El proceso de optimización

Optimizar una función consiste en encontrar sus valores máximos y mínimos, esto  significa que hay que encontrar los valores en el dominio de la función para los cuales se alcanza el  máximo y mínimo en el codominio . El proceso de optimización  hace parte de una de las aplicaciones más importante de la derivada. Para lo cual es útil tener a la mano las derivadas mas comunes y utilizadas. En lo siguiente presentaremos un camino para resolver problemas de optimización y haremos varios ejemplos.

  1. De las condiciones del problema extraer o plantear la función a maximizar o minimizar.
  2. En el caso de que en el problema intervengan más de una variable, plantear ecuaciones que relacionen las distintas variables del sistema.
  3. Despejar una variable de la ecuación y sustituirla en la función de modo que nos quede una función con una sola variable.
  4. Encontrar los extremos locales, esto  significa que debemos igualar la función a cero y resolver la ecuación resultante.
  5. Realizar la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.

 

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Vamos

Ejercicios propuestos

1De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima.

optimización en triángulos

 

La función que tenemos que optimizar o más específicamente maximizar es la función que esta definida por el  área del triángulo. Ya que el triángulo es isósceles,  su base es el lado  2y y su altura la podemos calcular usando el teorema de Pitagoras, así obtenemos

    $$S=\cfrac{{\rm Base}\cdot{\rm Altura}}{2}=\cfrac{1}{2}\cdot 2y\cdot\sqrt{x^{2}-y^{2}}.$$

Con la condición de que el perímetro del triángulo mide 12m podemos relacionar las variables:

    $$2x + 2y = 12,\quad x = 6 − y$$

Este resultado lo podemos sustituir en la función:

    $$S=y\sqrt{(6-y)^{2}-y^{2}}=y\sqrt{36-12y}=\sqrt{36y^{2}-12y^{3}}.$$

Para hallar los extremos locales, derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.

    $$S'=\cfrac{36y-18y^{2}}{\sqrt{36y^{2}-12y^{3}}},\quad \cfrac{36y-18y^{2}}{\sqrt{36y^{2}-12y^{3}}}=0.$$

36y-18y^{2}=0,\quad y_{1}=0;\quad y_{2}=0.
Finalmente con el criterio de la segunda derivada podemos comprobar nuestro resultado. Recordemos que si la segunda derivada tiene signo negativo, entonces obtendremos un máximo local y si la segunda derivada tiene signo positivo tendremos un mínimo local. Así realizamos la 2ª derivada y evaluamos en 2, ya que la solución y = 0 la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero.

    $$S''=\cfrac{(36-36y)\cdot\sqrt{36y^{2}-12y^{3}}-(36y-18y^{2})\cdot\frac{72y-36y^{2}}{2\sqrt{36y^{2}-12y^{3}}}}{36y^{2}-12y^{3}},$$

S''(2)=\cfrac{(36-36(2))\cdot\sqrt{36(2)^{2}-12(2)^{3}}-(36(2)-18(2)^{2})\cdot\frac{72(2)-36(2)^{2}}{2\sqrt{36(2)^{2}-12(2)^{3}}}}{36(2)^{2}-12(2)^{3}}.

    $$S''=\cfrac{(-)\cdot\sqrt{+}-0\cdots}{+}=\cfrac{-}{+}=-.$$

Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo.
La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también miden 4 m, por lo que el triangulo de área máxima sería un triangulo equilatero.

2Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm\times 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja. Calcular x para que el volumen de dicha caja sea máximo.

Maximizar el volumen de una caja

Primero debemos encontrar la función a optimizar. Esta función es definida por el volumen de la caja, la cual tiene como lados a 80-2x, 50-2x y como altura a x, así nuestra función es

    $$V=(80-2x)(50-2x)x=4x^{3}-260x^{2}+4000x.$$

Notemos que en este problema solo interviene una variable, así que podemos pasar directamente a buscar los extremos locales. Recordemos que para esto debemos derivar nuestra función e igualar la ecuación resultante a cero.

    $$V'=12x^{2}-520x+4000$$

    $$12x^{2}-520x+4000=0$$

Esta ecuación la podemos resolver utilizando la fórmula

    $$x=\cfrac{-(-520)(+/-)\sqrt{520^{2}-4(12)(4000)}}{2(12)}.$$

Lo cual nos da las siguientes dos soluciones

    $$x=10,\quad x=33.3.$$

Notemos que la solución x=33.3 no es validad ya que tendríamos que el lado 50-2x seria negativo. De esta forma nuestro único extremo local es x=10.

Calculando la segunda derivada de la función V y evaluando en x=10, obtenemos

    $$V''=24x-520,\quad V''(10)=24\cdot 10-520<0.$$

Así el criterio de la segunda derivada nos dice que tenemos un máximo local en x=10.

3Una hoja de papel debe tener 18 cm^{2} de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del papel.

Minimizar la superficie de papel

 

La función que debemos minimizar esta dada por el área de la superficie de papel,

    $$S=xy.$$

Ahora de las condiciones del problema debemos extraer ecuaciones que relacionen las variable.  De la imagen y ya que debemos tener 18 cm^{2} de texto impreso podemos concluir que

    $$(x-2)(y-4)=18.$$

Despejando para y, se sigue que y=\frac{4x+10}{x-2}. Al remplazar en la función S obtenemos

    $$S=x\cfrac{4x+10}{x-2}=\cfrac{4x^{2}+10x}{x-2}. $$

Ahora podemos derivar la función para encontrar los extremos locales

    $$S'=\cfrac{(8x+10)(x-2)-(4x^{2}+10x)}{(x-2)^{2}}=\cfrac{4x^{2}-16x-20}{(x-2)^{2}}. $$

Igualamos la derivada a cero

    $$S'=\cfrac{4x^{2}-16x-20}{(x-2)^{2}}=0. $$

Esto significa que debemos resolver la ecuación 4x^{2}-16x-20=0. Notemos que

    $$4x^{2}+16x-20=4(x-5)(x+1)$$

Por tanto nuestras soluciones son x=5  y  x=-1. Debemos rechazar la solución x=-1 pues es negativa. Por lo tanto tenemos una sola solución a nuestro problema. Dado esto no tenemos necesidad de calcular la segunda derivada y podemos concluir que en x=5 y y=\frac{4(5)+10}{5-2}=30/3=10 encontramos las dimensiones que minimizan la superficie de papel.

4Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.

 

Primero planteamos la ecuación a solucionar que debemos optimizar. El primer número lo llamaremos x y el segundo número y. Ya el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo debe ser mínimo entonces  nuestra función es

    $$S=5x^{2}+6y^{2}.$$

Y relacionamos las dos variables a través de la condición, 44 se descompone como la suma de dos números, esto es,

    $$x+y=44,\quad y=44-x.$$

Luego remplazamos el valor de y  y obtenemos

    $$S=5x^{2}+6(44-x)^{2}.$$

Derivando la función S tenemos

    $$S=10x+12(44-x)=22x-528.$$

Finalmente debemos resolver la siguiente ecuación =22x-528=0, se consigue la siguiente solución,

    $$x=24.$$

Y podemos saber el valor y también, y=44-x=44-24=20. Así que (x,y)=(24,20) es la solución a nuestro problema. Al comprobar con el criterio de la segunda derivada se tiene que S''=22>0, lo cual nos dice que (x,y)=(24,20) es un mínimo de la función S.

5El valor de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Divide un diamante de 2 g en dos partes de forma que la suma de los valores de los dos diamantes formados sea mínima.

 

Digamos que x es el peso de un diamante. Ya que el valor del diamante es proporcional al cuadrado del peso, entonces el valor de nuestro diamante debe estar dado por kx^{2}, donde k es una constante positiva de proporcionalidad. Al dividir  un diamante de 2g en dos partes de pesos y  y x, tenemos una ecuación que nos relaciona, no solo pesos de las partes, si no también sus valores,

    $$x+y=2,\quad y=2-x.$$

De esta forma los valores de cada una de las partes son,

    $$kx^{2},\quad k(2-x)^{2}.$$

Y la función que deseamos optimizar es la dada por la suma de dichos valores,

    $$V=kx^{2}+k(2-x)^{2}=k(2x^{2}-4x+4).$$

Para encontrar los valores extremos de esta función debemos derivar e igualar a cero,

    $$V'=k(4x-4).$$

    $$k(4x-4)=0,\quad x=1.$$

Como podemos ver hemos obtenido una solución x=1 para nuestro problema. Para comprobar que esta solución nos da un mínimo valor, hallamos la segunda derivada y checamos que es positiva, en efecto,

    $$V''=4k > 0.$$

De esta forma el diamante se ha de dividir en dos partes iguales de 1 g.

6Una boya, formada por dos conos rectos de hierro unidos por sus bases ha de ser construido mediante dos placas circulares de 3 m de radio. Calcular las dimensiones de la boya para que su volumen sea máximo.

Volumen de una boya

 

La función que necesitamos maximizar es el doble del volumen de un cono, así

    $$V=2\cdot\cfrac{1}{3}\pi x^{2}y.$$

Ya que sus bases estan construidas mediante dos placas circulares de radio 3m, tenemos que la ecuación que relaciona las variables es

    $$x^{2}+y^{2}=9,\quad x^{2}=9-y^{2}.$$

Remplazando en la función V, se sigue que

    $$V=2\cdot\cfrac{1}{3}\pi (9-y^{2})y=\cfrac{2\pi}{3}\pi (9y-y^{3})y.$$

Ahora derivamos V e igualamos a cero para hallar los valores extremos

    $$V'=\cfrac{2\pi}{3}\pi (9-3y^{2})y.$$

    $$\cfrac{2\pi}{3}\pi (9-3y^{2})y=0$$

Al solucionar la ecuación anterior obtenemos que,

    $$x=\sqrt{3},\quad y=\sqrt{6}.$$

Finalmente debemos evaluar la segunda derivada en (x,y)=(\sqrt{3},\sqrt{6}) para comprobar que aquí obtenemos un máximo para la función volumen,

    $$V''(\sqrt{3},\sqrt{6})=\cfrac{2\pi}{3}\pi (-6y)<0.$$

Ya que la segunda derivada arroja un valor negativo entonces concluimos que hay un máximo en (\sqrt{3},\sqrt{6}) para la función volumen.

7Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?

 

Del enunciado podemos concluir que debemos minimizar la función que define el área de la lata cilíndrica, la cual esta dada por

    $$A=2\pi rh+2\pi r^{2}.$$

Ya que lata debe contener un litro entonces su volumen es igual a 1, por lo cual

    $$V=\pi r^{2}h=1.$$

Luego despejando h, se sigue que

    $$h=\cfrac{1}{\pi r^{2}}\quad\text{y}\quad A=2\pi rh+2\pi r^{2}=2\pi r\left(\cfrac{1}{\pi r^{2}}\right)+2\pi r^{2}=\cfrac{2}{r}+2\pi r^{2}.$$

Al deriva la función A tenemos que

    $$A'=\cfrac{-2}{r^{2}}+4\pi r=\cfrac{-2+4\pi r^{3}}{r^{2}}.$$

Para hallar los valores extremos igualamos la ecuación anterior a cero y despejamos el valor de r

    $$\cfrac{-2+4\pi r^{3}}{r^{2}}=0,\quad r^{3}=\cfrac{1}{2\pi},\quad r=\cfrac{1}{\sqrt[3]{2\pi}}.$$

Luego podemos obtener el valor de h usando el valor de  r, así  h=\cfrac{\sqrt[3]{4\pi^{2}}}{\pi}=\sqrt[3]{\cfrac{4}{\pi}}. Al comprobar con el criterio de la segunda derivada tenemos que

    $$A''=\cfrac{4}{r^{3}}+4\pi,\quad A''(1/\sqrt[3]{2\pi})>0.$$

Por lo tanto con (r,h)=\left(\cfrac{1}{\sqrt[3]{2\pi}},\sqrt[3]{\cfrac{4}{\pi}}\right) obtenemos que las dimensiones de la lata son mínimas.

8Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con uno de ellos un círculo y con el otro un cuadrado. Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima.

 

Si el cuadrado tiene lado l y el círculo tiene radio r, entonces la función a optimizar es:

    $$S=\pi r^{2}+l^{2}.$$

Ya que el alambre tiene una longitud de un 1m, entonces la suma de los perímetros del círculo y el cuadrado nos da la ecuación que relaciona las variables,

    $$2\pi r+4l=1,\quad l=\cfrac{1-2\pi r}{4}.$$

Remplazando en S se sigue,

    $$S=\pi r^{2}+\left(\cfrac{1-2\pi r}{4}\right)^{2}.$$

El siguiente paso es derivar la función S e igualar a cero, para hallar los valor extremos,

    $$S'=2\pi r+2\left(\cfrac{1-2\pi r}{4}\right)\left(-\cfrac{2\pi}{4}\right)=\cfrac{\pi}{4}[r(8+2\pi)-1].$$

    $$\cfrac{\pi}{4}[r(8+2\pi)-1]=0,\quad r=\cfrac{1}{8+2\pi}.$$

Con este valor para r podemos concluir que
Trozo del círculo=2\pi\cfrac{1}{8+2\pi}=0.439m.

y

Trozo del cuadrado=1-0.439=0.561m.

La parte final para este caso de minimizar, como siempre, en este tipo de problemas es encontrar la segunda derivada y checar que es positiva en los valores encontrados

    $$S''=\cfrac{\pi}{4}(8+2\pi)>0.$$

9Un sector circular tiene un perímetro de 10 m. Calcular El radio y la amplitud del sector de mayor área.

Maximizar el área de un sector circular.

 

Nuestra función a optimizar es la definida por el área del sector circular, de la figura tenemos:

    $$S=\cfrac{1}{2}(l\cdot r),\quad l=\alpha\cdot r.$$

Ya que le perímetro es 10m, entonces

    $$2r+l=10\quad l=10-2\cdot r.$$

Al remplazar en la función S, se sigue que

    $$S=\cfrac{1}{2}(10-2\cdot r)\cdot r=5r-r^{2}.$$

El siguiente paso es  derivar la función S e igualar a cero para encontrar un valor extremo,

    $$S'=5-2r.$$

    $$5-2r=0,\quad r=\cfrac{5}{2}.$$

Después de obtener un valor para r podemos obtener valores para l y \alpha,

    $$r=\cfrac{5}{2}m,\quad l=5m,\quad\alpha=2{\rm rad}.$$

En este caso la segunda derivada de S es constante y negativa,

    $$S''=-2<0.$$

Por lo tanto podemos concluir que los valores antes encontrados nos dan un  valor máximo para la función S.

10Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio 12 cm.

Optimizar el área de un triángulo inscrito

 

El área del triángulos esta dada por

    $$S=\cfrac{1}{2}(2xh)=xh.$$

La figura nos muestra un triángulo rectángulo  formado usando el radio del círculo, un lado del triángulo y su altura. Usando el teorema de Pitagoras se sigue que

    $$12^{2}=x^{2}+(h-12)^{2},\quad x=\sqrt{24h-h^{2}}.$$

Al remplazar en S tenemos que

    $$S=h\sqrt{24h-h^{2}}=\sqrt{h^{3}-h^{4}}.$$

Como siempre el siguen paso es derivar

    $$S'=\cfrac{72h^{2}-4h^{3}}{2\sqrt{24h^{3}-h^{4}}}=\cfrac{2h(36h-2h^{2})}{2h\sqrt{24h-h^{2}}}=\cfrac{36h-2h^{2}}{\sqrt{24h-h^{2}}}.$$

Al igualar a cero concluimos que,

36h-2h^{2}=0,\quad h=0,\quad h=18, \quad x=6\sqrt{3}.

Con estos valores podemos decir lo siguiente sobre los valores del triángulo,

Base: 2x=12\sqrt{3},

Lado: l=\sqrt{x^{2}+h^{2}},\quad l=\sqrt{36\cdot 3+18^{2}}=12\sqrt{3}.

Para concluir o comprobar que estos valores nos dan un máximo para el área debemos evaluar la segunda derivada en h=18 y obtener un valor negativo, en efecto,
S''=\cfrac{(36-4h)\sqrt{24h-h^{2}}-(36h-2h^{2})\frac{24-2h}{2\sqrt{24h-h^{2}}}}{24h-h^{2}}.
S''(18)=\cfrac{(36-4(18))\sqrt{24(18)-(18)^{2}}-(36(18)-2(18)^{2})\frac{24-2(18)}{2\sqrt{24(18)-(18)^{2}}}}{24(18)-(18)^{2}}.

    $$S''(18)=\cfrac{(-)(+)-(0)\cdots}{+}=\cfrac{(-)-(0)}{+}=\cfrac{-}{+}=-.$$

11Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su altura engendrando un cono. ¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?

Volumen de un cono de revolución

 

La función a optimizar es definida por el volumen del cono formado al rotar el triángulo,

    $$V=\cfrac{1}{3}\pi r^{2}h.$$

Ya que el perímetro es 30m y el triángulo gira alrededor de su altura, de la figura obtenemos lo siguiente

    $$y=r,\quad l^{2}=h^{2}+r^{2}.$$

    $$2l+2y=30,\quad l=15-y.$$

Al combinar estas ecuaciones se sigue que,

    $$(15-y)^{2}=h^{2}+r^{2},\quad h=\sqrt{225-30y}.$$

Ya que tenemos todas las variables en términos de y, podemos remplazar en la función volumen,

    $$V=\cfrac{1}{3}\pi y^{2}\sqrt{225-30y}.$$

Lo siguiente es derivar,

    $$V'=\cfrac{1}{3}\left(2y\sqrt{225-30y}-\frac{15y^{2}-25y^{2}}{\sqrt{225-30y}}\right)=\pi\cfrac{150y-25y^{2}}{\sqrt{225-30y}}.$$

Al igualar a cero obtenemos los siguientes valores para y

150y-25y^{2}=0,\quad y=0,\quad y=6.

y para la base del triángulo,

Base: 12cm,

Para comprobar que en y=6 obtenemos un máximo, debemos evaluar la segunda derivada de S es este valor y obtener un valor negativo,
V''=\cfrac{(150-50x)\sqrt{225-30x}-(150x-30x^{2})\frac{-15}{\sqrt{225-30x}}}{225-30x}.
V''(6)=\cfrac{(150-50(6))\sqrt{225-30(6)}-(150(6)-30(6)^{2})\frac{-15}{\sqrt{225-30(6)}}}{225-30(6)}.

    $$V''(6)=\cfrac{(-)(+)-(0)\cdots}{+}=\cfrac{-}{+}=-.$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗