En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange) o teorema de Bonnet-Lagrange es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo.

 

Enunciado del Teorema

 

El teorema dice lo siguiente:

 

Sea f(x) una función real f:[a,b] \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}. Si se cumple que

 

1 f(x) es continua en [a, b].

 

2 f(x) es derivablel en (a, b) (existe la deivara para todo punto dentro de (a,b).

 

entonces se tiene que existe un punto c \in (a, b) tal que

 

\displaystyle f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

 

En pocas palabras, existe al menos un punto tal que la derivada en ese punto es igual a la pendiente de la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

 

Los/las mejores profesores/as de Matemáticas que están disponibles
¡1a clase gratis!
José arturo
4,9
4,9 (36 opiniones)
José arturo
12€
/h
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (26 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (45 opiniones)
Alex
12€
/h
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (77 opiniones)
José angel
5€
/h
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (11 opiniones)
Fátima
12€
/h
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (24 opiniones)
Santiago
9€
/h
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (94 opiniones)
Julio
14€
/h
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (51 opiniones)
Amin
10€
/h
¡1a clase gratis!
José arturo
4,9
4,9 (36 opiniones)
José arturo
12€
/h
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (26 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (45 opiniones)
Alex
12€
/h
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (77 opiniones)
José angel
5€
/h
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (11 opiniones)
Fátima
12€
/h
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (24 opiniones)
Santiago
9€
/h
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (94 opiniones)
Julio
14€
/h
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (51 opiniones)
Amin
10€
/h
1ª clase gratis>

Interpretación geométrica

 

interpretación gráfica de Lagrange

 

La interpretación geométrica del teorema de Lagrange nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.

 

Teorema de Rolle

 

El teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange, en el que f(a) = f(b). Así, si una función f(x) cumple la hipóteis del Teorema de Lagrange y además f(a) = f(b), entonces existe un punto c \in (a, b) tal que

 

\displaystyle f'(c) = 0.

 

Ejemplo

 

1 ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a la siguiente función en el intérvalo dado?

 

\displaystyle f(x) = x^3, \quad x \in [-1, 3]

 

De ser así, encuentra el valor de c.

 

Efectivamente se puede aplicar el teorema de Lagrange ya que f(x) = x^3 es continua en [-1, 3] y derivable en el abierto (-1, 3). Ahora, como se cumple la hipótesis, existe un valor c \in (-1, 3). Para proceder primero calculemos la derivada de f(x)

 

\displaystyle f'(x) = 3x^2.

 

Con esto ya podemos proceder y buscar c

 

    \begin{align*} f'(c) &= \frac{f(3) - f(-1)}{3 - (-1)}\\3c^2 &= \frac{3^3 - (-1)^3}{3 + 1}\\3c^2 &= \frac{27 + 1 }{4}\\3c^2 &= \frac{28}{4}\\3c^2 &= 7\\c^2 &= \frac{7}{3}\\c &= \sqrt{\frac{7}{3}}\end{align*}

 

Tomamos la raíz positiva c = \sqrt{\frac{7}{3}}, la raíz negativa no ya que -\sqrt{\frac{7}{3}} < -1 y este valor está fuera del intervalo.

 

2 ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a la siguiente función en el intérvalo dado?

 

\displaystyle f(x) = 4x^2 - 5x + 1, \quad x \in [0, 2]

 

De ser así, encuentra el valor de c.

 

Efectivamente se puede aplicar el teorema de Lagrange ya que cualquier polinomio es continua en cualquier intervalo cerrado y derivable en cualquier intervalo abierto. Ahora, como se cumple la hipótesis, existe un valor c \in (0, 2). Para proceder primero encontremos la derivada de f(x)

 

\displaystyle f'(x) = 8x - 5.

 

Con esto ya podemos proceder y buscar c

 

    \begin{align*} f'(c) &= \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0}\\8c - 5 &= \frac{7 - (1)}{2}\\8c - 5 &= \frac{6}{2}\\8c - 5 &= 3\\8c &= 8\\c &= 1\end{align*}

 

3 ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a la siguiente función en el intérvalo dado?

 

\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}, \quad x \in [0, 2]

 

De ser así, encuentra el valor de c.

 

La función f(x) no está definida en x = 0 ya que tendríamos división entre cero, por lo tanto la función no es continua en 0, así, f(x) no cumple la hipótesis, por lo tanto no podemos garantizar la existencia de algún punto c que cumpla con el resultado.

 

4 Calcular un punto del intervalo [1, 3] en el que la tangente a la curva

 

\displaystyle f(x) = x^3 - x^2 + 2

 

sea paralela a la recta determinada por los puntos (1, f(1)) = (1, 2) y (3, f(3)) = (3, 20). ¿Qué teorema garantiza la existencia de dicho punto?

 

Para que dos rectas sean paralelas estas deben tener la misma pendiente, por lo tanto necesitamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados

 

\displaystyle m = \frac{20 - 2}{3 - 1} = \frac{18}{2} = 9

 

Ahora, calculemos la derivada de f(x), esta es

 

\displaystyle f'(x) = 3x^2 - 2x

 

Para encontrar el punto en el cual la tangente a la curva sea paralela a la recta determinada por los puntos dados debemos igualar la derivada con la pendiente y encontrar el valor x que satisface la igualdad, esto es

 

    \begin{align*} f'(x) &= m\\3x^2 - 2x &= 9\\3x^2 - 2x -9 &= 0\end{align*}

 

Para encontrar las raíces puedes aplicar la fórmula cuadrática. Las raíces son

 

\displaystyle x_0 = \frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{7}}{3}, \qquad x_1 = \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{7}}{3}

 

sin embargo, solo x_1 pertenece al intervalo, por lo tanto c = \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{7}}{3} es el punto que buscamos.

 

Ahora, ¿podríamos haber asegurado lal existencia de dicho punto? La respuesta es sí. Notemos que f(x) es un polinomio, y cualquier polinomio en continuo en cualquier intervalo cerrado y derivable en cualquier intervalo abierto, los polinomios son de las funciones más amigables que podemos encontrar. Entonces, como f(x) satisface la hipótesis del teorema de Lagrange, entonces podemos asegurar la existencia del punto.

 

¿Necesitas un profesor de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,50/5 - 8 vote(s)
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗