El teorema de Cauchy o teorema del valor medio generalizado dice que:
Si 
y 
son funciones continuas en 
y derivables en 
, entonces existe un punto 
tal que:
con 
.
El valor del primer miembro es constante, por lo que:
La interpretación geométrica del teorema de Cauchy nos dice que existen dos puntos 
y 
de las curvas 
y 
, tales que la pendiente de la tangente a la curva en el primer punto es 
veces la pendiente de la tangente a la curva en el segundo punto.
Al teorema de Cauchy también se le suele denominar teorema del valor medio generalizado.
Ejemplo: Analizar si el teorema de Cauchy es aplicable en el intervalo 
a las funciones:
En caso afirmativo, aplicarlo.
1 Las funciones y son continuas y derivables en 
por ser polinómincas, luego, en particular, son continuas en y derivables en 
.
2 Además se cumple que 
.
Por lo tanto se verifica el teorema de Cauchy:
3 Aplicamos el teorema de Cauchy, para esto calculamos las derivadas de ambas funciones
Evaluamos en la fórmula
Las raíces son 
y 
Como 
, concluimos que el valor buscado es 
Ejemplo:Analizar si el teorema de Cauchy es aplicable en el intervalo 
a las funciones:
En caso afirmativo, aplicarlo.
1 Las funciones 
y 
son continuas y derivables en toda la recta real y en particular son continuas en el intervalo y derivables en 
2 Además se cumple que 
.
Por lo tanto se verifica el teorema de Cauchy:
3 Aplicamos el teorema de Cauchy, para esto calculamos las derivadas de ambas funciones
Evaluamos en la fórmula
Las raíces son 
Como 
, concluimos que el valor buscado es 
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La descripcion es erronea donde da la derivada de arcocotangente, ya que dice derivada de arcotangete, se comieron el co, lo que puede llevar a confunciones, como en mi caso que pense que era la derivada de la inversa de tangente, cuando era la derivada de la inversa de cotangente.
Hola entendemos la confusión, pero como sabes en cada lugar toman la notación en forma diferente, en este caso se tomo arccot(x) donde se repite la c para diferenciar de arctan(x).
me pueden ayudar encontrar la derivada de : y=7 elevado a la 4 + e elevado a la x-4 – ln X + 100
Medio tarde me parece mi respuesta, pero simplemente tenes que derivar cada termino independientemente:
7^4=(7.4)^3
e^x-4=e^x-4 (por formula)
lnx=1/x
100=0 (Derivando una constante en terminos de x)
Excelente contenido. Creo es posible mejorar el contenido para que sea más didáctico con más ejemplos, partiendo de lo elemental a lo complejo, para que el texto pueda ser más entendible para estudiantes de secundaria en Costa Rica.
Excelente artículo y muy dinámico.
Agradecemos tu comentario, la verdad estamos trabajando mucho para lograr tener las mejores explicaciones para que sea mas entendible al publico y para ello lo que ustedes recomienden nos ayuda en gran forma, esperamos que en un futuro seamos mejores siguiendo sus sugerencias, otra vez gracias.
Hola: El últipo ejercicio de aplicación me parece que es incorrecto ya que no está obteniendo la derivada del volumen del cono
Hola si te refieres al triángulo que gira, si se derivo el volumen, si estoy equivocado por favor indícamelo.