Si una función es:
Continua en [a, b]
Derivable en (a, b)
Entonces, existe algún punto c ∈ (a, b) tal que:
La interpretación geométrica del teorema de Lagrange nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.
El teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange, en el que f(a) = f(b).
Ejemplos
- ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = x³ en [−1, 2]?
f(x) es continua en [−1, 2] y derivable en (−1, 2) por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio:
2. ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = 4x2 − 5x + 1 en [0, 2]?
f(x) es continua en [0, 2] y derivable en (−1, 2) por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio:
3.¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = 1/ x2 en [0, 2]?
La función no es continua en [−1, 2] ya que no definida en x = 0.
3.En el segmento de la parábola comprendido entre los puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) hallar un punto cuya tangente sea paralela la cuerda.
Los puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) pertenecen a la parábola de ecuación y = x2 + bx + c.
Por ser la función polinómica se puede aplicar el teorema del valor medio en el intervalo [1, 3].
5.Calcular un punto del intervalo [1, 3] en el que la tangente a la curva y = x3 − x2 + 2 sea paralela a la recta determinada por los puntos A(1, 2) y B(3, 20). ¿Qué teorema garantiza la existencia de dicho punto?
Hallamos la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos.
Por ser y = x3 − x2 + 2 continua en [1, 3] y derivable en (1, 3) se puede aplicar el teorema del valor medio:
5.Determinar a y b para que la función
cumpla las hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo [2, 6].
En primer lugar se debe cumplir que la función sea continua en [2, 6].
En segundo lugar se debe cumplir que la función sea derivable en (2, 6).
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