Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua en x = a.

El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables. A continuación veremos algunos ejemplos donde podemos estudiar estas afirmaciones.

 

Ejemplos

Estudiar la continuidad y derivabilidad de las funciones:

1 Consideremos

    \[ f(x)= \begin{cases} 1 & \text { Si } x<0 \\ x & \text { Si } x \geq 0 \end{cases}\]

 

En primer lugar estudiamos la continuidad en x=0. Notemos que

 

    \[ f(0)=0, \quad \lim _{x \rightarrow 0^{-}} 1=1, \quad \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x=0 \]

 

entonces la función no es continua en x=0, por tanto tampoco es derivable.

 

Ejemplo grafica no continua

 

2 Consideremos

    \[ f(x)= \begin{cases} 0 & \text { Si } x<0 \\ x & \text { Si } x \geq 0 \end{cases}\]

 

En primer lugar estudiamos la continuidad en x=0:

 

    \[ f(0)=0, \quad \quad \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x) =0 ,\quad \quad \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=0 \]

 

Tenemos que la función es continua, por tanto podemos estudiar la derivabilidad

 

    \[ \begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0^{-}} f \frac{f(0 + h)-f(0)}{h} &= \frac{0-0}{h} = 0 \\ \lim _{h \rightarrow 0^{+}} f \frac{f(0 + h)-f(0)}{h} &= \frac{h}{h}=1 \end{aligned} \]

 

Puesto que no coinciden las derivadas laterales no es derivable en x=0.

 

Ejemplo grafica no derivable

 

3 Consideremos f(x) = x^2 :

Tenemos que la función es continua en x= 0, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.

 

    \[ f^{\prime}(0)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(0+h)^{2}-0^{2}}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h^{2}}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} h=0 \]

 

Es decir, tenemos que en x = 0 la función es continua y derivable.

 

Ejemplo grafica continua y derivable

 

4 Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:

    \[ f(x)=\left\{\begin{array}{lll} x^{3}-x & \text { si } & x<0 \\ a x+b & \text { si } & x \geq 0 \end{array}\right. \]

 

Notemos que

 

    \[ f(0)=b \quad \lim _{x \rightarrow 0^{-}}\left(x^{3}-x\right)=0 \quad \lim _{x \rightarrow 0^{+}}(a x+b)=b \]

 

es decir, para que sea continua en x = 0 se debe tener que b = 0 .

Ahora bien, considerando b = 0 veamos que valor debe tomar a para que sea derivable.

 

    \[ f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{lll}3 x^{2}-1 & \text { si } & x<0 \\ a & \text { si } & x>0\end{array}\right. \]

 

Tenemos que

    \[ f^{\prime}\left(0^{-}\right)=-1, \quad \quad f^{\prime}\left(0^{+}\right)=a \]

 

Por lo tanto, se debe tomar a = -1 .

 

5 Determinar los valores de a y b para que la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:

    \[ f(x)=\left\{\begin{array}{lr} b x^{2}+a x & \text { Si } x \leq-1 \\ \frac{a}{x} & \text { Si }-11 \end{array}\right. \]

 

Para qué una función sea derivable tiene que ser continua, notemos que en este caso la función no es continua para x=0 cualesquiera que sean a y b, es decir, no existen valores de a y b que hagan continua la función y por tanto, no existen a y b para los cuales la función sea derivable.

 

6 Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:

    \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} x^{2}+2 & \text { si } & x \leq 0 \\ \sqrt{a x+b} & \text { si } & 02 \end{array}\right. \]

 

Notemos que

 

    \[ f(0)=2, \quad \quad \lim _{x \rightarrow 0^{-}}\left(x^{2}+2\right)=2, \quad \quad \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{a x+b}=\sqrt{b} \]

 

entonces para que sea continua en x = 0 se debe tener que

 

    \[ \sqrt{b}=2 \quad \Rightarrow \quad b = 4 \]

 

Por otro lado para x= 2

 

    \[ f(2)=\sqrt{2 a+4}, \quad \lim _{x \rightarrow 2^{-}} \sqrt{2 a+b}=\sqrt{2 a+4}, \quad \lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{-2}{2 \sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \]

 

entonces, para que sea continua en x= 2 se debe tener que

 

    \[ \sqrt{2 a+4}=\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad a = -1 \]

 

Por tanto para a = 1 y b= 4 la funcion es continua en todo \mathbb{R}.

Ahora bien, tenemos

 

f'(x) = \left\{\begin{array}{ccc} 2 x & \text { si } & x<0 \\ \frac{1}{2 \sqrt{-x+4}} & \text { si } & 0<x<2 \\ \frac{-1}{2 \sqrt{2}} & \text { si } & x>2 \end{array}\right.

 

Notemos que

 

    \[ f^{\prime}\left(0^{-}\right)=0, \quad \quad f^{\prime}\left(0^{+}\right)=- \frac{1}{4} \]

 

por tanto, no es derivable en x=0$} y

 

    \[ f^{\prime}\left(2^{-}\right)=\frac{-1}{2 \sqrt{2}}, \quad \quad f^{\prime}\left(2^{+}\right)=\frac{-1}{2 \sqrt{2}} \]

 

Es decir, es derivable en x=2.

 

6 Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \cos x+2 & \text { si } & x<0 \\ \frac{2 x}{\pi}+1 & \text { si } & 0<x<\frac{\pi}{2} \\ \operatorname{sen} x+1 & \text { si } & x \geq \frac{\pi}{2} \end{array}\right.

 

La función no es continua en x=0 porque no tiene imagen, por tanto tampoco es derivable en ese punto.

Ahora bien en x = \frac{\pi}{2}:

 

    \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\operatorname{sen} \frac{\pi}{2}+1=2\]

    \[ \lim _{x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)^{-}} \frac{2 x}{\pi}+1=\lim _{x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)^{+}} \operatorname{sen} \frac{\pi}{2}+1=2 \]

 

Por lo que es continua, veamos si es derivable mediante las fórmulas de derivadas trigonómetricas inmediatas

 

f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ccc} -\operatorname{sen} x & \text { si } & x<0 \\ \frac{2}{\pi} & \text { si } & 0<x<\frac{\pi}{2} \\ \cos x & \text { si } & x>\frac{\pi}{2} \end{array}\right.

 

y notemos que

 

    \[ f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{-}=\frac{2}{\pi} \quad f\left(\frac{\pi}{2}\right)^{+}=\cos \frac{\pi}{2}=0 \]

 

Puesto que las derivadas laterales no coinciden no es derivable en el punto.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗