Ejercicios propuestos>

1 Dada la ecuación 9x^{2} + y^{2}= 18, hallar la ecuación de la recta tangente que sea paralela a la recta de ecuación 3x - y + 7 = 0.

Supongamos que (a,b) es el punto de tangencia, además conviene saber la pendiente que tiene que tener la recta tangente a la curva. Sabemos que la recta tangente es paralela a la recta y=3x+7 por lo tanto tendrán la misma pendiente.

    \[ y = 3x + 7 \quad \Rightarrow \quad m = 3 \]

Ahora tenemos que encontrar en que punto de la curva dada la pendiente es igual a 3, y para ello derivamos implicitamente

    \[ \frac{dy}{dx}\left[9x^2 + y^2 = 18 \right] \]

entonces

    \[ 18x + 2yy' = 0 \quad \Rightarrow \quad y' = -\frac{18x}{2y} = -\frac{9x}{y}\]

Puesto que la pendiente es tres, entonces

    \[ y' = 3 = - \frac{9x}{y} \]

Sustituyendo el punto de tangencia (a,b):

    \[ \frac{-9a}{b} = 3 \quad \Rightarrow \quad b=-3a \]

y se tiene que cumplir el siguiente sistema

\left\{\begin{array}{cl} 9 a^{2}+b^{2}=18 & \\ b=-3a & \end{array}\right.

de donde obtenemos que los posibles puntos son

    \[ P(1, -3) \quad \textrm{y} \quad Q(-1, 3) \]

Con estos puntos y la pendiente, obtenemos dos ecuaciones que cumplen con lo que buscamos

    \[ y+3=3(x-1) \quad \Rightarrow \quad 3x-y-6=0 \]

    \[ y-3=3(x+1) \quad \Rightarrow \quad 3 x-y+6=0 \]

 

2 Hallar el área del triángulo determinado por los ejes de coordenadas y la tangente a la curva xy = 1 en el punto x = 1.

Si xy=1, entonces \displaystyle y=\frac{1}{x}

La pendiente de la recta tangente a la curva está dada por la derivada

\displaystyle y'=-\frac{1}{x^2}

Evaluamos para obtener la pendiente en x=1

\displaystyle y'=-\frac{1}{1^2}=-1

La ordenada del punto se obtiene evaluando en la función original

\displaystyle y=\frac{1}{1}=1

Finalmente

\text{Punto} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm}(1,1)

\text{Pendiente} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} m=-1

\text{Ecuacion de la recta} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{1cm} y-1=-(x-1) \hspace{1cm}\Rightarrow \quad y=-x+2

Intersección con el eje OX

0=-x+2 \hspace{2cm} x=2

Un vértice es (2,0)

Intersección con el eje OY

y=-0+2=2

Otro vértice es (0,2)

Y la figura es como a continuación

recta tangente a una curva representación gráfica

Como es un triángulo rectángulo, su base y altura están dados por los catetos, que en este caso ambos miden 2. El área es

\displaystyle S=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{2\cdot 2}{2}=2u^2

 

3 La ecuación de un movimiento rectilíneo es: e(t) = t^{3} - 27t. ¿En qué momento la velocidad en nula? Hallar la aceleración en ese instante.

La ecuación de movimiento rectilíneo que se nos da es: \quad e(t) = t^3 - 27t. Recordemos que la velocidad es la primer derivada de la función de movimiento, por lo tanto, para encontrar el momento en el cual la velocidad es nula, debemos derivar \quad e(t) , igualar a cero y despejar \quad t:

 

\quad v(t)= e'(t)= 3t^2 - 27.

 

Igualando a \quad 0 \quad y despejando \quad t

 

    \begin{align*} 3t^2 - 27 &= 0\\ 3t^2 &= 27\\ t^2 &= 9\\ t &= 3 \end{align*}

 

Así, cuando \quad t = 3, la velocidad es nula.

Ahora, la aceleración es igual a la derivada de la velocidad (o segunda derivada del movimiento), por lo tanto, para encontrar la aceleración en el tiempo en el cual la velocidad es nula (t = 3), debemos derivar \quad v(t) \quad y evaluar en \quad t = 3:

a(t)= v'(t) = e''(t) = 6t,

 

evaluando en \quad t = 3, tenemos

 

\quad a(3) = 18.

 

4 Un productor de nueces estima, de la experiencia de los años anteriores, que si se plantan \mathbf{5 0} árboles por hectárea, cada árbol producirá en promedio 60 kilos de nueces cada año. Si por cada árbol adicional que se planta por hectárea la producción promedio por árbol desciende 1 kilo, ¿cuántos árboles debe plantar para maximizar la producción por hectárea? ¿Cuál es esa producción máxima?

Sea

  • x: numero de arboles adicionales
  • P: Producción por hectárea

entonces

    \[ P = (50 + x)(60 - x) = 3000 + 10x - x^2 \]

Derivando P y resolviendo la ecuación que proporciona la primera derivada igual a cero obtenemos los puntos críticos:

    \[ P^{\prime}=\left(3.000+10 x-x^{2}\right)^{\prime}=10-2 x=0 \Rightarrow x=5 \]

Luego x=5 proporciona el máximo, con un número de árboles de 50+5=55 y una producción por hectárea que obtenemos sustituyendo el valor x = 5 en P :

    \[ P(5)=3.025 \]

 

5 Calcular a, b, c, d de la función f(x)=ax^{3}+b x^{2}+cx+d para que tenga un vértice en (1,0) y un punto de inflexión en (-1,2).

Puesto que tenemos un vértice en (1,0) entonces:

\left\{\begin{array}{cl} f'(1) = 0 \\ f(1) = 0 \end{array}\right.

Otro dato es que tenemos un punto de inflexión en (-1,2), entonces

\left\{\begin{array}{cl} f(-1) = 2 \\ f''(-1) = 0 \end{array}\right.

Con lo anterior obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{cl} 3a + 2b + c = 0 \\ a + b + c + d = 0\\ -a + b - c + d = 2 \\ -6a + 2 b = 0 \end{array}\right.

lo resolvemos y obtenemos

    \[ a=1/8 \quad b =3/8 \quad c=(-9)/8 \quad d=5/8 \]

6 Halla el número positivo cuya suma con veinticinco veces su inverso sea mínima.

Llamemos x al número que buscamos. El cual debe ser x>0. Para encontrar lo tenemos que minimizar la función:
\begin{aligned} &f(x)=x+\frac{25}{x} \\ &f^{\prime}(x)=1-\frac{25}{x^{2}}=\frac{x^{2}-25}{x^{2}}=0 \end{aligned}

entonces

    \[ x = 5 \quad \Rightarrow \quad f(5) = 10 \]

    \[ x = - 5 \quad \Rightarrow \quad \textrm{no lo consideramos pues} \quad x > 0 \]

Por tanto, el número buscado es x=5 y el mínimo es 10 .


7 De entre todos los triángulos rectángulos cuyos catetos tienen longitudes que suman 10 cm, hallar las dimensiones de aquel cuya área es máxima.

Tenemos que

    \[ x+y=10 \quad \Rightarrow \quad y=10-x \]

Entonces

    \[ \text{ Area }=\frac{x \cdot y}{2}=\frac{x \cdot(10-x)}{2}=\frac{10 x-x^{2}}{2}, \quad 0<x<10 \]

Tenemos que maximizar la función:

    \[f(x)=x+\frac{10 x-x^{2}}{2}, \quad 0<x<10 \]

Derivando

    \[ f^{\prime}(x)=\frac{10-2 x}{2}=5-x=0 \Rightarrow x=5 \Rightarrow y=10-5=5 \]

Por lo tanto, los catetos miden 5 cm cada uno y el área máxima es de 12,5 cm^2.

8 Sabemos que la función f(x) = ax^3 + bx pasa por el punto (1, 1) y en ese punto tiene tangente paralela a la recta 3x + y = 0. Hallar a y b

Tenemos que

    \[ f(x) = ax^3 + bx \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 3ax^2 + b \]

y de la información proporcionada

\begin{aligned} &f(1)=1 \quad \Rightarrow \quad a+b=1 \\ &f^{\prime}(1)=-3 \quad \Rightarrow \quad 3a+b=-3 \end{aligned}

Resolviendo obtenemos que a = -2 y b = 3.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗