplear es {f(x)=\sqrt{x}}

 

Calculamos la diferencial de {f(x)} y {x}

 

{df=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}\; dx}

 

{dx=0.81-0.80=0.01}

 

Calculamos el error relativo

 

{df=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{0.81}}\cdot (0.01)=\frac{1}{180}

 

Calculamos el error absoluto

 

{\displaystyle\frac{df}{f}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}\; dx}{\sqrt{x}}=\frac{dx}{2x}=\frac{0.01}{(2)(0.81)}=\frac{1}{162}}

 

11 Calcular el incremento del área del cuadrado de 2 m de lado, cuando aumentamos 1 mm su lado.

 

El área del cuadrado es {S=x^{2}}

 

Calculamos la diferencial, empleando que {dx=1\; mm = 0.001\; m}

 

{dS=2x\; dx=(2)(2)(0.001)=0.004 \; m^{2}}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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