Velocidad media

La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (\Delta_{e}) y el tiempo transcurrido  (\Delta_{t}).  Fisicamente esto lo podemos interpretar como el cambio de posición respecto al tiempo o como la pendiente de la recta que une el punto inicial y el punto final del recorrido.

 

Si dado un tiempo t y una función f(t), queremos saber la velocidad media de ir de un punto  P=(t,f(t)),  hasta un punto  Q=(t+\Delta_{t},f(t+\Delta_{t}))  siguiendo el recorrido de la función  f,   podemos utilizar la siguiente fórmula

    $$V_{media}(t)=\cfrac{\Delta_{e}}{\Delta_{t}}=\cfrac{f(t+\Delta_{t})-f(t)}{\Delta_{t}}.$$

La fórmula anterior se puede deducir fácilmente a partir de la siguiente grafica.

Velocidad media

 

La derivada de una función  f(t)  en un punto  t_{0}  no es  más que la velocidad en el instante  t_{0}.  Este fenómeno también lo podemos interpretar como la pendiente de la recta tangente a la función  f(t)  en el punto  t_{0}.   Podemos calcular la velocidad instantánea calculando el siguiente limite

    $$V_{inst}(t)=\lim_{\Delta_{t}\rightarrow 0}\cfrac{\Delta_{e}}{\Delta_{t}}=\lim_{\Delta_{t}\rightarrow 0}\cfrac{f(t+\Delta_{t})-f(t)}{\Delta_{t}}.$$

Velocidad instantánea

 

Cálculo de las velocidades media e instantánea

 

La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t^{2}. Calcular:

 

1 La velocidad media entre t = 1 y t = 4.

 

La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4]. De esta forma tenemos el siguiente valor para la velocidad media

 

    $$V_{media}(t)=\cfrac{e(4)-e(1)}{4-1}=\cfrac{6\cdot 4^{2}-6\cdot 1^{2}}{4-1}=\cfrac{96-6}{3}=30m/s.$$

2 La velocidad instantánea en t = 1.

 

Recordemos que la velocidad instantánea es la derivada de la función e(t) en el instante t = 1. Así que el resultado es

    $$V_{inst}(t)=e'(t)=\lim_{h\rightarrow 0}\cfrac{6(t+h)^{2}-6(t)^{2}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\cfrac{6(t^{2}+2th+h^{2})-6t^{2}}{h}$$

    $$=\lim_{h\rightarrow 0}\cfrac{6t^{2}+12th+6h^{2}-6t^{2}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\cfrac{12th+6h^{2}}{h}$$

    $$=\lim_{h\rightarrow 0}\cfrac{h(12t+6h)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}(12t+6h)=12m/s.$$

¿Necesitas un profesor de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,00/5 - 13 vote(s)
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗