En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange) o teorema de Bonnet-Lagrange es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo.
Enunciado del Teorema
El teorema dice lo siguiente:
Sea 
una función real 
. Si se cumple que
1 es continua en 
.
2 es derivablel en 
(existe la deivara para todo punto dentro de 
.
entonces se tiene que existe un punto 
tal que
En pocas palabras, existe al menos un punto tal que la derivada en ese punto es igual a la pendiente de la recta que une los puntos 
y 
.
Interpretación geométrica
La interpretación geométrica del teorema de Lagrange nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.
Teorema de Rolle
El teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange, en el que 
. Así, si una función cumple la hipóteis del Teorema de Lagrange y además , entonces existe un punto tal que
Ejemplo
1 ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a la siguiente función en el intérvalo dado?
De ser así, encuentra el valor de 
.
Efectivamente se puede aplicar el teorema de Lagrange ya que 
es continua en 
y derivable en el abierto 
. Ahora, como se cumple la hipótesis, existe un valor 
. Para proceder primero calculemos la derivada de
Con esto ya podemos proceder y buscar
Tomamos la raíz positiva 
, la raíz negativa no ya que 
De ser así, encuentra el valor de .
Efectivamente se puede aplicar el teorema de Lagrange ya que cualquier polinomio es continua en cualquier intervalo cerrado y derivable en cualquier intervalo abierto. Ahora, como se cumple la hipótesis, existe un valor 
. Para proceder primero encontremos la derivada de
Con esto ya podemos proceder y buscar
3 ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a la siguiente función en el intérvalo dado?
De ser así, encuentra el valor de .
La función no está definida en 
ya que tendríamos división entre cero, por lo tanto la función no es continua en 
, así, no cumple la hipótesis, por lo tanto no podemos garantizar la existencia de algún punto que cumpla con el resultado.
4 Calcular un punto del intervalo 
en el que la tangente a la curva
sea paralela a la recta determinada por los puntos 
y 
. ¿Qué teorema garantiza la existencia de dicho punto?
Para que dos rectas sean paralelas estas deben tener la misma pendiente, por lo tanto necesitamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados
Ahora, calculemos la derivada de , esta es
Para encontrar el punto en el cual la tangente a la curva sea paralela a la recta determinada por los puntos dados debemos igualar la derivada con la pendiente y encontrar el valor 
que satisface la igualdad, esto es
Para encontrar las raíces puedes aplicar la fórmula cuadrática. Las raíces son
sin embargo, solo 
pertenece al intervalo, por lo tanto 
es el punto que buscamos.
Ahora, ¿podríamos haber asegurado lal existencia de dicho punto? La respuesta es sí. Notemos que es un polinomio, y cualquier polinomio en continuo en cualquier intervalo cerrado y derivable en cualquier intervalo abierto, los polinomios son de las funciones más amigables que podemos encontrar. Entonces, como satisface la hipótesis del teorema de Lagrange, entonces podemos asegurar la existencia del punto.
Resumir con IA:
¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!
Cargando...
Resumir con IA:
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
no entiendo por que en el paso 3 al igualar las dos derivadas pone -3a en vez de solo -3
Hola, busque tu duda y no la encontré podrías hacerme el favor de decirme el numero del ejercicio, me seria de mucha ayuda por favor.
Quería solo advertir que el gráfico de la diferencial tiene el ángulo de la recta tangente con β y analíticamente está indicado con α. Saludos.
hola gracias por tu observación, pero si el artículo es de «interpretación de la derivada» es el mismo ángulo pero con símbolo diferente.
cordial saludo sera que tu me puedes ayudar a resolver un ejercicio que es dada la función f(x)= X elevada a la 2/3 por entre paréntesis (xa la 2 -8) hallar los valores de X para los cuales esta crece te lo agradecería mucho
La descripcion es erronea donde da la derivada de arcocotangente, ya que dice derivada de arcotangete, se comieron el co, lo que puede llevar a confunciones, como en mi caso que pense que era la derivada de la inversa de tangente, cuando era la derivada de la inversa de cotangente.
Hola entendemos la confusión, pero como sabes en cada lugar toman la notación en forma diferente, en este caso se tomo arccot(x) donde se repite la c para diferenciar de arctan(x).
Hola podrías hacernos el favor de mostrarnos la función para dar una mejor explicación.