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Funciones implícitas
Derivadas de funciones implícitas
Ejemplos de derivación

Funciones implícitas

Una correspondencia o una función está definida en forma implícita, cuando no aparece despejada la variable $\displaystyle y$ , sino que la relación entre $\displaystyle x$ e $\displaystyle y$ viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.

Función explícita $\displaystyle y=f(x)$ , por ejemplo $\displaystyle y=\sqrt{x}$
Función implícita $\displaystyle f(x,y)=0$ , por ejemplo $\displaystyle -x+y^2=0$

Una vez aclarado este concepto, podemos hablar de las derivadas de las funciones implícitas.

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Derivadas de funciones implícitas

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar $\displaystyle y$ . Basta derivar tanto el miembro derecho como el izquierdo de la igualdad con respecto a la misma variable, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

$\displaystyle \frac{d}{dx}x=x'=1$

$\displaystyle\frac{dy}{dx}=y'$

$\displaystyle \frac{d}{dx}f(y(x)))=f'(y(x))y'(x)$

Ejemplos de derivación

1Derivar a la ecuación en su forma implícita

$\displaystyle 6x-2y=0$

Solución:

$\displaystyle \frac{d}{dx}(6x-2y)=\frac{d}{dx}0 \\ 6\frac{d}{dx}x-2\frac{d}{dx}y =0 \\ 6-2y=0 \\ 6=2y' \\ y' =3}$

2Derivar a la ecuación en su forma implícita

$\displaystyle x^2+y^2-7=0$

Solución:

$\displaystyle 2x+2yy' =0 \\ 2yy' =-2x \\ y' =\frac{-2x}{2y} \\ y'=-\frac{x}{y}}$

Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo, veamos:

Si tenemos la estructura

$\displaystyle F_x+F_y=0$

al derivar de manera implícita

$\displaystyle F_x^{'}+F_y^{'}y'=0$

y al despejar $\displaystyle y'$ llegamos a la siguiente fórmula

$\displaystyle y'=-\frac{F_x^{'}}{F_y^{'}}$

3Derivar a la ecuación en su forma implícita

$\displaystyle\sec^2x+\csc^2y=0$

Solución:

$\displaystyle y'=-\frac{2\sec x\sec x\tan x}{-2\csc y\csc y\cot y}= \frac{\sec^2 x\tan x}{\csc^2y\cot y}}$

4Derivar a la ecuación en su forma implícita

$x^{2}y-xy^{2}+y^{2}=7$

Solución:

$x^{2}y-xy^{2}+y^{2}=7$

$2xy+x^{2}y'-(y^{2}+2xyy') + 2yy'=0$

$2xy+x^{2}y'-y^{2}-2xyy' + 2yy'=0$

$x^{2}y'-2xyy' + 2yy'=-2xy + y^{2}$

$y'(x^{2}-2xy + 2y)=y^{2}-2xy$

$\displaystyle y'= \frac{y^{2}-2xy}{x^{2}-2xy + 2y}$

5Derivar a la ecuación en su forma implícita

$\displaystyle x^2\sin (x+y)-5ye^x=3$

Solución:

Aquí no aplica la fórmula mencionada ya que ambos sumandos dependen tanto de $\displaystyle x$ como de $\displaystyle y$ , significa que debemos derivar como la forma usual

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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alberto

Abril 2022

muy aclaratorias las explicaciones, gracias

Ana Acosta

Noviembre 2021

Me podrían ayudar con esta porfavor
3senx cosa y = 6x²y

Milton Vargas

Noviembre 2021

Buenas noches me pueden ayudar con este ejercicio (x^(2 )+y^3)/y-4x^2 y =4

camila

Junio 2021

derivada implícita (dy)/(dx), x+e^y=ln(x)+ln(y) ayuda por favoor

Mayo 2021

todo muy bien, pero aún tengo la duda de cómo resolver este ejercicio de derivada implícita: 1+sin(xy)=x/y si me pueden ayudar agradecería

camilo

Mayo 2021

encuentre dy dx por medio de derivacion implicita y calcular la derivada en el punto indicado tan(x+y)=x (0,0)

Jasmin

Abril 2021

Hola,
Muchas gracias recordé el tema con facilidad gracias a sus ejemplos pero el ejercicio 3 aun me quedaron algunas dudas de como resolverlo, espero pueda ayudarme.

Tomás Felipe Beltrán Pulido

Septiembre 2020

Entiendo cómo derivar funciones implícitamente. Pero no entiendo cómo han de ser interpretadas, o qué diferencia hay si decido más bien despejar una variable y derivar la función de modo explícito. Si me pueden ayudar, lo agradecería mucho.

Alexa

Junio 2021

Me podría ayudar a saber cual es la derivada de x^2=y^2+5xy

Gaspar Leon

Noviembre 2020

Hola,

sucede que las ecuaciones generan gráficas que no siempre corresponden a una función; en varios casos las ecuaciones dan lugar a dos o más funciones (al despejar por ejemplo $y$ ), entonces si deseas obtener la derivada, tienes que realizar la derivada de todas las funciones (estas son explícitas). La derivada implícita permite encontrar la derivada de una ecuación sin necesidad de despejar para una sola variable y derivar cada uno de los resultados.

El ejemplo típico es la ecuación del círculo $x^2 + y^2 = 1$ cuya gráfica no corresponde a una función, por lo que al despejar la variable $y$ se obtienen dos funciones (parte superior e inferior) $y = \sqrt{1-x^2}; \ y = -\sqrt{1-x^2}$ y para calcular la derivada se tienen que derivar ambas funciones, mientras que con la derivación implícita solamente se deriva la ecuación.

Espero haber sido de ayuda.
un saludo.

Derivación implícita

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