El teorema de Cauchy o teorema del valor medio generalizado dice que:
Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), entonces existe un punto c (a, b) tal que:
El valor del primer miembro es constante:
La interpretación geométrica del teorema de Cauchy nos dice que existen dos puntos (c, f(c)) y (c, g(c)) de las curvas f(x) y g(x), tales que la pendiente de la tangente a la curva f(x) en el primer punto es k veces la pendiente de la tangente a la curva g(x) en el segundo punto.
Al teorema de Cauchy también se le suele denominar teorema del valor medio generalizado.
Ejemplos
1 Analizar si el teorema de Cauchy es aplicable en el intervalo [1, 4] a las funciones:
f(x) = x² − 2x + 3 y g(x) = x³ − 7x² + 20x − 5.
En caso afirmativo, aplicarlo.
Las funciones f(x) y g(x) son continuas y derivables en ℛ por ser polinómincas, luego, en particular, son continuas en [1, 4] y derivables en (1, 4).
Además se cumple que g(1) ≠ g(4).
Por lo tanto se verifica el teorema de Cauchy:
2 Analizar si el el teorema de Cauchy es aplicable a las funciones f(x) = sen x y g(x) = cos x en el intervalo [0, π/2].
Las funciones f(x) = sen x y g(x) = cos x son continuas y derivables en toda la recta real.
Y en particular son continuas en el intervalo [0, π/2] y derivables en (0, π/2).
g(π/2) ≠ g(0)
Por lo tanto podemos aplicar el teorema de Cauchy:
g' (c) ≠ 0 −sen(π/4) ≠ 0.
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