Derivada de la función exponencial

La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

f(x)=a^u \hspace{2cm} f'(x)=u'\cdot a^u \cdot \ln a

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Derivada de la función exponencial de base e

La derivada de la función exponencial de base e es igual a la misma función por la derivada del exponente.

f(x)= e^u \hspace{2cm} f'(x)=u'\cdot e^u

Derivada de e a la x

Para el caso especial

f(x)= e^x

Tenemos que

u= x \hspace{2cm} u'=1

Siguiendo la fórmula anterior

f(x)= e^u \hspace{2cm} f'(x)=u'\cdot e^u

Se concluye que

f(x)= e^x \hspace{2cm} f'(x)= 1\cdot e^x= e^x

Y así, decimos que la derivada de e^x es e^x

 

Ejercicios de derivadas propuestos

1f(x)=10^{\sqrt{x}}

 

f(x)=10^{\sqrt{x}}
 
Tenemos una función de la forma a^u, donde

\displaystyle a=10 \hspace{2cm} u=\sqrt{x}

Necesitamos derivar u, pues lo necesitaremos en la fórmula. Para esto, debemos tener en cuenta que

\displaystyle u=x^{\frac{1}{2}}

Siguiendo que la derivada de x^n es nx^{n-1}, la derivada del exponente u es

\displaystyle u'=\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}

La fórmula para derivar expresiones del tipo a^u es

f'(x)=u'\cdot a^u \cdot \ln a

Sustituimos

\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot 10^{\sqrt{x}} \cdot \ln 10

2 \displaystyle  f(x)= e^{3-x^2}

\displaystyle  f(x)= e^{3-x^2}

 
Tenemos una función de la forma e^u, donde

\displaystyle  u=3-x^2

Derivamos el exponente pues lo necesitaremos en la fórmula

\displaystyle u'=-2x

La fórmula para derivar expresiones del tipo e^u es

f'(x)=u'\cdot e^u

Sustituimos

\displaystyle f'(x)=-2x\cdot e^{3-x^2}

3\displaystyle  f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}

 

\displaystyle  f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}
 
Tenemos una suma de funciones de la forma e^u

\displaystyle  f(x)= \frac{e^x+e^{-x}}{2} =\frac{e^x}{2} + \frac{e^{-x}}{2}

Derivamos los exponentes pues los necesitaremos en la fórmula

\displaystyle u=x \hspace{2cm} u'=1

\displaystyle v=-x \hspace{2cm} v'=-1

La fórmula para derivar expresiones del tipo e^u es u'\cdot e^u. Hacemos las sustituciones necesarias

\displaystyle f'(x)=\frac{1\cdot e^x}{2} + \frac{-1\cdot e^{-x}}{2}=\frac{e^x}{2} - \frac{e^{-x}}{2}= \frac{e^x-e^{-x}}{2}

Y si quisiera no tener exponentes negativos entonces

\displaystyle f'(x)=\frac{e^x}{2} + \frac{-e^{-x}}{2}=\frac{e^x}{2} - \frac{1}{2e^x}

4f(x)= 3^{2x^2}\cdot \sqrt{x}

 

f(x)= 3^{2x^2}\cdot \sqrt{x}
 
Tenemos el producto de expresiones f(x)=u\cdot v

\displaystyle u= 3^{2x^2}

\displaystyle v=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}

Las derivamos, tomando en cuenta que la primera es una exponencial de la forma a^u y el segundo x^n

\displaystyle u'= 4x\cdot 3^{2x^2} \cdot \ln 3

\displaystyle v'= \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} =\frac{1}{2\sqrt{x}}

La fórmula para derivar producto de funciones es

\displaystyle f'(x)=u'\cdot v+u\cdot v'

Sustituimos

\displaystyle f'(x)=4x\cdot 3^{2x^2} \cdot \ln 3 \cdot \sqrt{x} +3^{2x^2} \cdot \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)

Factorizamos y simplificamos

\displaystyle f'(x)=3^{2x^2} \left(4x \cdot \ln 3 \cdot \sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}\right)

5\displaystyle f(x)=\frac{ e^{2x}}{x^2}

 

\displaystyle f(x)=\frac{ e^{2x}}{x^2}
 
Tenemos el cociente de expresiones \displaystyle f(x)=\frac{u}{v} donde

\displaystyle u= e^{2x}

\displaystyle v=x^{2}

Las derivamos, tomando en cuenta que la primera es una exponencial de la forma e^u y el segundo x^n

\displaystyle u'= 2e^{2x}

\displaystyle v'=2x

La fórmula para derivar el cociente de funciones es

\displaystyle f'(x)=\frac{u'\cdot v -u\cdot v'}{v^2}

Sustituimos

\displaystyle f'(x)=\frac{2e^{2x}\cdot x^2 -e^{2x}\cdot 2x}{x^4}

Factorizamos y simplificamos

\displaystyle f'(x)=\frac{2x e^{2x}(x -1)}{x^4} = \frac{2 e^{2x}(x -1)}{x^3}

6f(x)= 2^{x^2-1}

 

f(x)= 2^{x^2-1}
 
Tenemos una función de la forma a^u, donde

\displaystyle a= 2 \hspace{2cm} u=x^2-1

Derivamos u

\displaystyle u'= 2x

La fórmula para expresiones del tipo a^u es

\displaystyle f'(x)=u'\cdot a^u \cdot \ln a

Sustituimos

\displaystyle f'(x)=2x\cdot 2^{x^2-1} \cdot \ln 2

7f(x)= 3^{\sqrt{x^2-1}}

 

f(x)= 3^{\sqrt{x^2-1}}
 
Tenemos una función de la forma a^u, donde

\displaystyle a= 3 \hspace{2cm} u=\sqrt{x^2-1}=(x^2-1)^{\frac{1}{2}}

Derivamos u, aplicando la ley de la cadena

\displaystyle u'= \frac{1}{2} (x^2-1)^{\frac{1}{2}-1} (2x) = x (x^2-1)^{-\frac{1}{2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}

La fórmula para expresiones del tipo a^u es

\displaystyle f'(x)=u'\cdot a^u \cdot \ln a

Sustituimos

\displaystyle f'(x)=\left(\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\right)\cdot 3^{\sqrt{x^2-1}} \cdot \ln 3

Lo que es equivalente a

\displaystyle f'(x)=\left(\frac{x\ln 3}{\sqrt{x^2-1}}\right)\cdot 3^{\sqrt{x^2-1}}

8\displaystyle f(x)=e^{ \frac{1}{x}}
 

\displaystyle f(x)=e^{ \frac{1}{x}}
 
Tenemos una función de la forma e^u, donde

\displaystyle u= \frac{1}{x}= x^{-1}

Derivamos u

\displaystyle u'= -1x^{-1-1}= -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}

La fórmula para expresiones del tipo e^u es

 f'(x)=u'\cdot e^u

Sustituimos

\displaystyle f'(x)=\left(-\frac{1}{x^2}\right)\cdot e^{ \frac{1}{x}}

Lo que es equivalente a

\displaystyle f'(x)=-\frac{e^{ \frac{1}{x}}}{x^2}

9\displaystyle f(x)=x^3\cdot e^{-3x}

 

\displaystyle f(x)=x^3\cdot e^{-3x}
 
Tenemos el producto de expresiones f(x)=u\cdot v

\displaystyle u= x^{3}

\displaystyle v=e^{-3x}

Las derivamos, tomando en cuenta que la primera es de la forma x^n y la segunda es una exponencial e^u

\displaystyle u'= 3x^2

\displaystyle v'= -3e^{-3x}

La fórmula para derivar producto de funciones es

\displaystyle f'(x)=u'\cdot v+u\cdot v'

Sustituimos

\displaystyle f'(x)=3x^2 \cdot e^{-3x} +x^{3} \cdot \left(-3e^{-3x}\right)

Factorizamos y simplificamos

\displaystyle f'(x)=3x^2  e^{-3x} (1-x)

 

10\displaystyle f(x)=\frac{ e^{2x}}{\sqrt{x}}

 

\displaystyle f(x)=\frac{ e^{2x}}{\sqrt{x}}
 
Tenemos el cociente de expresiones \displaystyle f(x)=\frac{u}{v} donde

\displaystyle u= e^{2x}

\displaystyle v=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}

Las derivamos, tomando en cuenta que la primera es una exponencial de la forma e^u y el segundo x^n

\displaystyle u'= 2e^{2x}

\displaystyle v'= \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} =\frac{1}{2\sqrt{x}}

La fórmula para derivar el cociente de funciones es

\displaystyle f'(x)=\frac{u'\cdot v -u\cdot v'}{v^2}

Sustituimos

\displaystyle f'(x)=\frac{2e^{2x}\cdot \sqrt{x} -e^{2x}\cdot \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}{x}

Sumamos en el numerador y simplificamos

\displaystyle f'(x)=\frac{\frac{4xe^{2x}-e^{2x}}{2\sqrt{x}}}{x}

\displaystyle f'(x)=\frac{4xe^{2x}-e^{2x}}{2x\sqrt{x}}

Factorizamos en el numerador

\displaystyle f'(x)=\frac{e^{2x}(4x-1)}{2x\sqrt{x}}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗