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Marta

29 octubre 2020

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Pendiente de la recta tangente
Ecuación de la recta tangente
Ejercicios propuestos

Pendiente de la recta tangente

La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es igual a la derivada de la función en dicho punto.

$tg \, \beta = \lim_{h \to 0} \frac{\Delta y}{h} = f'(a)$

Ejemplo: Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva ${f(x) = 3x^2 - 7x + 6}$ para ${x = 1}$

1Calculamos la derivada

${f'(x) = 6x - 7}$

2La pendiente buscada es

${f'(1) = 6(1) - 7 = -1}$

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Ecuación de la recta tangente

La recta tangente a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto ${(a, f(a))}$ y cuya pendiente es igual a ${f'(a)}$ , viene dada por

${y - f(a) = f'(a) (x - a)}$

Ejemplo: Hallar la recta tangente a la curva ${f(x) = 3x^2 - 7x + 6}$ en ${x = 1}$

1 Calculamos el punto de la gráfica de la curva por donde pasa la recta tangente

${f(1) = 3(1)^2 - 7(1) + 5 = 2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (1, f(1)) = (1, 2)}$

2 Calculamos la pendiente de la recta tangente en ${(1, 2)}$

${f'(x) = 6x - 7 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ f'(1) = -1}$

3 la ecuación de la recta tangente es

${\begin{array}{rcl} y - f(1) & = & f'(1) (x - 1) \\\\ y - 2 & = & -1(x - 1) \\\\ y & = & -x + 3 \end{array}}$

Ejercicios propuestos

1Calcular los puntos en que la tangente a la curva ${y = x^3 - 3x^2 - 9x + 5}$ es paralela al eje ${OX}$ .

1 Calculamos la derivada de la curva

${y' = 3x^2 - 6x - 9}$

2 El eje ${OX}$ tiene pendiente cero, la pendiente de la recta tangente es igual a la derivada y las rectas paralelas tienen la misma pendiente

${\begin{array}{rcl} 3x^2 - 6x - 9 & = & 0 \\\\ 3(x^2- 2x - 3) & = & 0 \\\\ 3(x - 3)(x + 1) & = & 0 \end{array}}$

entonces los valores de ${x}$ son ${x = -1}$ y ${x = 3}$

3 Calculamos los valores ${y}$

${\begin{array}{lcl} x = -1 & \Longrightarrow & y = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 5 = 10 \\\\ x = 3 & \Longrightarrow & y = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 5 = -22 \end{array} }$

Los puntos buscados son ${(-1, 10)}$ y ${(3, -22)}$

2Se ha trazado una recta tangente a la curva ${y = x^3}$ , cuya pendiente es ${3}$ y pasa por el punto ${(0, -2)}$ . Hallar el punto de tangencia.

1 Calculamos la derivada de la curva

${y' = 3x^2}$

2 Como la pendiente es ${3}$ , igualamos con la derivada y encontramos los valores de los puntos de tangencia con pendiente tres

${\begin{array}{rcl} 3x^2 & = & 3 \\\\ 3(x^2 - 1) & = & 0 \\\\ 3(x - 1)(x + 1) & = & 0 \end{array}}$

entonces los valores de ${x}$ son ${x = -1}$ y ${x = 1}$

3 Calculamos los valores ${y}$

${\begin{array}{lcl} x = -1 & \Longrightarrow & y = (-1)^3 = -1 \\\\ x = 1 & \Longrightarrow & y = (1)^3 = 1 \end{array} }$

Los puntos buscados son ${(-1, -1)}$ y ${(1, 1)}$

4 La ecuación de la recta tangente con punto de tangencia ${(-1, -1)}$ es

${\begin{array}{rcl} y + 1 & = & 3 (x + 1) \\\\ y & = & 3x + 2 \end{array}}$

la cual no pasa por el punto ${(0, -2)}$ .

La ecuación de la recta tangente con punto de tangencia ${(1, 1)}$ es

${\begin{array}{rcl} y - 1 & = & 3 (x - 1) \\\\ y & = & 3x - 2 \end{array}}$

la cual si pasa por el punto ${(0, -2)}$ . Así, el punto de tangencia solicitado es ${(1, 1)}$ .

3Encontrar los puntos de la curva ${f(x) = x^4 + 7x^3 + 13x^2 + x + 1}$ , para los cuales la tangente forma un ángulo de ${45^o}$ con el eje ${OX}$ .

1 Calculamos la derivada de la curva

${f'(x) = 4x^3 + 21x^2 + 26x + 1}$

2 La pendiente es igual a ${tg \, 45^o = 1}$ . Igualamos esta pendiente con la derivada y encontramos los valores de los puntos de tangencia con pendiente tres

${\begin{array}{rcl} 4x^3 + 21x^2 + 26x + 1 & = & 1 \\\\ x(4x^2 + 21x + 26) & = & 0 \\\\ x(x + 2)(4x + 13) & = & 0 \end{array}}$

entonces los valores de ${x}$ son ${x = 0, \ x = -2}$ y ${x = \displaystyle -\frac{13}{4}}$

3 Calculamos los valores de la segunda coordenada de los puntos de tangencia

${\begin{array}{lcl} x = 0 & \Longrightarrow & f(0) = (0)^4 + 7(0)^3 + 13(0)^2 + 0 + 1 = 1 \\\\ x = -2 & \Longrightarrow & f(-2) = (-2)^4 + 7(-2)^3 + 13(-2)^2 + (-2) + 1 = 11 \\\\ \displaystyle x = -\frac{13}{4} & \Longrightarrow & \displaystyle f \left (-\frac{13}{4} \right ) = \left (-\frac{13}{4} \right )^4 + 7\left (-\frac{13}{4} \right )^3 + 13\left (-\frac{13}{4} \right )^2 + \left (-\frac{13}{4} \right ) + 1 = \frac{1621}{256} \end{array} }$

Los puntos buscados son ${(0, 1), \ (-2, 11)}$ y ${\left ( \displaystyle -\frac{13}{4}, \displaystyle \frac{1621}{256} \right ).}$

4Dada la función ${f(x) = tg \, x}$ , hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función ${f(x)}$ en el origen, con el eje de abscisas.

1 Calculamos la derivada de la curva

${f'(x) = sec^2 \, x}$

2 La pendiente en el origen es ${f'(0) = sec^2 \, 0^o = 1}$ . Así, el ángulo fomado por la recta tangente y el eje de las abscisas es

${\alpha = arc \, tg \, 1 = 45^o}$

5Hallar los coeficientes de la ecuación ${y = ax^2 + bx + c}$ , sabiendo que su gráfica pasa por ${(0, 3)}$ y por ${(2, 1)}$ , y en este último punto su tangente tiene de pendiente ${3}$ .

1 Calculamos la derivada de la curva

${y' = 2ax + b}$

2 Sustituyendo los dos puntos por donde pasa la gráfica en la ecuación dada y la pendiente de la recta tangente, se tiene el siguiente sistema de tres ecuaciones

${\begin{array}{lcl}(0, 3) & \Longrightarrow & 3 = c \\\\ (2, 1) & \Longrightarrow & 1 = 4a + 2b + c \\\\ (2, 1) & \Longrightarrow & 3 = 4a + b \end{array}}$

3 El sistema de ecuaciones

${\left \{ \begin{array}{l} 3 = c \\ 1 = 4a + 2b + c \\ 3 = 4a + b \end{array} \right. }$

tiene por solución ${a = 2, \ b = -5, \ c = 3}$

6Hallar los coeficientes de la ecuación ${y = ax^2 + bx + c}$ , sabiendo que su gráfica pasa por ${(2, 3)}$ y por ${(3, 13)}$ , siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa ${1}$ paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar el valor numérico de los coeficientes de la ecuación.

1 Calculamos la derivada de la curva

${y' = 2ax + b}$

2 Sustituyendo los dos puntos por donde pasa la gráfica en la ecuación dada y la pendiente de la recta tangente la cual es ${1}$ , se tiene el siguiente sistema de tres ecuaciones

${\begin{array}{lcl}(2, 3) & \Longrightarrow & 3 = 4a + 2b + c \\\\ (3, 13) & \Longrightarrow & 13 = 9a + 3b + c \\\\ x = 1, \ m = 1 & \Longrightarrow & 1 = 2a + b \end{array}}$

3 El sistema de ecuaciones

${\left \{ \begin{array}{l} 3 = 4a + 2b + c \\ 13 = 9a + 3b + c \\ 1 = 2a + b \end{array} \right. }$

tiene por solución ${a = 3, \ b = -5, \ c = 1}$

7Hallar los coeficientes de la ecuación ${y = ax^3 + bx^2 + cx + d}$ , sabiendo que su gráfica pasa por ${(-1, 2)}$ y por ${(2, 3)}$ , siendo la tangente a la misma en los puntos de abscisas ${1}$ y ${-2}$ paralela al eje de las abscisas. Hallar el valor numérico de los coeficientes de la ecuación.

1 Calculamos la derivada de la curva

${y' = 3ax^2 + 2bx + c}$

2 Sustituyendo los dos puntos por donde pasa la gráfica en la ecuación dada y la pendiente de la recta tangente la cual es ${0}$ , se tiene el siguiente sistema de cuatro ecuaciones

${\begin{array}{lcl}(-1, 2) & \Longrightarrow & 2 = -a + b - c + d \\\\ (2, 3) & \Longrightarrow & 3 = 8a + 4b + 2c + d \\\\ x = 1, \ m = 0 & \Longrightarrow & 0 = 3a + 2b + c \\\\ x = -2, \ m = 0 & \Longrightarrow & 0 = 12a - 4b + c \end{array}}$

3 El sistema de ecuaciones

${\left \{ \begin{array}{l} 2 = -a + b - c + d \\ 3 = 8a + 4b + 2c + d \\ 0 = 3a + 2b + c \\ 0 = 12a - 4b + c \end{array} \right. }$

tiene por solución $a = -\frac{2}{9}, \ b = -\frac{1}{3}, \ c = \frac{4}{3}, \ d = \frac{31}{9}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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scarlett

Noviembre

La recta tangente de la función h(x)=∛(x-1) √(x-1) con abscisa x=0 es dada por:

scarlett

Noviembre

tengo una duda con este ejercicio «La recta tangente de la función h(x)=∛(x-1) con abscisa x=0 es dada por»:

rafael

Enero

resolver estos problemas

4. Hallar la pendiente y la inclinación de la tangente a la curva de ecuación y=24x3en el punto cuya abscisa es uno.

5. ¿Qué ángulo forma con la dirección positiva del eje de las x, la tangente a la curva de la ecuación y=2 – x3x en el punto de abscisa uno?

6. Encontrar las coordenadas de los puntos de la curva y=(x -1)(x + 2)2,en las cuales las tangentes a la curva son paralelas al eje de las x.

Pablo

Enero

El punto de coordenadas 𝑃 = (0.5,0) se encuentra sobre la curva 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑥).
a. Si 𝑄 es el punto representado por las coordenadas (𝑥, 𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑥)), calcule las pendientes
de las rectas secantes 𝑃𝑄 (con una precisión de seis decimales) para los siguientes
valores de 𝑥:
i. 0
ii. 0.4
iii. 0.49
iv. 0.499
v. 1
vi. 0.6
vii. 0.51
viii. 0.501

Rin

Abril

Calcula los puntos de la curva y^3 = 2x tales que la recta tangente en dichos puntos sea perpendicular a y + 6x = 0.

Sabemos que si la recta tangente debe ser perpendicular a y = -6x, tendrá que ser paralela a y = x/6

Por otro lado, debemos hallar la pendiente de la curva, es decir, la derivada de esa función.
f´(x) = 1/(2x)^3

Ahora, igualaremos las pendientes de ambas funciones, para hallar x.

1/6 = 1/(2x)^3

6 = (2x)^3

2x = ∛(6)

x = ∛(6)/2

Ahora despejaríamos la y en la función inicial.

y^3 = 2(∛(6)/2)

y^3 = ∛(6);

y = raíz 9 de (6)

Luego el punto sería P(∛(6)/2 ; raíz 9 de (6) )

¿Estaría correcto?

Muchas gracias, un saludo

Recta tangente

Pendiente de la recta tangente

Ecuación de la recta tangente

Ejercicios propuestos

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