Pendiente de la recta tangente

 

La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es igual a la derivada de la función en dicho punto.

 

{\displaystyle tg \, \beta = \lim_{h \to 0} \frac{\Delta y}{h} = f'(a)}

 

recta tangente a una curva

 

Ejemplo: Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva {f(x) = 3x^2 - 7x + 6} para {x = 1}

 

1Calculamos la derivada

 

{f'(x) = 6x - 7}

 

2La pendiente buscada es

 

{f'(1) = 6(1) - 7 = -1}

 

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Ecuación de la recta tangente

 

La recta tangente a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto {(a, f(a))} y cuya pendiente es igual a {f'(a)}, viene dada por

 

{y - f(a) = f'(a) (x - a)}

 

Ejemplo: Hallar la recta tangente a la curva {f(x) = 3x^2 - 7x + 6} en {x = 1}

 

1 Calculamos el punto de la gráfica de la curva por donde pasa la recta tangente

 

{f(1) = 3(1)^2 - 7(1) + 5 = 2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (1, f(1)) = (1, 2)}

 

2 Calculamos la pendiente de la recta tangente en {(1, 2)}

 

{f'(x) = 6x - 7 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ f'(1) = -1}

 

3 la ecuación de la recta tangente es

 

{\begin{array}{rcl} y - f(1) & = & f'(1) (x - 1) \\\\  y - 2 & = & -1(x - 1) \\\\  y & = & -x + 3  \end{array}}

 

Ejercicios propuestos

 

1Calcular los puntos en que la tangente a la curva {y = x^3 - 3x^2 - 9x + 5} es paralela al eje {OX}.

1 Calculamos la derivada de la curva

 

{y' = 3x^2 - 6x - 9}

 

2 El eje {OX} tiene pendiente cero,  la pendiente de la recta tangente es igual a la derivada y las rectas paralelas tienen la misma pendiente

 

{\begin{array}{rcl} 3x^2 - 6x - 9 & = & 0 \\\\  3(x^2- 2x - 3) & = & 0  \\\\  3(x - 3)(x + 1) & = & 0  \end{array}}

 

entonces los valores de {x} son {x = -1} y {x = 3}

 

3 Calculamos los valores {y}

 

{\begin{array}{lcl} x = -1 & \Longrightarrow & y = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 5 = 10 \\\\  x = 3 & \Longrightarrow & y = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 5 = -22  \end{array} }

 

Los puntos buscados son {(-1, 10)} y {(3, -22)}

2Se ha trazado una recta tangente a la curva {y = x^3}, cuya pendiente es {3} y pasa por el punto {(0, -2)}. Hallar el punto de tangencia.

1 Calculamos la derivada de la curva

 

{y' = 3x^2}

 

2 Como la pendiente es {3}, igualamos con la derivada y encontramos los valores de los puntos de tangencia con pendiente tres

 

{\begin{array}{rcl} 3x^2 & = & 3 \\\\ 3(x^2 - 1) & = & 0 \\\\ 3(x - 1)(x + 1) & = & 0 \end{array}}

 

entonces los valores de {x} son {x = -1} y {x = 1}

 

3 Calculamos los valores {y}

 

{\begin{array}{lcl} x = -1 & \Longrightarrow & y = (-1)^3 = -1 \\\\ x = 1 & \Longrightarrow & y = (1)^3 = 1 \end{array} }

 

Los puntos buscados son {(-1, -1)} y {(1, 1)}

 

4 La ecuación de la recta tangente con punto de tangencia {(-1, -1)} es

 

{\begin{array}{rcl} y + 1 & = & 3 (x + 1) \\\\ y & = & 3x + 2 \end{array}}

 

la cual no pasa por el punto {(0, -2)}.

 

La ecuación de la recta tangente con punto de tangencia {(1, 1)} es

 

{\begin{array}{rcl} y - 1 & = & 3 (x - 1) \\\\ y & = & 3x - 2 \end{array}}

 

la cual si pasa por el punto {(0, -2)}. Así, el punto de tangencia solicitado es {(1, 1)}.

3Encontrar los puntos de la curva {f(x) = x^4 + 7x^3 + 13x^2 + x + 1}, para los cuales la tangente forma un ángulo de {45^o} con el eje {OX}.

1 Calculamos la derivada de la curva

 

{f'(x) = 4x^3 + 21x^2 + 26x + 1}

 

2 La pendiente es igual a {tg \, 45^o = 1}. Igualamos esta pendiente con la derivada y encontramos los valores de los puntos de tangencia con pendiente tres

 

{\begin{array}{rcl} 4x^3 + 21x^2 + 26x + 1 & = & 1 \\\\ x(4x^2 + 21x + 26) & = & 0 \\\\ x(x + 2)(4x + 13) & = & 0 \end{array}}

 

entonces los valores de {x} son {x = 0, \ x = -2} y {x = \displaystyle -\frac{13}{4}}

 

3 Calculamos los valores de la segunda coordenada de los puntos de tangencia

 

{\begin{array}{lcl} x = 0 & \Longrightarrow & f(0) = (0)^4 + 7(0)^3 + 13(0)^2 + 0 + 1 = 1 \\\\ x = -2 & \Longrightarrow & f(-2) = (-2)^4 + 7(-2)^3 + 13(-2)^2 + (-2) + 1 = 11 \\\\ \displaystyle x = -\frac{13}{4} & \Longrightarrow & \displaystyle f \left (-\frac{13}{4} \right ) = \left (-\frac{13}{4} \right )^4 + 7\left (-\frac{13}{4} \right )^3 + 13\left (-\frac{13}{4} \right )^2 + \left (-\frac{13}{4} \right ) + 1 = \frac{1621}{256} \end{array} }

 

Los puntos buscados son {(0, 1), \ (-2, 11)} y {\left ( \displaystyle -\frac{13}{4}, \displaystyle \frac{1621}{256} \right ).}

4Dada la función {f(x) = tg \, x}, hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función {f(x)} en el origen, con el eje de abscisas.

1 Calculamos la derivada de la curva

 

{f'(x) = sec^2 \, x}

 

2 La pendiente en el origen es {f'(0) = sec^2 \, 0^o = 1}. Así, el ángulo fomado por la recta tangente y el eje de las abscisas es

 

{\alpha = arc \, tg \, 1 = 45^o}

5Hallar los coeficientes de la ecuación {y = ax^2 + bx + c}, sabiendo que su gráfica pasa por {(0, 3)} y por {(2, 1)}, y en este último punto su tangente tiene de pendiente {3}.

1 Calculamos la derivada de la curva

 

{y' = 2ax + b}

 

2 Sustituyendo los dos puntos por donde pasa la gráfica en la ecuación dada y la pendiente de la recta tangente, se tiene el siguiente sistema de tres ecuaciones

 

{\begin{array}{lcl}(0, 3) & \Longrightarrow & 3 = c \\\\ (2, 1) & \Longrightarrow & 1 = 4a + 2b + c \\\\ (2, 1) & \Longrightarrow & 3 = 4a + b \end{array}}

 

3 El sistema de ecuaciones

 

{\left \{ \begin{array}{l} 3 = c \\ 1 = 4a + 2b + c \\ 3 = 4a + b \end{array} \right. }

 

tiene por solución {a = 2, \ b = -5, \ c = 3}

6Hallar los coeficientes de la ecuación {y = ax^2 + bx + c}, sabiendo que su gráfica pasa por {(2, 3)} y por {(3, 13)}, siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa {1} paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar el valor numérico de los coeficientes de la ecuación.

1 Calculamos la derivada de la curva

 

{y' = 2ax + b}

 

2 Sustituyendo los dos puntos por donde pasa la gráfica en la ecuación dada y la pendiente de la recta tangente la cual es {1}, se tiene el siguiente sistema de tres ecuaciones

 

{\begin{array}{lcl}(2, 3) & \Longrightarrow & 3 = 4a + 2b + c \\\\ (3, 13) & \Longrightarrow & 13 = 9a + 3b + c \\\\ x = 1, \ m = 1 & \Longrightarrow & 1 = 2a + b \end{array}}

 

3 El sistema de ecuaciones

 

{\left \{ \begin{array}{l} 3 = 4a + 2b + c \\ 13 = 9a + 3b + c \\ 1 = 2a + b \end{array} \right. }

 

tiene por solución {a = 3, \ b = -5, \ c = 1}

7Hallar los coeficientes de la ecuación {y = ax^3 + bx^2 + cx + d}, sabiendo que su gráfica pasa por {(-1, 2)} y por {(2, 3)}, siendo la tangente a la misma en los puntos de abscisas {1} y {-2} paralela al eje de las abscisas. Hallar el valor numérico de los coeficientes de la ecuación.

1 Calculamos la derivada de la curva

 

{y' = 3ax^2 + 2bx + c}

 

2 Sustituyendo los dos puntos por donde pasa la gráfica en la ecuación dada y la pendiente de la recta tangente la cual es {0}, se tiene el siguiente sistema de cuatro ecuaciones

 

{\begin{array}{lcl}(-1, 2) & \Longrightarrow & 2 = -a + b - c + d \\\\ (2, 3) & \Longrightarrow & 3 = 8a + 4b + 2c + d \\\\ x = 1, \ m = 0 & \Longrightarrow & 0 = 3a + 2b + c \\\\ x = -2, \ m = 0 & \Longrightarrow & 0 = 12a - 4b + c \end{array}}

 

3 El sistema de ecuaciones

 

{\left \{ \begin{array}{l} 2 = -a + b - c + d \\ 3 = 8a + 4b + 2c + d \\ 0 = 3a + 2b + c \\ 0 = 12a - 4b + c \end{array} \right. }

 

tiene por solución {\displaystyle a = -\frac{2}{9}, \ b = -\frac{1}{3}, \ c = \frac{4}{3}, \ d = \frac{31}{9}}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗