Funciones implícitas

 

Una correspondencia o una función está definida en forma implícita, cuando no aparece despejada la variable \displaystyle y , sino que la relación entre \displaystyle x e \displaystyle y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.

  • Función explícita \displaystyle y=f(x) , por ejemplo \displaystyle y=\sqrt{x}
  • Función implícita \displaystyle f(x,y)=0 , por ejemplo \displaystyle -x+y^2=0

 

Una vez aclarado este concepto, podemos hablar de las derivadas de las  funciones implícitas.

 

Superprof

Derivadas de funciones implícitas

 

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar \displaystyle y . Basta derivar tanto el miembro derecho como el izquierdo de la igualdad con respecto a la misma variable, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

 

  • \displaystyle \frac{d}{dx}x=x'=1

 

  • \displaystyle\frac{dy}{dx}=y'

 

  • \displaystyle \frac{d}{dx}f(y(x)))=f'(y(x))y'(x)

 

Ejemplos de derivación

 

1Derivar a la ecuación en su forma implícita

 

\displaystyle 6x-2y=0

 

Solución:

 

\displaystyle  \frac{d}{dx}(6x-2y)=\frac{d}{dx}0 \\ 6\frac{d}{dx}x-2\frac{d}{dx}y =0 \\ 6-2y=0 \\ 6=2y' \\  y' =3}

 

2Derivar a la ecuación en su forma implícita

 

\displaystyle x^2+y^2-7=0

 

Solución:

 

\displaystyle 2x+2yy' =0 \\ 2yy' =-2x \\ y' =\frac{-2x}{2y} \\ y'=-\frac{x}{y}}

 

Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo, veamos:

 

Si tenemos la estructura

 

\displaystyle F_x+F_y=0

 

al derivar de manera implícita

 

\displaystyle F_x^{'}+F_y^{'}y'=0

 

y al despejar \displaystyle y' llegamos a la siguiente fórmula

 

\displaystyle y'=-\frac{F_x^{'}}{F_y^{'}}

 

3Derivar a la ecuación en su forma implícita

 

\displaystyle\sec^2x+\csc^2y=0

 

Solución:

 

\displaystyle y'=-\frac{2\sec x\sec x\tan x}{-2\csc y\csc y\cot y}= \frac{\sec^2 x\tan x}{\csc^2y\cot y}}

4Derivar a la ecuación en su forma implícita

 

x^{2}y-xy^{2}+y^{2}=7

 

Solución:

 

x^{2}y-xy^{2}+y^{2}=7

2xy+x^{2}y'-(y^{2}+2xyy') + 2yy'=0

2xy+x^{2}y'-y^{2}-2xyy' + 2yy'=0

x^{2}y'-2xyy' + 2yy'=-2xy + y^{2}

y'(x^{2}-2xy + 2y)=y^{2}-2xy

\displaystyle y'= \frac{y^{2}-2xy}{x^{2}-2xy + 2y}

 

5Derivar a la ecuación en su forma implícita

 

\displaystyle x^2\sin (x+y)-5ye^x=3

Solución:

 

Aquí no aplica la fórmula mencionada ya que ambos sumandos dependen tanto de \displaystyle x como de \displaystyle y , significa que debemos derivar como la forma usual

 

derivacion implicita solucion ejemplo 04

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Anarcoiris
Anarcoiris
Invité
23 Nov.

Hola!
Muchas gracias por tu tiempo, andaba por aquí repasando un poco y está muy bien el contenido, me ha refrescado el tema en segundos. La única duda que me surge (puedo imaginarme el porqué) es de dónde sale que y’ = -Fx/Fy
y además el qué representan los superíndices.
Un cordial saludo!

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
11 Jun.

Hola,
 
Fx representa una función que dependen únicamente de x, mientras que Fy representa una función que depende solamente de y.
Si la función implícita puede expresarse como f(x,y)= Fx + Fy=0, entonces al calcular la derivada respecto a x se tiene
F’x + F’y*y’= 0
 
Despejamos la derivada de y con respecto a x
y’=-F’x/F’y
 
Un saludo