El proceso de optimización

Optimizar una función consiste en encontrar sus valores máximo y mínimo, esto  significa que hay que encontrar los valor en el dominio de la función para los cuales se alcanza el valor máximo y mínimo en el codominio . El proceso de optimización  hace parte de una de las aplicaciones más importante de la derivada. Para lo cual es útil tener a la mano las derivadas mas comunes y utilizadas. En lo siguiente presentaremos un camino para resolver problemas de optimización y haremos varios ejemplos.

  1. De las condiciones del problema extraer o plantear la función a maximizar o minimizar.
  2. En el caso de que en el problema intervengan más de una variable, plantear ecuaciones que relacione las distintas variables del sistema.
  3. Despejar una variable de la ecuación y sustituirla en la función de modo que nos quede una sola variable.
  4. Encontrar los extremos locales, es significa que debemos igualar la función a cero y resolver la ecuación resultante.
  5. Realizar la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.

 

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Problemas de optimización

De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima.

La función que tenemos que maximizar es el área del triángulo:

    $$S=\cfrac{1}{2}\cdot 2y\cdot\sqrt{x^{2}-y^{2}}$$

Relacionamos las variables:

    $$2x + 2y = 12,\quad x = 6 − y$$

Sustituimos en la función:

    $$S=y\sqrt{(6-y)^{2}-y^{2}}=y\sqrt{36-12y}=\sqrt{36y^{2}-12y^{3}}$$

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.

    $$S'=\cfrac{36y-18y^{2}}{\sqrt{36y^{2}-12y^{3}}},\quad \cfrac{36y-18y^{2}}{\sqrt{36y^{2}-12y^{3}}}=0.$$

36y-18y^{2}=0,\quad y_{1}=0;\quad y_{2}=0

Realizamos la 2ª derivada y sustituimos por 2, ya que la solución y = 0 la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero.

S''=\cfrac{(36-36y)\cdot\sqrt{36y^{2}-12y^{3}}-(36y-18y^{2})\cdot\frac{72y-36y^{2}}{2\sqrt{36y^{2}-12y^{3}}}}{36y^{2}-12y^{3}}

S''(2)=\cfrac{(36-36(2))\cdot\sqrt{36(2)^{2}-12(2)^{3}}-(36(2)-18(2)^{2})\cdot\frac{72(2)-36(2)^{2}}{2\sqrt{36(2)^{2}-12(2)^{3}}}}{36(2)^{2}-12(2)^{3}}

S''=\cfrac{(-)\cdot\sqrt{+}-0\cdots}{+}=\cfrac{-}{+}=-

Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo.

La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también miden 4 m, por lo que el triangulo de área máxima sería un triangulo equilatero.

 

Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja. Calcular x para que volumen de dicha caja sea máximo.

Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del papel.

 

Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.

 

El valor de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Divide un diamante de 2 g en dos partes de forma que la suma de los valores de los dos diamantees formados sea mínima.

El diamante se ha de dividir en dos partes iguales de 1 g.

 

Una boya, formada por dos conos rectos de hierro unidos por sus bases ha de ser construido mediante dos placas circulares de 3 m de radio. Calcular las dimensiones de la boya para que su volumen sea máximo.

 

Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?

 

Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con uno de ellos un círculo y con el otro un cuadrado. Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima.

Un sector circular tiene un perímetro de 10 m. Calcular El radio y la amplitud del sector de mayor área.

 

Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio 12 cm.

 

Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su altura engendrando un cono. ¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗