Recordemos que definimos a la función logaritmo \log_a (x) como la función inversa del exponente a^x. Por lo tanto, se cumple la relación

 

\displaystyle \log_a \left( a^x \right) = x

 

El número a > 0 se conoce como base del exponente. Para más información, consulta nuestra página sobre los logaritmos.

 

Derivada del logaritmo natural

 

Si la base del logaritmo es el número de Euler, e, entonces se logaritmo se conoce como logaritmo natural (o logaritmo neperiano). En este caso lo denotamos

 

\displaystyle \log_e x = \ln x

 

Si f(x) = \ln (u(x)), entonces la derivada del logaritmo natural es

 

\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ \ln u(x) \right] = \frac{u'}{u}

 

donde ya estamos tomando en cuenta la regla de la cadena.

 

En particular, la derivada de f(x) = \ln x es

 

\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ \ln x \right] = \frac{1}{x}

 

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Derivada de un logaritmo de cualquier base

 

Sabemos que el logaritmo cumple con la siguiente propiedad:

 

\displaystyle \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}

 

Por lo tanto, si derivamos la expresión anterior, tenemos:

 

\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ \log_a x \right] = \frac{d}{dx} \left[ \frac{\ln x}{\ln a} \right] = \frac{1}{\ln a} \frac{d}{dx} \left[ \ln x \right] = \frac{1}{\ln a} \frac{1}{x}

 

Así, la derivada del logaritmo base a es

 

\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ \log_a x \right] = \frac{1}{x \ln a}

 

Si tomamos en cuenta la regla de la cadena, entonces la derivada es

 

\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ \log_a u(x) \right] = \frac{u'}{u \ln a}

 

Nota: en muchos casos es preferible aplicar algunas propiedades de los logaritmos antes de derivar. Por ejemplo, si tenemos

 

\displaystyle f(x) = \ln \left( \frac{x + 4}{2x - 2} \right)

 

Entonces utilizamos la propiedad \ln(a/b) = \ln a - \ln b para obtener:

 

\displaystyle f(x) = \ln ( x + 4 ) - \ln ( 2x - 2)

 

con lo que nos evitaríamos hacer la regla del cociente para las derivadas.

 

Ejercicios resueltos

 

1 Calcula la derivada de f(x) = \ln \left((x - 2)^9 \right)

 

Observemos que tenemos una potencia. Aunque es sencillo derivar (x - 2)^9, también podemos utilizar la siguiente propiedad de los logaritmos:

 

\displaystyle \ln (a^b) = b\ln a

 

con lo que la función se puede escribir como

 

\displaystyle f(x) = 9\ln(x - 2)

 

Entonces podemos derivar una expresión un poco más sencilla. Primero utilizamos la linealidad de la derivada (sacamos la constante):

 

\displaystyle f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ 9\ln(x - 2) \right] = 9\frac{d}{dx} \left[ \ln(x - 2) \right]

 

ahora derivamos (con regla de la cadena donde u = x - 2):

 

\displaystyle f'(x) = 9\frac{\tfrac{d}{dx}[x - 2]}{x - 2}

 

La derivada de x - 2 es 1, por lo que tenemos

 

\displaystyle f'(x) = 9\frac{1}{x - 2} = \frac{9}{x - 2}

 

la cual es la derivada que buscábamos.

 

2 Calcula la derivada de

 

\displaystyle f(x) = \ln \left( \frac{x^2 - 2}{x + 3} \right)

 

Antes de derivar, utilicemos la siguiente propiedad del logaritmo

 

\displaystyle \ln (a/b) = \ln a - \ln b

 

Por lo que la función se escribe como

 

\displaystyle f(x) = \ln (x^2 - 2) - \ln(x + 3)

 

Ahora derivamos:

 

\displaystyle f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \ln (x^2 - 2) - \ln(x + 3) \right]

 

Utilizamos la linealidad de las derivadas:

 

\displaystyle f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \ln(x^2 - 2) \right] - \frac{d}{dx} \left[ \ln(x + 3) \right]

 

Y ahora derivamos cada expresión:

 

\displaystyle f'(x) = \frac{\tfrac{d}{dx}[x^2 - 2]}{x^2 - 2} - \frac{\tfrac{d}{dx}[x + 3]}{x + 3}

 

Luego, tenemos que \tfrac{d}{dx}[x^2 - 2] = 2x y \tfrac{d}{dx}[x + 3] = 1, son lo que tenemos

 

\displaystyle f'(x) = \frac{2x}{x^2 - 2} - \frac{1}{x + 3}

 

que es la derivada que buscamos.

 

3 Calcula la derivada de

 

\displaystyle f(x) = \log_{10} (x^2 + 4x + 1)

 

Recordemos que la derivada de un logaritmo con base diferente de e es ligeramente diferente. Por lo tanto,

 

\displaystyle f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \log_{10} (x^2 + 4x + 1) \right] = \frac{\tfrac{d}{dx}[x^2 + 4x + 1]}{(x^2 + 4x + 1)\ln 10}

 

Además, tenemos que \tfrac{d}{dx}[x^2 + 4x + 1] = 2x + 4. Por lo que la derivada es

 

\displaystyle f'(x) = \frac{2x + 4}{(x^2 + 4x + 1)\ln 10}

 

4 Calcula la derivada de

 

\displaystyle f(x) = \log_2 \left( \sqrt[3]{\frac{5x^2 + 2}{\cos x}} \right)

 

Para encontrar esta derivada, primero vale la pena utilizas propiedades de los logaritmos. En primer lugar

 

\displaystyle \log (a^b) = b\log a

 

como \sqrt[3]{a} = a^{1/3}, entonces la función se puede escribir como

 

\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}\log_2 \left( \frac{5x^2 + 2}{\cos x} \right)

 

Ahora, utilizamos la propiedad \log (a/b) = \log a - \log b, para escribir la función como

 

\displaystyle f(x) = \frac{1}{3} (\log_2 (5x^2 + 2) - \log_2(\cos x))

 

Ya podemos derivar la función:

 

\displaystyle f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{3} (\log_2 (5x^2 + 2) - \log_2(\cos x)) \right]

 

Utilizamos la linealidad de la derivada:

 

\displaystyle f'(x) = \frac{1}{3}\left(\frac{d}{dx} \left[ \log_2 (5x^2 + 2) \right] - \frac{d}{dx} \left[ \log_2(\cos x) \right] \right)

 

Ahora sí derivamos cada expresión:

 

\displaystyle f'(x) = \frac{1}{3}\left(\frac{\tfrac{d}{dx}[5x^2 + 2]}{(5x^2 + 2)\ln 2} - \frac{\frac{d}{dx}[\cos x]}{\cos x \ln 2} \right)

 

Luego, tenemos que \tfrac{d}{dx}[5x^2 + 2] = 10 x y \tfrac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x. Sustituyendo, tenemos

 

\displaystyle f'(x) = \frac{1}{3}\left(\frac{10 x}{(5x^2 + 2)\ln 2} + \frac{\sin x}{\cos x \ln 2} \right)

 

que es la derivada que buscábamos.

 

5 Utilizando derivación implícita y el hecho de que

 

\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ e^x \right] = e^x

 

demuestra que

 

\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ \ln x \right] = \frac{1}{x}

 

Empezamos con nuestra función f(x) = \ln x. Deseamos mostrar que

 

\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}

 

Para esto, aplicamos la función exponencial a ambos lados:

 

\displaystyle e^{f(x)} = e^{\ln x} = x, \qquad \cdots (1)

 

Ahora, usamos derivación implícita en esta expresión

 

\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ e^{f(x)} \right] = \frac{d}{dx} \left[ x \right]

 

El lado derecho es

 

\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ x \right] = 1

 

Mientras que el lado izquierdo es

 

\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ e^{f(x)} \right] = e^{f(x)} \cdot f'(x)

 

Por lo tanto, tenemos

 

\displaystyle e^{f(x)} f'(x) = 1

 

Si dividimos ambos lados por e^{f(x)}, tenemos

 

\displaystyle f'(x) = \frac{1}{e^{f(x)}}

 

Sin embargo, teníamos que e^{f(x)} = x en (1), por lo que

 

\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}

 

que era justo lo que queríamos demostrar.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗