El teorema de Cauchy o teorema del valor medio generalizado dice que:

 

Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), entonces existe un punto c  (a, b) tal que:

 

funcion continua

 

El valor del primer miembro es constante:

 

valor del primer miembro

 

La interpretación geométrica del teorema de Cauchy nos dice que existen dos puntos (c, f(c)) y (c, g(c)) de las curvas f(x) y g(x), tales que la pendiente de la tangente a la curva f(x) en el primer punto es k veces la pendiente de la tangente a la curva g(x) en el segundo punto.

 

Al teorema de Cauchy también se le suele denominar teorema del valor medio generalizado.

 

Ejemplos

 

 1 Analizar si el teorema de Cauchy es aplicable en el intervalo [1, 4] a las funciones:

 

f(x) = x² − 2x + 3 y g(x) = x³ − 7x² + 20x − 5.

 

En caso afirmativo, aplicarlo.

 

Las funciones f(x) y g(x) son continuas y derivables en por ser polinómincas, luego, en particular, son continuas en [1, 4] y derivables en (1, 4).

 

Además se cumple que g(1) ≠ g(4).

 

Por lo tanto se verifica el teorema de Cauchy:

 

 

 

 

 

 

 

 

 2 Analizar si el el teorema de Cauchy es aplicable a las funciones f(x) = sen x y g(x) = cos x en el intervalo [0, π/2].

 

Las funciones f(x) = sen x y g(x) = cos x son continuas y derivables en toda la recta real.

 

Y en particular son continuas en el intervalo [0, π/2] y derivables en (0, π/2).

 

g(π/2) ≠ g(0)

 

Por lo tanto podemos aplicar el teorema de Cauchy:

 

 

 

 

g' (c) ≠ 0 −sen(π/4) ≠ 0.

¿Necesitas un profesor de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,00/5 - 5 vote(s)
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗