Name: Derivacion implicita
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Funciones implícitas
Derivadas de funciones implícitas
Ejemplos de derivación

Funciones implícitas

Una correspondencia o una función está definida en forma implícita, cuando no aparece despejada la variable $\displaystyle y$ , sino que la relación entre $\displaystyle x$ e $\displaystyle y$ viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.

Función explícita $\displaystyle y=f(x)$ , por ejemplo $\displaystyle y=\sqrt{x}$
Función implícita $\displaystyle f(x,y)=0$ , por ejemplo $\displaystyle -x+y^2=0$

Una vez aclarado este concepto, podemos hablar de las derivadas de las funciones implícitas.

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Derivadas de funciones implícitas

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar $\displaystyle y$ . Basta derivar tanto el miembro derecho como el izquierdo de la igualdad con respecto a la misma variable, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

$\displaystyle \frac{d}{dx}x=x'=1$

$\displaystyle\frac{dy}{dx}=y'$

$\displaystyle \frac{d}{dx}f(y(x)))=f'(y(x))y'(x)$

Ejemplos de derivación

1Derivar a la ecuación en su forma implícita

$\displaystyle 6x-2y=0$

Solución:

$\displaystyle \frac{d}{dx}(6x-2y)=\frac{d}{dx}0 \\ 6\frac{d}{dx}x-2\frac{d}{dx}y =0 \\ 6-2y=0 \\ 6=2y' \\ y' =3}$

2Derivar a la ecuación en su forma implícita

$\displaystyle x^2+y^2-7=0$

Solución:

$\displaystyle 2x+2yy' =0 \\ 2yy' =-2x \\ y' =\frac{-2x}{2y} \\ y'=-\frac{x}{y}}$

Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo, veamos:

Si tenemos la estructura

$\displaystyle F_x+F_y=0$

al derivar de manera implícita

$\displaystyle F_x^{'}+F_y^{'}y'=0$

y al despejar $\displaystyle y'$ llegamos a la siguiente fórmula

$\displaystyle y'=-\frac{F_x^{'}}{F_y^{'}}$

3Derivar a la ecuación en su forma implícita

$\displaystyle\sec^2x+\csc^2y=0$

Solución:

$\displaystyle y'=-\frac{2\sec x\sec x\tan x}{-2\csc y\csc y\cot y}= \frac{\sec^2 x\tan x}{\csc^2y\cot y}}$

4Derivar a la ecuación en su forma implícita

$x^{2}y-xy^{2}+y^{2}=7$

Solución:

$x^{2}y-xy^{2}+y^{2}=7$

$2xy+x^{2}y'-(y^{2}+2xyy') + 2yy'=0$

$2xy+x^{2}y'-y^{2}-2xyy' + 2yy'=0$

$x^{2}y'-2xyy' + 2yy'=-2xy + y^{2}$

$y'(x^{2}-2xy + 2y)=y^{2}-2xy$

$\displaystyle y'= \frac{y^{2}-2xy}{x^{2}-2xy + 2y}$

5Derivar a la ecuación en su forma implícita

$\displaystyle x^2\sin (x+y)-5ye^x=3$

Solución:

Aquí no aplica la fórmula mencionada ya que ambos sumandos dependen tanto de $\displaystyle x$ como de $\displaystyle y$ , significa que debemos derivar como la forma usual

$derivacion implicita solucion ejemplo 04$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Anarcoiris
Invité

23 Nov.

Hola!
Muchas gracias por tu tiempo, andaba por aquí repasando un poco y está muy bien el contenido, me ha refrescado el tema en segundos. La única duda que me surge (puedo imaginarme el porqué) es de dónde sale que y’ = -Fx/Fy
y además el qué representan los superíndices.
Un cordial saludo!

Gaspar Leon
Editor

11 Jun.

Hola,

F_x representa una función que dependen únicamente de x, mientras que F_y representa una función que depende solamente de y.
Si la función implícita puede expresarse como f(x,y)= F_x + F_y=0, entonces al calcular la derivada respecto a x se tiene
F’_x + F’_y*y’= 0

Despejamos la derivada de y con respecto a x
y’=-F’_x/F’_y

Un saludo

Derivación implícita

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Resumen

Resumen de derivadas

Máximos, mínimos y puntos de inflexión

Rolle, Lagrande, Cauchy y Regla de L’Hôpital

Teoría

Teorema de Bolzano

Tasa de variacion media

Concepto de derivada

Interpretación física de la derivada

Función derivada

Derivadas laterales

Derivabilidad y continuidad

Derivadas inmediatas

Derivadas de sumas, productos y cocientes

Derivada de las funciones trigonometricas

Derivacion de una composicion de funciones

Derivada de la función potencial-exponencial

Derivadas sucesivas

Ecuacion de la recta tangente

Extremos relativos o locales

¿Qué son los Puntos de inflexion?

Teorema de Rolle: Explicación

Teorema de Lagrange o del valor medio

Teorema del valor medio generalizado – Cauchy

Derivabilidad

Estudio de intervalos de crecimiento y decrecimiento

Ejemplos de derivadas de la funcion exponencial

Derivadas de las funciones trigonometricas inversas

Ecuacion de la recta normal

¿Cuales son las aplicaciones fisicas de la derivada?

¿Como derivar la funcion inversa?

Interpretacion geometrica de la derivada

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Derivar una funcion logaritmica

¿Que es la diferencial de una funcion?

Fórmulas

Derivada de una suma

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Interpretación de la derivada

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