Función secante

 

A la función secante la definimos como la función trigonométrica que corresponde al inverso multiplicativo de la función trigonométrica coseno, es decir, si  u(x)  es una función en la variable  x,  entonces la secante de  u(x)  es

    $${\rm sec}(u(x))=\cfrac{1}{\cos(u(x))}.$$

 

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Vamos

Ejemplos función secante

 

1 Sea u(x)=x la función identidad, entonces

    $${\rm sec}(x)={\rm sec}(u(x))=\cfrac{1}{\cos(u(x))}=\cfrac{1}{\cos(x)}.$$

2 La secante de la función u(x)=x^{2}+x es

    $${\rm sec}(x^{2}+x)={\rm sec}(u(x))=\cfrac{1}{\cos(u(x))}=\cfrac{1}{\cos(x^{2}+x)}.$$

 

Derivada de la función secante

 

Para obtener la derivada de la secante de una función debemos usar la regla de la derivada de un cociente y luego aplicar un par de identidades trigonométricas. Veamos paso a paso como obtener la derivada de la secante de una función u(x).

 

Paso 1. Aplicar regla para la derivada de un cociente

    $$({\rm sec}(u(x)))'=\left(\cfrac{1}{\cos(u(x))}\right)'=\cfrac{-\cos'(u(x))}{\cos^{2}(u(x))}=\cfrac{u'(x){\rm sen}(u(x))}{\cos^{2}(u(x))}.$$

Paso 2. Notemos que  {\rm tg}(u(x))=\cfrac{{\rm sen}(u(x))}{\cos(u(x))},  entonces

 

({\rm sec}(u(x)))'=\cfrac{u'(x){\rm sen}(u(x))}{\cos^{2}(u(x))}=u'(x)\left(\cfrac{{\rm sen}(u(x))}{\cos(u(x))}\right)\left(\cfrac{1}{\cos(u(x))}\right)

 

    $$=u'(x){\rm tg}(u(x))\left(\cfrac{1}{\cos(u(x))}\right).$$

 

Paso 3. Aplicamos la definición de la función secante,

({\rm sec}(u(x)))'=u'(x){\rm tg}(u(x))\left(\cfrac{1}{\cos(u(x))}\right)=u'(x){\rm tg}(u(x)){\rm sec}(u(x)).

 

De esta forma  la derivada de la secante de una función es la secante de la función por la tangente de la función, y por la derivada de la función.

Con la derivada de la función anterior  podemos saber información muy relevante de la función obtenida al sacar la secante de la función  u(x),  información tal como, punto de inflexión, intervalos de monotonicidad, intervalos de concavidad, intervalos de convexidad, etc.

 

Ejemplos de cálculo de la derivada

1 Sea  u(x)=5x,  remplazando en la derivada de la secante de  u(x)  obtenemos

    $$({\rm sec}(5x))'=({\rm sec}(u(x)))'=u'(x){\rm tg}(u(x)){\rm sec}(u(x))=5{\rm tg}(5x){\rm sec}(5x),$$

notemos que u'(x)=5.

 

2 Calcular la derivada de  f(x)={\rm sec}(5x+2).

Para este caso tenemos que   u(x)=5x+2    y   u'(x)=5,   entonces reemplazando en la fórmula para derivada de la secante obtenemos que

    $$f'(x)={\rm sec}'(5x+2)=({\rm sec}(u(x)))'=u'(x){\rm tg}(u(x)){\rm sec}(u(x))=$$

    $$=5{\rm tg}(5x+2){\rm sec}(5x+2).$$

 

3 Calcular la derivada de  f(x)={\rm sec}(x^{3})  en  x=0.

Para este caso tenemos que  u(x)=x^{3}  y  u'(x)=3x^{2},  entonces reemplazando en la fórmula para la derivada de la secante obtenemos que

    $$f'(x)={\rm sec}'(x^{3})=3x^{2}{\rm tg}(x^{3}){\rm sec}(x^{3})=0{\rm tg}(0){\rm sec}(0)=0.$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗