23 diciembre 2020
En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange) o teorema de Bonnet-Lagrange es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo.
Enunciado del Teorema
El teorema dice lo siguiente:
Sea 
una función real ![f:[a,b] \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cb67616fc744ba0b38f58b321ca855e7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
. Si se cumple que
1 es continua en ![[a, b]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5340a936af86475520735fed634c7ccd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
.
2 es derivablel en 
(existe la deivara para todo punto dentro de 
.
entonces se tiene que existe un punto 
tal que
En pocas palabras, existe al menos un punto tal que la derivada en ese punto es igual a la pendiente de la recta que une los puntos 
y 
.
Interpretación geométrica
La interpretación geométrica del teorema de Lagrange nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.
Teorema de Rolle
El teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange, en el que 
. Así, si una función cumple la hipóteis del Teorema de Lagrange y además , entonces existe un punto tal que
Ejemplo
1 ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a la siguiente función en el intérvalo dado?
![\displaystyle f(x) = x^3, \quad x \in [-1, 3]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4843af570e4ee0ead3122aa3e9eaa771_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
De ser así, encuentra el valor de 
.
Efectivamente se puede aplicar el teorema de Lagrange ya que 
es continua en ![[-1, 3]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-57959fb37bad9391723790a0d73391fb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
y derivable en el abierto 
. Ahora, como se cumple la hipótesis, existe un valor 
. Para proceder primero calculemos la derivada de
Con esto ya podemos proceder y buscar
Tomamos la raíz positiva 
, la raíz negativa no ya que 
y este valor está fuera del intervalo.
2 ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a la siguiente función en el intérvalo dado?
![\displaystyle f(x) = 4x^2 - 5x + 1, \quad x \in [0, 2]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0b68f86ff550893b9df1d9492f805e71_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
De ser así, encuentra el valor de .
Efectivamente se puede aplicar el teorema de Lagrange ya que cualquier polinomio es continua en cualquier intervalo cerrado y derivable en cualquier intervalo abierto. Ahora, como se cumple la hipótesis, existe un valor 
. Para proceder primero encontremos la derivada de
Con esto ya podemos proceder y buscar
3 ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a la siguiente función en el intérvalo dado?
![\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}, \quad x \in [0, 2]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f18416e5deceffafda3a02d0e697e904_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
De ser así, encuentra el valor de .
La función no está definida en 
ya que tendríamos división entre cero, por lo tanto la función no es continua en 
, así, no cumple la hipótesis, por lo tanto no podemos garantizar la existencia de algún punto que cumpla con el resultado.
4 Calcular un punto del intervalo ![[1, 3]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-20da217288f5e3a59558fa26bd1a76cb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
en el que la tangente a la curva
sea paralela a la recta determinada por los puntos 
y 
. ¿Qué teorema garantiza la existencia de dicho punto?
Para que dos rectas sean paralelas estas deben tener la misma pendiente, por lo tanto necesitamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados
Ahora, calculemos la derivada de , esta es
Para encontrar el punto en el cual la tangente a la curva sea paralela a la recta determinada por los puntos dados debemos igualar la derivada con la pendiente y encontrar el valor 
que satisface la igualdad, esto es
Para encontrar las raíces puedes aplicar la fórmula cuadrática. Las raíces son
sin embargo, solo 
pertenece al intervalo, por lo tanto 
es el punto que buscamos.
Ahora, ¿podríamos haber asegurado lal existencia de dicho punto? La respuesta es sí. Notemos que es un polinomio, y cualquier polinomio en continuo en cualquier intervalo cerrado y derivable en cualquier intervalo abierto, los polinomios son de las funciones más amigables que podemos encontrar. Entonces, como satisface la hipótesis del teorema de Lagrange, entonces podemos asegurar la existencia del punto.
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el el ejemplo numero 2 creo que se equivocaron en el intervalo de derivabilidad, anotaron (-1,2) y creo que era de (0,2).
Hola Álvaro.
Efectivamente el intervalo es (0,2), gracias por comentar este error, lo corregiremos a la brevedad.
Saludos.
en el punto 4.. supusiste que a=1, cuando no lo es.., no se tendría q igualar a -1/2?
Hola Erika.
Podrías revisar tu comentario, no logro encontrar el error que mencionas en el material de apoyo.
Saludos.