Optimización

La función que tenemos que optimizar o más específicamente maximizar es la función que esta definida por el  área del triángulo. Ya que el triángulo es isósceles,  su base es el lado  y su altura la podemos calcular usando el teorema de Pitagoras, así obtenemos Con la condición de que el perímetro del triángulo mide podemos relacionar las variables: Este resultado lo podemos sustituir en la función: Para hallar los extremos locales, derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces. Finalmente con el criterio de la segunda derivada podemos comprobar nuestro resultado. Recordemos que si la segunda derivada tiene signo negativo, entonces obtendremos un máximo local y si la segunda derivada tiene signo positivo tendremos un mínimo local. Así realizamos la 2ª derivada y evaluamos en , ya que la solución la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero. Por lo que queda probado que en hay un máximo. La base mide y los lados oblicuos también miden , por lo que el triangulo de área máxima sería un triangulo equilatero.

Primero debemos encontrar la función a optimizar. Esta función es definida por el volumen de la caja, la cual tiene como lados a , y como altura a , así nuestra función es Notemos que en este problema solo interviene una variable, así que podemos pasar directamente a buscar los extremos locales. Recordemos que para esto debemos derivar nuestra función e igualar la ecuación resultante a cero.Esta ecuación la podemos resolver utilizando la fórmulaLo cual nos da las siguientes dos soluciones Notemos que la solución no es validad ya que tendríamos que el lado seria negativo. De esta forma nuestro único extremo local es . Calculando la segunda derivada de la función y evaluando en , obtenemos

La función que debemos minimizar esta dada por el área de la superficie de papel,Ahora de las condiciones del problema debemos extraer ecuaciones que relacionen las variable.  De la imagen y ya que debemos tener de texto impreso podemos concluir queDespejando para , se sigue que Al remplazar en la función obtenemos Ahora podemos derivar la función para encontrar los extremos locales Igualamos la derivada a cero Esto significa que debemos resolver la ecuación . Notemos que Por tanto nuestras soluciones son   y  . Debemos rechazar la solución pues es negativa. Por lo tanto tenemos una sola solución a nuestro problema. Dado esto no tenemos necesidad de calcular la segunda derivada y podemos concluir que en y encontramos las dimensiones que minimizan la superficie de papel.

Primero planteamos la ecuación a solucionar que debemos optimizar. El primer número lo llamaremos y el segundo número . Ya el quíntuplo del cuadrado del primero menos el séxtuplo del cuadrado del segundo debe ser mínimo entonces  nuestra función esY relacionamos las dos variables a través de la condición, se descompone como la suma de dos números, esto es, Luego remplazamos el valor de   y obtenemos Derivando la función tenemosFinalmente debemos resolver la siguiente ecuación , se consigue la siguiente solución, Y podemos saber el valor también, . Así que es la solución a nuestro problema. Al comprobar con el criterio de la segunda derivada se tiene que , lo cual nos dice que es un mínimo de la función .

Digamos que es el peso de un diamante. Ya que el valor del diamante es proporcional al cuadrado del peso, entonces el valor de nuestro diamante debe estar dado por , donde es una constante positiva de proporcionalidad. Al dividir  un diamante de en dos partes de pesos   y , tenemos una ecuación que nos relaciona, no solo pesos de las partes, si no también sus valores,De esta forma los valores de cada una de las partes son,Y la función que deseamos optimizar es la dada por la suma de dichos valores,Para encontrar los valores extremos de esta función debemos derivar e igualar a cero, Como podemos ver hemos obtenido una solución para nuestro problema. Para comprobar que esta solución nos da un mínimo valor, hallamos la segunda derivada y checamos que es positiva, en efecto, De esta forma el diamante se ha de dividir en dos partes iguales de 1 g.

La función que necesitamos maximizar es el doble del volumen de un cono, asíYa que sus bases estan construidas mediante dos placas circulares de radio , tenemos que la ecuación que relaciona las variables esRemplazando en la función , se sigue queAhora derivamos e igualamos a cero para hallar los valores extremos

Al solucionar la ecuación anterior obtenemos que,

Finalmente debemos evaluar la segunda derivada en para comprobar que aquí obtenemos un máximo para la función volumen,

Ya que la segunda derivada arroja un valor negativo entonces concluimos que hay un máximo en para la función volumen.

Del enunciado podemos concluir que debemos minimizar la función que define el área de la lata cilíndrica, la cual esta dada porYa que lata debe contener un litro entonces su volumen es igual a , por lo cualLuego despejando , se sigue queAl deriva la función tenemos que

Para hallar los valores extremos igualamos la ecuación anterior a cero y despejamos el valor de

Luego podemos obtener el valor de usando el valor de  , así  Al comprobar con el criterio de la segunda derivada tenemos que

Por lo tanto con obtenemos que las dimensiones de la lata son mínimas.

Si el cuadrado tiene lado y el círculo tiene radio , entonces la función a optimizar es:

Ya que el alambre tiene una longitud de un , entonces la suma de los perímetros del círculo y el cuadrado nos da la ecuación que relaciona las variables,

Remplazando en se sigue,

El siguiente paso es derivar la función e igualar a cero, para hallar los valor extremos,

Con este valor para podemos concluir que Trozo del círculo= y Trozo del cuadrado=

La parte final para este caso de minimizar, como siempre, en este tipo de problemas es encontrar la segunda derivada y checar que es positiva en los valores encontrados

Nuestra función a optimizar es la definida por el área del sector circular, de la figura tenemos:Ya que le perímetro es , entoncesAl remplazar en la función , se sigue queEl siguiente paso es  derivar la función e igualar a cero para encontrar un valor extremo, Después de obtener un valor para podemos obtener valores para y En este caso la segunda derivada de es constante y negativa, $$S''=-2<0.$$[/latex] Por lo tanto podemos concluir que los valores antes encontrados nos dan un  valor máximo para la función [latex]S[/latex].

El área del triángulos esta dada porLa figura nos muestra un triángulo rectángulo  formado usando el radio del círculo, un lado del triángulo y su altura. Usando el teorema de Pitagoras se sigue queAl remplazar en tenemos queComo siempre el siguen paso es derivarAl igualar a cero concluimos que, Con estos valores podemos decir lo siguiente sobre los valores del triángulo, Base: , Lado: Para concluir o comprobar que estos valores nos dan un máximo para el área debemos evaluar la segunda derivada en y obtener un valor negativo, en efecto,

La función a optimizar es definida por el volumen del cono formado al rotar el triángulo,Ya que el perímetro es y el triángulo gira alrededor de su altura, de la figura obtenemos lo siguiente Al combinar estas ecuaciones se sigue que, Ya que tenemos todas las variables en términos de , podemos remplazar en la función volumen, Lo siguiente es derivar, Al igualar a cero obtenemos los siguientes valores para y para la base del triángulo,Base: ,Para comprobar que en obtenemos un máximo, debemos evaluar la segunda derivada de es este valor y obtener un valor negativo,