Si una función es derivable en un punto , entonces es continua en
.
El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables. A continuación veremos algunos ejemplos donde podemos estudiar estas afirmaciones.
Ejemplos
Estudiar la continuidad y derivabilidad de las funciones:
1 Consideremos
En primer lugar estudiamos la continuidad en . Notemos que
entonces la función no es continua en , por tanto tampoco es derivable.
2 Consideremos
En primer lugar estudiamos la continuidad en :
Tenemos que la función es continua, por tanto podemos estudiar la derivabilidad
Puesto que no coinciden las derivadas laterales no es derivable en .
3 Consideremos :
Tenemos que la función es continua en , por tanto podemos estudiar la derivabilidad.
Es decir, tenemos que en la función es continua y derivable.
4 Estudiar para qué valores de y
la función es continua y derivable:
Notemos que
es decir, para que sea continua en se debe tener que
.
Ahora bien, considerando veamos que valor debe tomar
para que sea derivable.
Tenemos que
Por lo tanto, se debe tomar .
5 Determinar los valores de y
para que la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:
Para qué una función sea derivable tiene que ser continua, notemos que en este caso la función no es continua para cualesquiera que sean
y
, es decir, no existen valores de
y
que hagan continua la función y por tanto, no existen
y
para los cuales la función sea derivable.
6 Estudiar para qué valores de y
la función es continua y derivable:
Notemos que
entonces para que sea continua en se debe tener que
Por otro lado para
entonces, para que sea continua en se debe tener que
Por tanto para y
la funcion es continua en todo
.
Ahora bien, tenemos
Notemos que
por tanto, no es derivable en y
Es decir, es derivable en .
6 Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por
La función no es continua en porque no tiene imagen, por tanto tampoco es derivable en ese punto.
Ahora bien en :
Por lo que es continua, veamos si es derivable mediante las fórmulas de derivadas trigonómetricas inmediatas
y notemos que
Puesto que las derivadas laterales no coinciden no es derivable en el punto.
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Buenas tardes,
¿Se puede estudiar la derivabilidad de una función en todo su intervalo, o solo en un punto?
Hola Andrea.
Si es posible estudiar la derivada de una función en todo su dominio, al hacer esto generalmente buscamos algún punto (o intervalo) en concreto en donde la función podría no ser derivable.
Saludos.