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Velocidad media
Velocidad instantánea
Cálculo de las velocidades media e instantánea

Velocidad media

La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido $(\Delta_{e})$ y el tiempo transcurrido $(\Delta_{t})$ . Fisicamente esto lo podemos interpretar como el cambio de posición respecto al tiempo o como la pendiente de la recta que une el punto inicial y el punto final del recorrido.

Si dado un tiempo $t$ y una función $f(t)$ , queremos saber la velocidad media de ir de un punto $P=(t,f(t)),$ hasta un punto $Q=(t+\Delta_{t},f(t+\Delta_{t}))$ siguiendo el recorrido de la función $f,$ podemos utilizar la siguiente fórmula

$V_{media}(t)=\cfrac{\Delta_{e}}{\Delta_{t}}=\cfrac{f(t+\Delta_{t})-f(t)}{\Delta_{t}}.$

La fórmula anterior se puede deducir fácilmente a partir de la siguiente grafica.

Velocidad media

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Velocidad instantánea

La derivada de una función $f(t)$ en un punto $t_{0}$ no es más que la velocidad en el instante $t_{0}.$ Este fenómeno también lo podemos interpretar como la pendiente de la recta tangente a la función $f(t)$ en el punto $t_{0}.$ Podemos calcular la velocidad instantánea calculando el siguiente limite

$V_{inst}(t)=\lim_{\Delta_{t}\rightarrow 0}\cfrac{\Delta_{e}}{\Delta_{t}}=\lim_{\Delta_{t}\rightarrow 0}\cfrac{f(t+\Delta_{t})-f(t)}{\Delta_{t}}.$

Velocidad instantánea

Cálculo de las velocidades media e instantánea

La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es $e(t) = 6t^{2}$ . Calcular:

1 La velocidad media entre $t = 1$ y $t = 4$ .

La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo $[1, 4]$ . De esta forma tenemos el siguiente valor para la velocidad media

$V_{media}(t)=\cfrac{e(4)-e(1)}{4-1}=\cfrac{6\cdot 4^{2}-6\cdot 1^{2}}{4-1}=\cfrac{96-6}{3}=30m/s.$

2 La velocidad instantánea en $t = 1$ .

Recordemos que la velocidad instantánea es la derivada de la función $e(t)$ en el instante $t = 1$ . Así que el resultado es

$V_{inst}(t)=e'(t)=\lim_{h\rightarrow 0}\cfrac{6(t+h)^{2}-6(t)^{2}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\cfrac{6(t^{2}+2th+h^{2})-6t^{2}}{h}$

$=\lim_{h\rightarrow 0}\cfrac{6t^{2}+12th+6h^{2}-6t^{2}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\cfrac{12th+6h^{2}}{h}$

$=\lim_{h\rightarrow 0}\cfrac{h(12t+6h)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}(12t+6h)=12m/s.$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Resumen

Resumen de derivadas

Maximos, minimos y puntos de inflexion

Rolle, Lagrande, Cauchy y Regla de LHopital

Teoría

Tasa de variacion media

Derivadas inmediatas

Derivadas de sumas, productos y cocientes

Derivacion de una composicion de funciones

Ecuacion de la recta tangente

Extremos relativos o locales

Ejemplos de derivadas de la funcion exponencial

Derivadas de las funciones trigonometricas inversas

Ecuacion de la recta normal

¿Cuales son las aplicaciones fisicas de la derivada?

¿Como derivar la funcion inversa?

Interpretacion geometrica de la derivada

¿Que son la concavidad y la convexidad?

Derivar una funcion logaritmica

¿Que es la diferencial de una funcion?

Derivacion implicita

Ejercicios de la funcion derivada

Explicacion del Teorema de Rolle

Teorema de Lagrange o del valor medio

Teorema de Bolzano

Derivada en un punto y ejemplos

Interpretación física de la derivada

Derivabilidad y continuidad

Teorema del valor medio generalizado – Cauchy

Derivada de la funcion potencial-exponencial

Derivadas laterales

Derivabilidad y continuidad

¿Que son los Puntos de inflexion?

Derivada de las funciones trigonometricas

Derivadas sucesivas

Fórmulas

Derivada del arcocotangente

Derivada del arcotangente

Máximos y mínimos

Derivada del arcoseno

Derivada de un cociente

Derivada del arcosecante

Derivada del arcocosecante

Derivadas de funciones

Derivada de la funcion exponencial

Ejercicios de funciones crecientes y decrecientes

Ejercicios resueltos de derivacion implicita

Ejercicios de diferencial de una funcion

Derivada de un producto

Derivada de una potencia

Derivadas logaritmicas

Derivada de una función con raíces

La recta tangente

Derivada del seno

Derivada de una suma

Regla de la cadena

Derivada de la tangente

Derivada de x: Calculo

Optimización

Derivada primera, segunda, …, enesima

Derivada de la secante

Interpretación de la derivada

Derivada de la cotangente

Recta normal

Derivada

Derivada del arcocoseno

Derivada de la cosecante

Derivacion logaritmica

Tabla de derivadas

Derivada del coseno

Derivada de una constante

Otros ejercicios

Ejercicios de derivadas y continuidad I

Ejercicios de la definicion de derivada

Ejercicios de aplicaciones fisicas de la derivada

Ejercicios del teorema de Rolle, de Bolzano, y del valor medio

Ejercicios de derivabilidad y continuidad

Ejercicios de calculo de derivadas

Ejercicios de intervalos de crecimiento y decrecimiento

Ejercicios de aplicaciones de la derivada II

Ejercicios de derivadas

Ejercicios de aplicaciones de la derivada I

Ejercicios de aplicaciones de la derivada IV

Ejercicios de derivadas 2

Ejercicios de derivadas y continuidad II

Ejercicios de aplicaciones de la derivada III

Ejercicios: Teoremas de Rolle, Lagrange y Regla de L’Hopital

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Angeli Dugarte

Octubre 2022

buenas noches licenciada, tengo muchas dudas con respecto al tema de funciones derivadas, ya que tengo cerca de tres años sin ver clases de matematica y se me han presentado muchas dudas con respecto a ese tema, ya que no consigo ejemplos de ejercicios parecidos a los que me dieron para resolver, estos son:
3**3
4**2
5**0
6**(-2)
3×3 y2 + 9×2 y2 – 18xy2
agradeciendo su buena pro, no resolviendolos sino una orientacion con respecto a esos ejercicios

funkypistacho

Abril 2022

Hola Marisol, entiendo que estarás repitiendo por tu pregunta. Tienes que pasar los 5 km/h*2 a m/s*2. Es una aceleración.

marisol tenorio

Febrero 2021

cual es la interpretación física de -5Km/h2