Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua en x = a.

El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables. A continuación veremos algunos ejemplos donde podemos estudiar estas afirmaciones.

 

Ejemplos

Estudiar la continuidad y derivabilidad de las funciones:

1 Consideremos

     \[ f(x)= \begin{cases} 1 & \text { Si } x<0 \\ x & \text { Si } x \geq 0 \end{cases}\]

 

En primer lugar estudiamos la continuidad en x=0. Notemos que

 

     \[ f(0)=0, \quad \lim _{x \rightarrow 0^{-}} 1=1, \quad \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x=0 \]

 

entonces la función no es continua en x=0, por tanto tampoco es derivable.

 

Ejemplo grafica no continua

 

2 Consideremos

     \[ f(x)= \begin{cases} 0 & \text { Si } x<0 \\ x & \text { Si } x \geq 0 \end{cases}\]

 

En primer lugar estudiamos la continuidad en x=0:

 

     \[ f(0)=0, \quad \quad \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x) =0 ,\quad \quad \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=0 \]

 

Tenemos que la función es continua, por tanto podemos estudiar la derivabilidad

 

    \[ \begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0^{-}} f \frac{f(0 + h)-f(0)}{h} &= \frac{0-0}{h} = 0 \\ \lim _{h \rightarrow 0^{+}} f \frac{f(0 + h)-f(0)}{h} &= \frac{h}{h}=1 \end{aligned} \]

 

Puesto que no coinciden las derivadas laterales no es derivable en x=0.

 

Ejemplo grafica no derivable

 

3 Consideremos  f(x) = x^2 :

Tenemos que la función es continua en x= 0, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.

 

    \[ f^{\prime}(0)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(0+h)^{2}-0^{2}}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h^{2}}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} h=0 \]

 

Es decir, tenemos que en x = 0 la función es continua y derivable.

 

Ejemplo grafica continua y derivable

 

4 Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:

     \[ f(x)=\left\{\begin{array}{lll} x^{3}-x & \text { si } & x<0 \\ a x+b & \text { si } & x \geq 0 \end{array}\right. \]

 

Notemos que

 

    \[ f(0)=b \quad \lim _{x \rightarrow 0^{-}}\left(x^{3}-x\right)=0 \quad \lim _{x \rightarrow 0^{+}}(a x+b)=b \]

 

es decir, para que sea continua en  x = 0 se debe tener que  b = 0 .

Ahora bien, considerando  b = 0 veamos que valor debe tomar a para que sea derivable.

 

     \[ f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{lll}3 x^{2}-1 & \text { si } & x<0 \\ a & \text { si } & x>0\end{array}\right. \]

 

Tenemos que

    \[ f^{\prime}\left(0^{-}\right)=-1, \quad \quad f^{\prime}\left(0^{+}\right)=a \]

 

Por lo tanto, se debe tomar  a = -1 .

 

5 Determinar los valores de a y b para que la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:

     \[ f(x)=\left\{\begin{array}{lr} b x^{2}+a x & \text { Si } x \leq-1 \\ \frac{a}{x} & \text { Si }-11 \end{array}\right. \]

 

Para qué una función sea derivable tiene que ser continua, notemos que en este caso la función no es continua para x=0 cualesquiera que sean a y b, es decir, no existen valores de a y b que hagan continua la función y por tanto, no existen a y b para los cuales la función sea derivable.

 

6 Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:

     \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} x^{2}+2 & \text { si } & x \leq 0 \\ \sqrt{a x+b} & \text { si } & 02 \end{array}\right. \]

 

Notemos que

 

    \[ f(0)=2, \quad \quad \lim _{x \rightarrow 0^{-}}\left(x^{2}+2\right)=2, \quad \quad \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{a x+b}=\sqrt{b} \]

 

entonces para que sea continua en  x = 0 se debe tener que

 

    \[ \sqrt{b}=2 \quad \Rightarrow \quad b = 4 \]

 

Por otro lado para  x= 2

 

     \[ f(2)=\sqrt{2 a+4}, \quad \lim _{x \rightarrow 2^{-}} \sqrt{2 a+b}=\sqrt{2 a+4}, \quad \lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{-2}{2 \sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \]

 

entonces, para que sea continua en  x= 2 se debe tener que

 

     \[ \sqrt{2 a+4}=\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad a = -1 \]

 

Por tanto para  a = 1 y  b= 4 la funcion es continua en todo  \mathbb{R}.

Ahora bien, tenemos

 

 f'(x) = \left\{\begin{array}{ccc} 2 x & \text { si } & x<0 \\ \frac{1}{2 \sqrt{-x+4}} & \text { si } & 0<x<2 \\ \frac{-1}{2 \sqrt{2}} & \text { si } & x>2 \end{array}\right.

 

Notemos que

 

     \[ f^{\prime}\left(0^{-}\right)=0, \quad \quad f^{\prime}\left(0^{+}\right)=- \frac{1}{4} \]

 

por tanto, no es derivable en x=0$} y

 

     \[ f^{\prime}\left(2^{-}\right)=\frac{-1}{2 \sqrt{2}}, \quad \quad f^{\prime}\left(2^{+}\right)=\frac{-1}{2 \sqrt{2}} \]

 

Es decir, es derivable en x=2.

 

6 Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por

 f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \cos x+2 & \text { si } & x<0 \\ \frac{2 x}{\pi}+1 & \text { si } & 0<x<\frac{\pi}{2} \\ \operatorname{sen} x+1 & \text { si } & x \geq \frac{\pi}{2} \end{array}\right.

 

La función no es continua en x=0 porque no tiene imagen, por tanto tampoco es derivable en ese punto.

Ahora bien en  x = \frac{\pi}{2}:

 

     \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\operatorname{sen} \frac{\pi}{2}+1=2\]

    \[ \lim _{x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)^{-}} \frac{2 x}{\pi}+1=\lim _{x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)^{+}} \operatorname{sen} \frac{\pi}{2}+1=2 \]

 

Por lo que es continua, veamos si es derivable mediante las fórmulas de derivadas trigonómetricas inmediatas

 

 f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ccc} -\operatorname{sen} x & \text { si } & x<0 \\ \frac{2}{\pi} & \text { si } & 0<x<\frac{\pi}{2} \\ \cos x & \text { si } & x>\frac{\pi}{2} \end{array}\right.

 

y notemos que

 

     \[ f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{-}=\frac{2}{\pi} \quad f\left(\frac{\pi}{2}\right)^{+}=\cos \frac{\pi}{2}=0 \]

 

Puesto que las derivadas laterales no coinciden no es derivable en el punto.

>

La plataforma que conecta profes particulares y estudiantes

¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,75 (4 nota(s))
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗