La derivada de una función es uno de los conceptos más importante en cálculo. La derivada tiene aplicaciones a muchas otras áreas, tales como finanzas, química, física y biología. A continuación encontraremos una guía con las funciones más comunes y sus respectivas derivadas.
Derivada de la función identidad
La función más simple que podemos encontrar es la función identidad
En este caso, la derivada de x, denotada por
es igual a 1. Es decir, la derivada de la función identidad es igual a la unidad.
Derivada de una potencia de base x
Para encontrar la derivada de una potencia de
solo debemos tomar el exponente, pasarlo a multiplicar y finalmente el nuevo exponente será el exponente inicial menos uno, esto es,
Derivada de una raíz de radicando x
La derivada de un radicando de la variable
, la podemos obtener usando la derivada de una potencia. Si queremos derivar
podemos cambiar la expresión de esta función para utilizar una fórmula ya conocida y calcular la derivada. Entonces, recordamos que una expresión equivalente para
será
De esta manera, aplicando la derivada de una potencia a
sabemos que hay que multiplicar por
y el nuevo exponente será
Entonces, para
Como caso particular tenemos la deriva de la raíz cuadrada, que es una de los más comunes. Ésta sería entonces,
Derivadas exponenciales y logarítmicas
Las derivadas exponenciales y logarítmicas están presentes en física dentro del estudio de mecánica, campos eléctricos y óptica. También podemos encontrarlas al estudiar ecuaciones homogéneas en el área de ecuaciones diferenciales.
Derivada de la función exponencial de exponente x
Es importante notar que la derivada de una función exponencial siempre esta en términos de la función multiplicada por el logaritmo natural de la base, es decir,
Una de las derivadas más importantes es la derivada de la función exponencial con base
, y siguiendo la lógica del párrafo anterior, obtenemos que
pues
Derivada del logaritmo de x
La derivada logarítmica fue descubierta por Newton y Leibniz, los creadores de cálculo. Esta derivada de igual forma esta presente en la física y en el estudio de funciones de variable compleja. Una función logarítmica
tiene como derivada la siguiente función
es,
Derivadas trigonométricas
Las funciones trigonométricas hacen parte del estudio del movimiento y cómo interactúan las fuerzas. Parte importante de entender el movimiento, es entender cómo es la razón de cambio de la posición respecto al tiempo, es decir, la velocidad, más específicamente la derivada. Los movimientos no siempre son en una solo dirección, en general debemos descomponer los vectores de movimiento en varias coordenadas, es aquí donde las funciones trigonométricas y sus derivadas intervienen. En los siguientes párrafos encontraremos las funciones trigonométricas con sus respectivas derivadas.
Derivada del seno de x
Derivada del coseno de x
Derivada de la tangente de x
Derivada de la cotangente de x
Derivada de la secante de x
Derivada de la cosecante de x
Derivadas trigonométricas inversas
Como complemento al estudio de funciones trigonométricas siempre debemos estudiar las funciones trigonométricas inversas. Un ejemplo de la necesidad de estudiar las funciones trigonométricas inversas, es el siguiente: Al descomponer un vector
en el plano en sus componentes
y
, tenemos que
y
donde
es el ángulo que forma el vector
con la abscisa
Este ángulo
lo podemos encontrar utilizando funciones trigonométricas inversas,
Cuando este ángulo empieza a cambiar respecto a otra variable del sistema, es importante conocer la tasa con que se dan dichos cambios, es decir, es importante conocer la derivada de la función trigonométrica inversa
A continuación encontraremos una lista de la funciones trigonométricas con sus respectivas derivadas.
Derivada del arcoseno de x
Derivada del arcocoseno de x
Derivada del arcotangente de x
Derivada del arcocotangente de x
Derivada del arcosecante de x
Derivada del arcocosecante de x
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no entiendo por que en el paso 3 al igualar las dos derivadas pone -3a en vez de solo -3
Hola, busque tu duda y no la encontré podrías hacerme el favor de decirme el numero del ejercicio, me seria de mucha ayuda por favor.
Quería solo advertir que el gráfico de la diferencial tiene el ángulo de la recta tangente con β y analíticamente está indicado con α. Saludos.
hola gracias por tu observación, pero si el artículo es de «interpretación de la derivada» es el mismo ángulo pero con símbolo diferente.
cordial saludo sera que tu me puedes ayudar a resolver un ejercicio que es dada la función f(x)= X elevada a la 2/3 por entre paréntesis (xa la 2 -8) hallar los valores de X para los cuales esta crece te lo agradecería mucho
La descripcion es erronea donde da la derivada de arcocotangente, ya que dice derivada de arcotangete, se comieron el co, lo que puede llevar a confunciones, como en mi caso que pense que era la derivada de la inversa de tangente, cuando era la derivada de la inversa de cotangente.
Hola entendemos la confusión, pero como sabes en cada lugar toman la notación en forma diferente, en este caso se tomo arccot(x) donde se repite la c para diferenciar de arctan(x).
Hola podrías hacernos el favor de mostrarnos la función para dar una mejor explicación.