Ejercicios propuestos

1La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es \quad e(t) = 6t^2. Calcular:

a la velocidad media entre \quad t = 1 \quad y \quad t = 4.

 

b La velocidad instantánea en \quad t = 1.

 

 

La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es \quad e(t) = 6t^2 . Calcular:

 

a la velocidad media entre \quad t = 1 \quad y \quad t = 4.

 

     \begin{align*} v_m &= \frac{e(4) - 4(1)}{4 - 1}\\ &= \frac{96 - 6}{3}\\ &= 30 \frac{m}{s} \end{align*}

 

b La velocidad instantánea en \quad t = 1.

 

     \begin{align*} v(1) &= e'(1)\\ &= \lim_{h \to 0}{\frac{e(1 + h) - e(1)}{h}}\\ &= \lim_{h \to 0}{\frac{6(1 + h)^2 - 6}{h}}\\ &= \lim_{h \to 0}{\frac{6(1 + 2h + h^2) - 6}{h}}\\ &= \lim_{h \to 0}{\frac{ 12h + h^2}{h}}\\ &= \lim_{h \to 0}{12 + h}\\ &= 12 \frac{m}{s} \end{align*}

 

2Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia de un millón de bacterias no comienza su reproducción hasta pasados dos meses. La función que representa la población de la colonia al variar el tiempo (expresado en meses) viene dada por:

 

     \begin{equation*} f(t) = \begin{cases} 10^6 & 0 \leq t \leq 2\\ 10^6 \cdot e^{(t-2)} & t > 2 \end{cases} \end{equation*}

 

Se pide:

 

a Verificar que la población es función continua del tiempo.

 

b Calcular la tasa de variación media de la población en los intervalos \quad [0, 2] \quad y \quad [0, 4].

 

c Calcular la tasa de variación instantánea en \quad t = 4.

 

 

Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia de un millón de bacterias no comienza su reproducción hasta pasados dos meses. La función que representa la población de la colonia al variar el tiempo (expresado en meses) viene dada por:

 

     \begin{equation*} f(t) = \begin{cases} 10^6 & 0 \leq t \leq 2\\ 10^6 \cdot e^{(t-2)} & t > 2 \end{cases} \end{equation*}

 

Se pide:

 

a Verificar que la población es función continua del tiempo.

 

El único punto que debemos analizar es en \quad t = 2. Notemos que

 

\displaystyle \lim_{t \to 2^{-}}{f(t)} = f(2) = 10^6.

 

Además

 

\displaystyle \lim_{t \to 2^{+}}{f(t)} = \lim_{t \to 2^{+}}{10^6 \cdot e^{(t-2)}} = 10^6.

 

Por lo tanto es continua.

 

b Calcular la tasa de variación media de la población en los intervalos \quad [0, 2] \quad y \quad [0, 4].

 

Primero hagamos el cálculo para el intervalo \quad [0, 2]

 

     \begin{align*} \text{TVM} &= \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0}\\ &= \frac{10^6 - 10^6}{2}\\ &= 0 \end{align*}

.

 

Ahora hagamos el cálculo para el intervalo \quad [0, 4]

 

     \begin{align*} \text{TVM} &= \frac{f(4) - f(0)}{4 - 0}\\ &= \frac{10^6 \cdot e^2 - 10^6}{4}\\ & \approx 1.567 \cdot 10^6 \end{align*}

.

 

c Calcular la tasa de variación instantánea en \quad t = 4.

 

La derivada de \quad f(t) \quad está dada por

 

     \begin{equation*} f'(t) = \begin{cases} 0 & 0 \leq t < 2\\ \text{No existe} & t = 2\\ 10^6 \cdot e^{(t-2)} & t > 2 \end{cases} \end{equation*}

,

 

por lo tanto

 

\displaystyle f'(4) = 10^6 \cdot e^2 \approx 7.38 \cdot 10^6

 

 

3Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función \quad p(t) = 5000 + 1000t^2, siendo \quad t \quad el tiempo metido en horas. Se pide:

 

a La velocidad media de crecimiento.

 

b La velocidad instantánea de crecimiento.

 

c La velocidad de crecimiento instantáneo para \quad t_0 = 10 \quad horas.

 

 

Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función \quad p(t) = 5000 + 1000t^2, siendo \quad t \quad el tiempo metido en horas. Se pide:

 

a La velocidad media de crecimiento.

 

     \begin{align*} v_m &= \frac{p(t + h) - p(t)}{h}\\ &= \frac{(5000 + 1000(t + h)^2) - (5000 + 1000t^2)}{h}\\ &= \frac{2000th + 1000h^2}{h}\\ &= 2000t + 1000h \end{align*}

 

b La velocidad instantánea de crecimiento.

 

     \begin{align*} v(t) &= p'(t)\\ &= \lim_{h \to 0}{v_m(t)}\\ &= \lim_{h \to 0}{2000t + 1000h}\\ &= 2000t \end{align*}

 

c La velocidad de crecimiento instantáneo para \quad t_0 = 10 \quad horas.

 

 p'(10) = 20000

 

 

 

4La ecuación de un movimiento rectilíneo es: \quad e(t) = t^3 - 27t . ¿En qué momento la velocidad en nula? Hallar la aceleración en ese instante.

 

 

La ecuación de movimiento rectilíneo que se nos da es: \quad e(t) = t^3 - 27t. Recordemos que la velocidad es la primer derivada de la función de movimiento, por lo tanto, para encontrar el momento en el cual la velocidad es nula, debemos derivar \quad e(t) , igualar a cero y despejar \quad t:

 

\quad v(t)= e'(t)= 3t^2 - 27.

 

Igualando a \quad 0 \quad y despejando \quad t

 

     \begin{align*} 3t^2 - 27 &= 0\\ 3t^2 &= 27\\ t^2 &= 9\\ t &= 3 \end{align*}

 

Así, cuando \quad t = 3, la velocidad es nula.

Ahora, la aceleración es igual a la derivada de la velocidad (o segunda derivada del movimiento), por lo tanto, para encontrar la aceleración en el tiempo en el cual la velocidad es nula (t = 3), debemos derivar \quad v(t) \quad y evaluar en \quad t = 3:

a(t)= v'(t) = e''(t) = 6t,

 

evaluando en \quad t = 3, tenemos

 

\quad a(3) = 18.

 

 

5La ecuación de un movimiento circular es: \quad \varphi(t) = \frac{1}{2}t^2. ¿Cuál es la velocidad y la aceleración angulares al cabo de siete segundos?

 

La ecuación de un movimiento circular es: \quad \varphi(t) = \frac{1}{2}t^2. ¿Cuál es la velocidad y la aceleración angulares al cabo de siete segundos?

 

Tenemos que la velocidad es la primer derivada de la función de movimiento, por lo tanto, para obtener la velocidad a los siete segundos, debemos obtener la derivada de \quad \varphi(t) \quad y evaluar en \quad t = 7.

 

\displaystyle v(t) = \varphi '(t) = t \qquad \Rightarrow \qquad v(7) = 7.

 

Ahora bien, la aceleración es la segunda derivada de la función de movimiento, por lo tanto, para obtener la aceleración a los siete segundos, debemos obtener la derivada de \quad \varphi(t) \quad y evaluar en \quad t = 7.

 

\displaystyle a(t) = \varphi ''(t) = 1 \qquad \Rightarrow \qquad a(7) = 1.

 

 

 

6Un observador se encuentra a \quad 2000 \, m \quad de lanzamiento de la torre de un cohete. Cuando éste despega verticalmente mide la variación del ángulo \quad \varphi (t) \quad que forma la línea visual que le une con el cohete y la del suelo horizontal en función del tiempo transcurrido. Sabiendo que \quad \varphi '(t) = \frac{1}{20}, se pide:

 

a ¿Cuál es la altura del cohete cuando \quad \varphi = \frac{\pi}{3} \quad radianes?

 

b ¿Cuál es la velocidad del cohete cuando \quad \varphi = \frac{\pi}{3} \quad radianes?

 

 

Un observador se encuentra a \quad 2000 \, m \quad 2000 m de lanzamiento de la torre de un cohete. Cuando éste despega verticalmente mide la variación del ángulo \quad \varphi (t) \quad que forma la línea visual que le une con el cohete y la del suelo horizontal en función del tiempo transcurrido. Sabiendo que \quad \varphi '(t) = \frac{1}{20}, se pide:

 

a ¿Cuál es la altura del cohete cuando \quad \varphi = \frac{\pi}{3} \quad radianes?

 

representación gráfica de distancias con un triangulo

 

     \begin{align*} h &= 2000 \cdot \tan{\left( \frac{\pi}{3} \right)}\\ &= 2000 \cdot \sqrt{3} \end{align*}

 

b ¿Cuál es la velocidad del cohete cuando \quad \varphi = \frac{\pi}{3} \quad radianes?

 

Debemos calcular la derivada de \quad h(t) \quad para obtener la velocidad:

 

     \begin{align*} v(\varphi) &= h'(t)\\ &= 2000 \left(1 + \tan^2 (\varphi(t))\right) \cdot \varphi '(t)\\ \end{align*}

 

Por lo tanto

 

\displaystyle v\left( \frac{\pi}{3} \right) =400 \frac{m}{s}

 

 

7Se bombea gas a un globo esférico a razón de \quad 6 \, \frac{m^3}{min}. Si la presión se mantiene constante. ¿Cuál es la velocidad con la que cambia el radio del globo cuando el diámetro mide \quad 120 \, cm?

 

 

Se bombea gas a un globo esférico a razón de \quad 6 \, \frac{m^3}{min}. Si la presión se mantiene constante. ¿Cuál es la velocidad con la que cambia el radio del globo cuando el diámetro mide \quad 120 \, cm?

 

De inicio, tenemos que \quad 6t = \frac{4}{3}\pi r^3 \quad. Entonces, despejando \quad r \quad y \quad t \quad tendríamos

 

     \begin{align*} r(t) &= \sqrt[3]{\frac{9t}{2\pi}}\\ t(r) &= \frac{2\pi r^3}{9} \end{align*}

 

Cuando el diámetro mide \quad 120 \, cm, el radio mide \quad 60 \, cm o \quad 0.06 \, m. Evaluando \quad t(0.06) \, cm obtenemos el tiempo

 

\displaystyle t(0.06) = \frac{2 \pi (0.06)^3}{9} \approx 0.15

 

Obteniendo \quad r(t) \quad y evaluando en \quad t = 0.15 \quad tenemos

 

     \begin{align*} r'(t) &= \frac{1}{3 \sqrt[3]{\left( \frac{9t}{2 \pi} \right)^2}} \cdot \frac{9}{2\pi}\\ r'(0.15) &= \frac{1}{3 \sqrt[3]{\left( \frac{9t}{2 \cdot 0.15} \right)^2}} \cdot \frac{9}{2\pi}\\ & \approx 1.326 \frac{m}{min} \end{align*}

 

 

8¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación \quad e(t) = 2 - 3t^2 \quad en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.

 

 

¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación \quad e(t) = 2 - 3t^2 \quad en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.

 

La velocidad está dada por la derivada, \quad e'(t) = − 6t, entonces para saber la velocidad en el quinto segundo, debemos calcular \quad e'(5)

 

     \begin{align*} v(5) &= e'(5)\\ &= -6 \cdot 5\\ &= -30 \frac{m}{s} \end{align*}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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