La derivada de una función es uno de los conceptos más importante en cálculo.  La derivada tiene aplicaciones a muchas otras áreas, tales como finanzas, química, física y biología.  A continuación encontraremos una guía con las funciones más comunes y sus respectivas derivadas.
 

Derivada de la función identidad

 

La función más simple que podemos encontrar es la función identidad
 

    $$f(x)=x.$$

 

En este caso, la derivada de x, denotada por  f',  es igual a 1. Es decir, la derivada de la función identidad es igual a la unidad.
 

    $$f(x)=x, \qquad f'(x)=1.$$

 

Los/las mejores profesores/as de Matemáticas que están disponibles
¡1a clase gratis!
José arturo
4,9
4,9 (36 opiniones)
José arturo
12€
/h
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (26 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (45 opiniones)
Alex
12€
/h
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (77 opiniones)
José angel
5€
/h
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (11 opiniones)
Fátima
12€
/h
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (24 opiniones)
Santiago
9€
/h
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (94 opiniones)
Julio
14€
/h
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (51 opiniones)
Amin
10€
/h
¡1a clase gratis!
José arturo
4,9
4,9 (36 opiniones)
José arturo
12€
/h
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (26 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (45 opiniones)
Alex
12€
/h
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (77 opiniones)
José angel
5€
/h
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (11 opiniones)
Fátima
12€
/h
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (24 opiniones)
Santiago
9€
/h
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (94 opiniones)
Julio
14€
/h
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (51 opiniones)
Amin
10€
/h
1ª clase gratis>

Derivada de una potencia de base x

 

Para encontrar la derivada de una potencia de  x,  solo debemos tomar el exponente, pasarlo a multiplicar y finalmente el nuevo exponente será el exponente inicial menos uno, esto es,
 

    $$f(x)=x^{k}, \qquad f'(x)=k\cdot x^{k-1}.$$

 

Derivada de una raíz de radicando x

 

La derivada de un radicando de la variable x, la podemos obtener usando la derivada de una potencia. 
 

Si queremos derivar f(x)=\sqrt[k]{x}, podemos cambiar la expresión de esta función para utilizar una fórmula ya conocida y calcular la derivada. Entonces, recordamos que una expresión equivalente para  f  será
 

    $$f(x)=x^{1/k}.$$

 

De esta manera, aplicando la derivada de una potencia a  x^{1/k},  sabemos que hay que multiplicar por 1/k y el nuevo exponente será
 

    $$\cfrac{1}{k}-1=\cfrac{1-k}{k}.$$

 

Entonces, para  f(x)=\sqrt[k]{x} 
 

    $$f'(x)=\cfrac{1}{k}\left(\cfrac{1}{x^{\frac{k-1}{k}}}\right)=\cfrac{1}{k\cdot \sqrt[k]{x^{k-1}}}.$$

 

Como caso particular tenemos la deriva de la raíz cuadrada, que es una de los más comunes. Ésta sería entonces,
 

    $$f(x)=\sqrt{x}, \qquad f'(x)=\cfrac{1}{2\cdot \sqrt{x}}.$$

 

Derivadas exponenciales y logarítmicas

 

Las derivadas exponenciales y logarítmicas están presentes en física dentro del estudio de mecánica, campos eléctricos y óptica. También podemos encontrarlas al estudiar ecuaciones homogéneas en el área de ecuaciones diferenciales.
 

Derivada de la función exponencial de exponente x

 

Es importante notar que la derivada de una función exponencial siempre esta en términos de la función multiplicada por el logaritmo natural de la base, es decir,
 

    $$f(x)=a^{k}, \qquad f'(x)=a^{k}{\rm ln}(a).$$

 

Una de las derivadas más importantes es la derivada de la función exponencial con base e, y siguiendo la lógica del párrafo anterior, obtenemos que
 

    $$f(x)={\rm e}^{k}, \qquad f'(x)={\rm e}^{k},$$

 

pues  \ln(e) = 1.
 

Derivada del logaritmo de x

 

La derivada logarítmica fue descubierta por Newton y Leibniz, los creadores de cálculo. Esta derivada de igual forma esta presente en la física y en el estudio de funciones de variable compleja. Una función logarítmica  f(x)={\rm log}_{a}x  tiene como derivada la siguiente función
 

    $$ f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot {\rm ln}(a)}=\cfrac{1}{x}\cdot {\rm log}_{a}{\rm e}.$$

 

Como caso particular tenemos que la derivada logarítmica en base  e  es,

    $$f(x)={\rm ln}(x), \qquad f'(x)=\cfrac{1}{x}.$$

 

Derivadas trigonométricas

 

Las funciones trigonométricas hacen parte del estudio del movimiento y cómo interactúan las fuerzas. Parte importante de entender el movimiento, es entender cómo es la razón de cambio de la posición respecto al tiempo, es decir, la velocidad, más específicamente la derivada. Los movimientos no siempre son en una solo dirección, en general debemos descomponer los vectores de movimiento en varias coordenadas, es aquí donde las funciones trigonométricas y sus derivadas intervienen. En los siguientes párrafos encontraremos las funciones trigonométricas con sus respectivas derivadas.

 

Derivada del seno de x

 

    $$f(x)={\rm sen}(x), \qquad f'(x)={\rm cos}(x).$$

 

 

Derivada del coseno de x

 

    $$f(x)={\rm cos}(x), \qquad f'(x)=-{\rm sen}(x).$$

 

Derivada de la tangente de x

 

    $$f(x)={\rm tg}(x), \qquad f'(x)=\cfrac{1}{{\rm cos}^{2}(x)}={\rm sec}^{2}(x)=1+{\rm tg}^{2}(x).$$

 

Derivada de la cotangente de x

 

    $$f(x)={\rm cotg}(x), \qquad f'(x)=\cfrac{1}{{\rm sen}^{2}(x)}=-{\rm cosec}^{2}(x)=-1+{\rm cotg}^{2}(x).$$

 

Derivada de la secante de x

 

    $$f(x)={\rm sec}(x), \qquad f'(x)=\cfrac{{\rm sen}(x)}{{\rm cos}^{2}(x)}={\rm sec}(x)\cdot{\rm tg}(x).$$

 

Derivada de la cosecante de x

 

    $$f(x)={\rm cosec}(x), \qquad f'(x)=-\cfrac{{\rm cos}(x)}{{\rm sen}^{2}(x)}=-{\rm cosec}(x)\cdot{\rm cotg}(x).$$

 

Derivadas trigonométricas inversas

 

Como complemento al estudio de funciones trigonométricas siempre debemos estudiar las funciones trigonométricas inversas.
 

Un ejemplo de la necesidad de estudiar las funciones  trigonométricas inversas, es el siguiente: Al descomponer un vector F en el plano en sus componentes x y y, tenemos que  F_{x}=F\cdot {\rm cos}(\alpha)  y  F_{y}=F\cdot {\rm sen}(\alpha),  donde  \alpha  es el ángulo que forma el vector  F  con la abscisa  x.  Este ángulo  \alpha,  lo podemos encontrar utilizando funciones trigonométricas inversas,  \alpha={\rm arctg}\left( F_{y}/F_{x}\right).  Cuando este ángulo empieza a cambiar respecto a otra variable del sistema, es importante conocer la tasa con que se dan dichos cambios, es decir, es importante conocer la derivada de la función trigonométrica inversa  {\rm arctg}.
 

A continuación encontraremos una lista de la funciones trigonométricas con sus respectivas derivadas.
 

Derivada del arcoseno de x

 

    $$f(x)={\rm arcsen}(x), \qquad f'(x)=\cfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.$$

Derivada del arcocoseno de x

 

    $$f(x)={\rm arccos}(x), \qquad f'(x)=-\cfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.$$

 

Derivada del arcotangente de x

 

    $$f(x)={\rm arctg}(x), \qquad f'(x)=\cfrac{1}{1+x^{2}}.$$

 

Derivada del arcocotangente de x

 

    $$f(x)={\rm arccotg}(x), \qquad f'(x)=-\cfrac{1}{1+x^{2}}.$$

 

Derivada del arcosecante de x

 

    $$f(x)={\rm arcsec}(x), \qquad f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\sqrt{x^{2}-1}}.$$

 

Derivada del arcocosecante de x

 

    $$f(x)={\rm arccosec}(x), \qquad f'(x)=-\cfrac{1}{x\cdot\sqrt{x^{2}-1}}.$$

 

¿Necesitas un profesor de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 2,25/5 - 4 vote(s)
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗