En este artículo veremos cómo derivar la suma (o resta) de dos funciones.

 

Supongamos que tenemos una función f(x) la cual la podemos escribir como la suma de dos funciones f_1(x) y f_2(x), esto es

 

\displaystyle f(x) = f_1(x) + f_2(x)

 

entonces tenemos que

 

\displaystyle \frac{df}{dx} = \frac{df_1}{dx} + \frac{df_2}{dx}

 

o bien

 

\displaystyle f'(x) = f'_1(x) + f'_2(x)

 

esto lo podemos ver por medio de la definición de derivada, tenemos que

 

    \begin{align*} f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}\\&= \lim_{h \to 0}\frac{[f_1(x + h) + f_2(x + h)] - [f_1(x) + f_2(x)]}{h}\\&= \lim_{h \to 0}\frac{[f_1(x + h) - f_1(x)] + [f_2(x + h) - f_2(x)]}{h}\\&= \lim_{h \to 0} \frac{f_1(x + h) - f_1(x)}{h}\\&+ \lim_{h \to 0}\frac{f_2(x + h) - f_2(x)}{h}\\&= f_1'(x) + f_2'(x)\end{align*}

 

Análogamente pasa con la resta, esto es, si tenemos que

 

\displaystyle f(x) = f_1(x) - f_2(x)

 

entonces tenemos que

 

\displaystyle \frac{df}{dx} = \frac{df_1}{dx} - \frac{df_2}{dx}

 

o bien

 

\displaystyle f'(x) = f'_1(x) - f'_2(x)

 

la demostración por definición de derivada es análoga a la suma.

 

Veremos algunos ejercicios donde aplicaremos lo aprendido, derivaremos tanto restas como sumas de funciones

 

1 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = \sin(x) + \cos(x)

 

Notemos que tenemos la suma de dos funciones, de \sin(x) y de \cos(x), además sus derivadas son

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)

 

y

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)

 

por lo tanto

 

    \begin{align*} f'(x) &= \frac{d}{dx}\sin(x) + \frac{d}{dx}\cos(x)\\&= \cos(x) + (-\sin(x))\\&= \cos(x) -\sin(x)\\\end{align*}

 

2 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = x^2 - \cos(x)

 

Notemos que tenemos la resta de dos funciones, de x^2 y del \cos(x), además sus derivadas son

 

\displaystyle \frac{d}{dx}x^2 = 2x

 

y

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)

 

por lo tanto

 

    \begin{align*} f'(x) &= \frac{d}{dx}x^2 - \frac{d}{dx}\cos(x)\\&= 2x - (-\sin(x))\\&= 2x + \sin(x)\\\end{align*}

 

3 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = x^7 - \frac{1}{x} + \ln{x}

 

Notemos que tenemos tanto una suma como una resta, en este caso las derivadas de la suma se suman y las de la resta se restan. Las funciones involucradas son x^7, \frac{1}{x} y \ln{x} cuyas derivadas son

 

\displaystyle \frac{d}{dx}x^7 = 7x^6,

 

\displaystyle \frac{d}{dx} \frac{1}{x} = - \frac{1}{x^2}

 

y

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\ln{x} = \frac{1}{x}.

 

Por lo tanto

 

    \begin{align*} f'(x) &= \frac{d}{dx}x^7 - \frac{d}{dx} \frac{1}{x} + \frac{d}{dx}\ln{x} \\&= 7x^6 - (- \frac{1}{x^2}) + \frac{1}{x}\\&= 7x^6 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}\\\end{align*}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗