El teorema de Cauchy o teorema del valor medio generalizado dice que:
Si y
son funciones continuas en
y derivables en
, entonces existe un punto
tal que:
con .
El valor del primer miembro es constante, por lo que:
La interpretación geométrica del teorema de Cauchy nos dice que existen dos puntos y
de las curvas
y
, tales que la pendiente de la tangente a la curva
en el primer punto es
veces la pendiente de la tangente a la curva
en el segundo punto.
Al teorema de Cauchy también se le suele denominar teorema del valor medio generalizado.
Ejemplo: Analizar si el teorema de Cauchy es aplicable en el intervalo a las funciones:
En caso afirmativo, aplicarlo.
1 Las funciones y
son continuas y derivables en
por ser polinómincas, luego, en particular, son continuas en
y derivables en
.
2 Además se cumple que .
Por lo tanto se verifica el teorema de Cauchy:
3 Aplicamos el teorema de Cauchy, para esto calculamos las derivadas de ambas funciones
Evaluamos en la fórmula
Las raíces son y
Como , concluimos que el valor buscado es
Ejemplo:Analizar si el teorema de Cauchy es aplicable en el intervalo a las funciones:
En caso afirmativo, aplicarlo.
1 Las funciones y
son continuas y derivables en toda la recta real y en particular son continuas en el intervalo
y derivables en
2 Además se cumple que .
Por lo tanto se verifica el teorema de Cauchy:
3 Aplicamos el teorema de Cauchy, para esto calculamos las derivadas de ambas funciones
Evaluamos en la fórmula
Las raíces son
Como , concluimos que el valor buscado es
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