Funciones implícitas

 

Una correspondencia o una función está definida en forma implícita, cuando no aparece despejada la variable \displaystyle y , sino que la relación entre \displaystyle x e \displaystyle y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.

  • Función explícita \displaystyle y=f(x) , por ejemplo \displaystyle y=\sqrt{x}
  • Función implícita \displaystyle f(x,y)=0 , por ejemplo \displaystyle -x+y^2=0

 

Una vez aclarado este concepto, podemos hablar de las derivadas de las  funciones implícitas.

 

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Vamos

Derivadas de funciones implícitas

 

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar \displaystyle y . Basta derivar tanto el miembro derecho como el izquierdo de la igualdad con respecto a la misma variable, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

 

  • \displaystyle \frac{d}{dx}x=x'=1

 

  • \displaystyle\frac{dy}{dx}=y'

 

  • \displaystyle \frac{d}{dx}f(y(x)))=f'(y(x))y'(x)

 

Ejemplos de derivación

 

1Derivar a la ecuación en su forma implícita

 

\displaystyle 6x-2y=0

 

Solución:

 

\displaystyle  \frac{d}{dx}(6x-2y)=\frac{d}{dx}0 \\ 6\frac{d}{dx}x-2\frac{d}{dx}y =0 \\ 6-2y=0 \\ 6=2y' \\  y' =3}

 

2Derivar a la ecuación en su forma implícita

 

\displaystyle x^2+y^2-7=0

 

Solución:

 

\displaystyle 2x+2yy' =0 \\ 2yy' =-2x \\ y' =\frac{-2x}{2y} \\ y'=-\frac{x}{y}}

 

Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo, veamos:

 

Si tenemos la estructura

 

\displaystyle F_x+F_y=0

 

al derivar de manera implícita

 

\displaystyle F_x^{'}+F_y^{'}y'=0

 

y al despejar \displaystyle y' llegamos a la siguiente fórmula

 

\displaystyle y'=-\frac{F_x^{'}}{F_y^{'}}

 

3Derivar a la ecuación en su forma implícita

 

\displaystyle\sec^2x+\csc^2y=0

 

Solución:

 

\displaystyle y'=-\frac{2\sec x\sec x\tan x}{-2\csc y\csc y\cot y}= \frac{\sec^2 x\tan x}{\csc^2y\cot y}}

4Derivar a la ecuación en su forma implícita

 

x^{2}y-xy^{2}+y^{2}=7

 

Solución:

 

x^{2}y-xy^{2}+y^{2}=7

2xy+x^{2}y'-(y^{2}+2xyy') + 2yy'=0

2xy+x^{2}y'-y^{2}-2xyy' + 2yy'=0

x^{2}y'-2xyy' + 2yy'=-2xy + y^{2}

y'(x^{2}-2xy + 2y)=y^{2}-2xy

\displaystyle y'= \frac{y^{2}-2xy}{x^{2}-2xy + 2y}

 

5Derivar a la ecuación en su forma implícita

 

\displaystyle x^2\sin (x+y)-5ye^x=3

Solución:

 

Aquí no aplica la fórmula mencionada ya que ambos sumandos dependen tanto de \displaystyle x como de \displaystyle y , significa que debemos derivar como la forma usual

 

derivacion implicita solucion ejemplo 04
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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗