El teorema de Cauchy o teorema del valor medio generalizado dice que:

 

Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), entonces existe un punto c \in (a, b) tal que:

 

\cfrac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \cfrac{f'(c)}{g'(c)}

 

con g(b) \neq g(a); \ g'(c) \neq 0 .

 

El valor del primer miembro es constante, por lo que:

 

k = \cfrac{f'(c)}{g'(c)} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ f'(c) = k \cdot g'(c)

 

La interpretación geométrica del teorema de Cauchy nos dice que existen dos puntos (c, f(c)) y (c, g(c)) de las curvas f(x) y g(x), tales que la pendiente de la tangente a la curva f(x) en el primer punto es k veces la pendiente de la tangente a la curva g(x) en el segundo punto.

 

Al teorema de Cauchy también se le suele denominar teorema del valor medio generalizado.

 

Ejemplo: Analizar si el teorema de Cauchy es aplicable en el intervalo [1, 4] a las funciones:

 

f(x) = x^2 - 2x + 3; \ g(x) = x^3 - 7x^2 + 20x - 5

 

En caso afirmativo, aplicarlo.

 

1 Las funciones f(x) y g(x) son continuas y derivables en \mathbb{R} por ser polinómincas, luego, en particular, son continuas en [1, 4] y derivables en (1, 4).

 

2 Además se cumple que g(1) \neq g(4).

 

Por lo tanto se verifica el teorema de Cauchy:

 

3 Aplicamos el teorema de Cauchy, para esto calculamos las derivadas de ambas funciones

 

f'(x) = 2x - 2; \ g'(x) = 3x^2 - 14x + 20

 

Evaluamos en la fórmula

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{f(4) - f(1)}{g(4) - g(1)} & = & \cfrac{f'(c)}{g'(c)} \\\\ \cfrac{11 -2}{27 - 9} & = & \cfrac{2c - 2}{3c^2 - 14c + 20} \\\\ c^2 - 6c + 8 & = & 0 \end{array}

 

Las raíces son c = 2 \in (1, 4) y c = 4 \notin (1, 4)

 

Como g'(2) \neq 0, concluimos que el valor buscado es c = 2

 

Ejemplo:Analizar si el teorema de Cauchy es aplicable en el intervalo [0, \pi/2] a las funciones:

 

f(x) = sen \, x; \ g(x) = cos \, x

 

En caso afirmativo, aplicarlo.

 

1 Las funciones f(x) = sen \, x y g(x) = cos \, x son continuas y derivables en toda la recta real y en particular son continuas en el intervalo [0, \pi/2] y derivables en (0, \pi/2)

 

2 Además se cumple que g(\pi/2) \neq g(0).

 

Por lo tanto se verifica el teorema de Cauchy:

 

3 Aplicamos el teorema de Cauchy, para esto calculamos las derivadas de ambas funciones

 

f'(x) = cos \, x; \ g'(x) = -sen \, x

 

Evaluamos en la fórmula

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{f(\pi/2) - f(0)}{g(\pi/2) - g(0)} & = & \cfrac{f'(c)}{g'(c)} \\\\ \cfrac{1 -0}{0 - 1} & = & \cfrac{cos \, c}{-sen \, c} \\\\ \cfrac{sen \, c}{cos \, c} & = & 1 \\\\ tg\, c & = & 1 \end{array}

 

Las raíces son c = \pi/4  \in (0, \pi/2)

 

Como g'(\pi/4) \neq 0, concluimos que el valor buscado es c = \pi/4

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗