Marta

21 diciembre 2020

 

En este artículo veremos cómo derivar la suma (o resta) de dos funciones.

 

Supongamos que tenemos una función f(x) la cual la podemos escribir como la suma de dos funciones f_1(x) y f_2(x), esto es

 

\displaystyle f(x) = f_1(x) + f_2(x)

 

entonces tenemos que

 

\displaystyle \frac{df}{dx} = \frac{df_1}{dx} + \frac{df_2}{dx}

 

o bien

 

\displaystyle f'(x) = f'_1(x) + f'_2(x)

 

esto lo podemos ver por medio de la definición de derivada, tenemos que

 

    \begin{align*} f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}\\&= \lim_{h \to 0}\frac{[f_1(x + h) + f_2(x + h)] - [f_1(x) + f_2(x)]}{h}\\&= \lim_{h \to 0}\frac{[f_1(x + h) - f_1(x)] + [f_2(x + h) - f_2(x)]}{h}\\&= \lim_{h \to 0} \frac{f_1(x + h) - f_1(x)}{h}\\&+ \lim_{h \to 0}\frac{f_2(x + h) - f_2(x)}{h}\\&= f_1'(x) + f_2'(x)\end{align*}

 

Análogamente pasa con la resta, esto es, si tenemos que

 

\displaystyle f(x) = f_1(x) - f_2(x)

 

entonces tenemos que

 

\displaystyle \frac{df}{dx} = \frac{df_1}{dx} - \frac{df_2}{dx}

 

o bien

 

\displaystyle f'(x) = f'_1(x) - f'_2(x)

 

la demostración por definición de derivada es análoga a la suma.

 

Veremos algunos ejercicios donde aplicaremos lo aprendido, derivaremos tanto restas como sumas de funciones

 

1 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = \sin(x) + \cos(x)

 

Notemos que tenemos la suma de dos funciones, de \sin(x) y de \cos(x), además sus derivadas son

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)

 

y

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)

 

por lo tanto

 

    \begin{align*} f'(x) &= \frac{d}{dx}\sin(x) + \frac{d}{dx}\cos(x)\\&= \cos(x) + (-\sin(x))\\&= \cos(x) -\sin(x)\\\end{align*}

 

2 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = x^2 - \cos(x)

 

Notemos que tenemos la resta de dos funciones, de x^2 y del \cos(x), además sus derivadas son

 

\displaystyle \frac{d}{dx}x^2 = 2x

 

y

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)

 

por lo tanto

 

    \begin{align*} f'(x) &= \frac{d}{dx}x^2 - \frac{d}{dx}\cos(x)\\&= 2x - (-\sin(x))\\&= 2x + \sin(x)\\\end{align*}

 

3 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = x^7 - \frac{1}{x} + \ln{x}

 

Notemos que tenemos tanto una suma como una resta, en este caso las derivadas de la suma se suman y las de la resta se restan. Las funciones involucradas son x^7, \frac{1}{x} y \ln{x} cuyas derivadas son

 

\displaystyle \frac{d}{dx}x^7 = 7x^6,

 

\displaystyle \frac{d}{dx} \frac{1}{x} = - \frac{1}{x^2}

 

y

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\ln{x} = \frac{1}{x}.

 

Por lo tanto

 

    \begin{align*} f'(x) &= \frac{d}{dx}x^7 - \frac{d}{dx} \frac{1}{x} + \frac{d}{dx}\ln{x} \\&= 7x^6 - (- \frac{1}{x^2}) + \frac{1}{x}\\&= 7x^6 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}\\\end{align*}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗