Ejercicios para practicar la definición de continuidad y la de derivada  

1 Calcula el valor de la derivada f(x)=\frac{x}{x-1} en x=2.

Recordemos que la derivada por definición de f(x) es la siguiente:

    \begin{equation*} f'(x)=\lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{(x+h)-f(x)}{h}\right] \end{equation*}

Sustituyendo los valores tenemos la siguiente expresión:

    \begin{equation*} f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{x+h}{x+h-1}-\frac{x}{x-1}}{h} \end{equation*}

Desarrollamos, sumando la fracción superior:

    \begin{equation*} f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{x^2-x+hx-h-x^2-hx+x}{(x+h-1)(x-1)}}{h} \end{equation*}

Cancelamos términos:

    \begin{equation*} f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{-h}{(x+h-1)(x-1)}}{h} \end{equation*}

Simplificamos la fracción:

    \begin{equation*} f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{-h}{(x+h-1)(x-1)h} \end{equation*}

    \begin{equation*} f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{-1}{(x+h-1)(x-1)} \end{equation*}

Finalmente calculamos el límite:

    \begin{equation*} f^{\prime}(x)=  \frac{-1}{(x-1)(x-1)}=\frac{-1}{(x-1)^2} \end{equation*}

    \begin{equation*}f^{\prime}(x)= \frac{-1}{(x-1)(x-1)}=\frac{-1}{(x-1)^2} \end{equation*}

Evaluamos en x=2

    \begin{equation*}f^{\prime}(2)=\frac{-1}{(2-1)^2}=-1\end{equation*}

2 Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función p(t) = 5000 + 100t^2, siendo t el tiempo medido en horas. Se pide:
a La velocidad media de crecimiento.

b La velocidad instantánea de crecimiento.

c La velocidad de crecimiento instantáneo para  t_0 = 10 horas.

aLa velocidad media de crecimiento.

Recordemos que la ecuación para calcular la velocidad media es la siguiente:

    \begin{equation*}v_m=\frac{p(t+h)-p(t)}{h}\end{equation*}

Sustituyendo obtenemos:

    \begin{equation*}v_m=\frac{5000+100(t+h)^2-5000-100t^2}{h}=\frac{100(t^2+2ht+h^2)-100t^2}{h}\end{equation*}

    \begin{equation*}v_m=200t-100h\end{equation*}

bLa velocidad instantánea de crecimiento.

Recordemos que la velocidad instantánea es la derivada de la función, en este caso necesitamos calcular p'(x):

    \begin{equation*} p'(x)=\lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{5000+100(t+h)^2-5000-100t^2}{h}=200t\right] \end{equation*}

c La velocidad de crecimiento instantáneo para t_0 = 10 horas.

Como p'(t)=200t, para calcular la velocidad instantánea sustituimos:

    \begin{equation*}p'(10)=200(10)=2000\end{equation*}

3 Hallar los puntos en que y = 250 - |x^2 -1| no tiene derivada.

Primero, transformamos la función en una función a trozos:

Calculamos para que valores de x se satisface que y=0:

    \begin{equation*}x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1\end{equation*}


De esta manera, podemos concluir que la función se comporta por intervalos (considerando un valor para cada intervalo y observando el signo de la imagen):

    \begin{equation*} \begin{array}{cccc} x & (-\infty,-1) & (-1,1) & (1, \infty) \\ f(x) & + & - & + \end{array} \end{equation*}

Así, podemos reescribir la función de la siguiente manera:

    \begin{equation*} f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 250-\left(x^{2}-1\right) & \text { si } & x<-1 \\ 250+\left(x^{2}-1\right) & \text { si } & -1 \leq x<1 \\ 250-\left(x^{2}-1\right) & \text { si } & x \geq 1 \end{array}\right. \end{equation*}

Estudiamos la continuidad en x = -1 y en x = 1

Para lo anterior, calculamos el valor de f(-1), f(1) y sus límites por la derecha y la izquierda:

    \begin{equation*} \begin{aligned} &f(-1)=250+\left(1^{2}-1\right)=250 \\ &\lim _{x \rightarrow 1^{-}} 250-\left(x^{2}-1\right)=250 \\ &\lim _{x \rightarrow 1^{+}} 250+\left(x^{2}-1\right)=250 \\ &f(1)=250-\left(1^{2}-1\right)=250 \\ &\lim _{x \rightarrow 1^{-}} 250+\left(x^{2}-1\right)=250 \\ &\lim _{x \rightarrow 1^{+}} 250-\left(x^{2}-1\right)=250 \end{aligned} \end{equation*}

Como los valores coinciden en ambos casos, entonces la función es continua en toda \mathbb{R}.

Ahora, estudiamos la derivabilidad en x = -1 y en x = 1:

    \begin{equation*} f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc} -2x & \text { si } & x<-1 \\ 2x & \text { si } & -1 \leq x<1 \\ -2x & \text { si } & x \geq 1 \end{array}\right. \end{equation*}

Calculamos el límite por la izquierda y derecha de f'(-1):

    \begin{equation*}f'(-1^-)=2\end{equation*}

    \begin{equation*}f'(-1^+)=-2\end{equation*}

Las derivadas laterales de la función no coinciden por lo cual la función no será derivable en x=-1.

Calculamos el límite por la izquierda y derecha de f'(1):

    \begin{equation*}f'(1^-)=2\end{equation*}

    \begin{equation*}f'(1^+)=-2\end{equation*}

Las derivadas laterales de la función no coinciden por lo cual la función no será derivable en x=1.

4 Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:

    \begin{equation*} f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} x^{2}+2 & \text { si } & x \leq 0 \\ \sqrt{a x+b} & \text { si } & 0<x \leq 2 \\ \frac{-x}{2 \sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{2}} & \text { si } & x>2 \end{array}\right. \end{equation*}

    \begin{equation*} f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} x^{2}+2 & \text { si } & x \leq 0 \\ \sqrt{a x+b} & \text { si } & 0<x \leq 2 \\ \frac{-x}{2 \sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{2}} & \text { si } & x>2 \end{array}\right. \end{equation*}

Primero, analicemos la continuidad

En x=0 tenemos:

Calculamos el valor de la imagen en x=0:

    \begin{equation*}f(0)=2\end{equation*}

Límite lateral izquierdo:

    \begin{equation*}\lim_{x \to 0^- }(x^2+2)=2\end{equation*}

Límite lateral derecho:

    \begin{equation*}\lim_{x \to 0^- }\sqrt{ax+b}=\sqrt{b}\end{equation*}

Para que la función sea continua se debe satisfacer:

    \begin{equation*}\sqrt{b}=2\Rightarrow b=4\end{equation*}

Después, analicemos la continuidad en x=2:

El valor de la imagen de la función es el siguiente:

    \begin{equation*}f(2)=\sqrt{2a+4}\end{equation*}

Límite lateral izquierdo:

    \begin{equation*}\lim_{x \to 2^- }\sqrt{2a+b}=\sqrt{2a+4}\end{equation*}

Límite lateral derecho:

    \begin{equation*}\lim_{x \to 2^+}\frac{-x}{2 \sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{-2}{2 \sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\end{equation*}

Para que la función sea continua en x=2 se debe satisfacer:

    \begin{equation*}\sqrt{2a+4}=\sqrt{2}\Rightarrow  a=-1\end{equation*}

Así bien, si a=-1 y b=4 la función es continua en \mathbb{R}
Después estudiemos la derivabilidad:

    \begin{equation*} f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 2 x & \text { si } & x<0 \\ \frac{1}{2 \sqrt{-x+4}} & \text { si } & 0<x<2 \\ \frac{-1}{2 \sqrt{2}} & \text { si } & x>2 \end{array}\right. \end{equation*}

En  x =0

Tenemos que el límite lateral izquierdo de la derivada es f'(0^-)=0 mientras que en  que el límite lateral derecho de la derivada es f'(0^+)=-\frac{1}{4}. Por lo cual, la función no es derivable en x=0.

En  x =2:

Tenemos que el límite lateral izquierdo de la derivada es f'(2^-)=-\frac{1}{2\sqrt{2}} y el límite lateral derecho de la derivada es f'(2^+)=-\frac{1}{2\sqrt{2}}. Como los límites coinciden entonces la función es derivable en x=2.

5Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función f(x) = b^2x^3+bx^2+3x+9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas.

Para que sean paralelas se tiene que cumplir que las derivadas en x = 1 y x = 2 sean iguales. Es decir_

(1)   \begin{equation*}f'(1) = f'(2)\end{equation*}

.

Calculamos la derivada:

    \begin{equation*}f'(x) = 3b^2x^2+2bx+3\end{equation*}

Y después, calculamos el valor de la derivada en f'(1) y f'(2):

    \begin{equation*}f'(1) = 3b^2(1)^2+2b(1)+3=3b^2+2b+3\end{equation*}

.

    \begin{equation*}f'(2) = 3b^2(2)^2+2b(2)+3=12b^2+4b+3\end{equation*}

Sustituimos en la ecuación 1 y tenemos la siguiente igualdad:

    \begin{equation*} 3b^2+2b+3=12b^2+4b+3\end{equation*}

Simplificamos y resolvemos:

    \begin{equation*} 9b^2+2b=0\Rightarrow b=0 \;\textup{o bien} \; b=-\frac{2}{9}\end{equation*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗