Calcula, mediante la definición de derivada, la derivada de las funciones en los puntos que se indican.

 

1 f(x)=3x^{2} en x=2

 

f(x)=3x^{2} en x=2

 

1 Sustituimos el valor de x en la función y en la definición de la derivada:

 

f'(2)=\lim_{h\rightarrow 0}\cfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\cfrac{3(2+h)^{2}-3\cdot 2^{2}}{h}

 

 

2 Resolvemos las operaciones y calculamos el límite

f'(2)=\lim_{h\rightarrow 0}\cfrac{3(4+4h+h^{2}-12)}{h}

 

f'(2)=\lim_{h\rightarrow 0}\cfrac{3h^{2}+12h}{h}

 

f'(2)=\lim_{h\rightarrow 0}(3h+12)=12

 

2 f(x)=x^{2}+4x-5 en x=1

 

f(x)=x^{2}+4x-5

 

1 Sustituimos el valor de x en la función y en la definición de la derivada

f'(1)=\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{f(1+h)-f(1)}{h}

 

=\lim_{h\rightarrow 0}\cfrac{(1+h)^{2}+4(1+h)-5-(1^{2}+4\cdot 1-5)}{h}2 Resolvemos las operaciones y calculamos el límite

=\lim_{h\rightarrow 0}\cfrac{1+2h+h^{2}+4+4h-5}{h}

 

=\lim_{h\rightarrow 0}\cfrac{h^{2}+6h}{h}

=\lim_{h\rightarrow 0}(h+6)=6

 

3 f(x)=x^{2}-x+1 en x=-1, x=0 y x=1

 

f(x)=x^{2}-x+1 en x=-1, x=0 y  x=1

 

1 Calculamos la derivada utilizando la definición
f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\cfrac{f(x+h)-f(x)}{h}[latex]=\lim_{h\rightarrow 0}\cfrac{(x+h)^{2}-(x+h)-(x^{2}-x+1)}{h}[/latex]

=\lim_{h\rightarrow 0}\cfrac{x^{2}+2hx+h^{2}-x-h+1-x^{2}+x-1}{h}

=\lim_{h\rightarrow 0}\cfrac{2hx+h^{2}-h}{h}

=\lim_{h\rightarrow 0}\cfrac{h(2x+h-1)}{h}

=\lim_{h\rightarrow 0}(2x+h-1)=2x-1
2 Sustituimos x=-1, x=0 y x=1 en la derivada.

f'(-1)=2(-1)-1=-3

f'(0)=2(0)-1=-1

f'(1)=2(1)-1=1

4 f(x)=2x^{2}-6x+5en x=-5

 

f(x)=2x^{2}-6x+5en x=-5

 

1 Calculamos la derivada de la función aplicando la definición
f'(x)=\lim_{h \to 0}\cfrac{2(x+h)^{2}-6(x+h)+5-(2x^{2}-6x+5)}{h}[latex]=\lim_{h \to 0}\cfrac{2x^{2}+4xh+2h^{2}-6x-6h+5-2x^{2}+6x-5}{h}[/latex]

=\lim_{h \to 0}\cfrac{4xh-6h+2h^{2}}{h}

=\lim_{h \to 0}\cfrac{h(4x-6+2h)}{h}=4x-6
2 Sustituimos x=-5 en la derivada

f'(-5)=4(-5)-6=-26

5 f(x)=x^{3}+2x-5 en x=1

 

f(x)=x^{3}+2x-5 en x=1

 

1 Calculamos la derivada de la función aplicando la definiciónf'(x)=\lim_{h \to 0}\cfrac{(x+h)^{3}+2(x+h)-5-(x^{3}+2x-5)}{h}

=\lim_{h \to 0}\cfrac{x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}+2x+2h-5-x^{3}-2x+5}{h}

=\lim_{h \to 0}\cfrac{3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}+2h}{h}

=\lim_{h \to 0}\cfrac{h(3x^{2}+3xh+h^{2}+2)}{h}=3x^{2}+2
2 Sustituimos x=1 en la derivada
f'(1)=3(1)^{2}+2=5

6 f(x)=\cfrac{1}{x} en x=2

 

f(x)=\cfrac{1}{x} en x=21 Calculamos la derivada de la función aplicando la definición

f'(x)=\lim_{h \to 0}\cfrac{\cfrac{1}{x+h}-\cfrac{1}{x}}{h}

=\lim_{h \to 0}\cfrac{\cfrac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}

=\lim_{h \to 0}\cfrac{\cfrac{-h}{x^{2}+xh}}{h}

=\lim_{h \to 0}-\cfrac{1}{x^{2}+xh}=-\cfrac{1}{x^{2}}
2 Sustituimos x=2 en la derivada
f'(x)=-\cfrac{1}{2^{2}}=-\cfrac{1}{4}

7 f(x)=\sqrt{x} en x=3

 

f(x)=\sqrt{x} en x=31 Sustituimos el valor de x=3 en la función y en la definición de la derivada y resolvemos el límite

f'(3)=\lim_{h \to 0}\cfrac{\sqrt{3+h}-\sqrt{3}}{h}

=\lim_{h \to 0}\cfrac{(\sqrt{3+h}-\sqrt{3})(\sqrt{3+h}+\sqrt{3})}{h(\sqrt{3+h}+\sqrt{3})}

=\lim_{h \to 0}\cfrac{(3+h)-3}{h(\sqrt{3+h}+\sqrt{3})}

=\lim_{h \to 0}\cfrac{h}{h(\sqrt{3+h}+\sqrt{3})}

=\lim_{h \to 0}\cfrac{1}{(\sqrt{3+h}+\sqrt{3})}

=\lim_{h \to 0}\cfrac{1}{(\sqrt{3}+\sqrt{3})}

=\lim_{h \to 0}\cfrac{1}{(2\sqrt{3})}

8 f(x)=\cfrac{x}{x-1} en x=2

 

f(x)=\cfrac{x}{x-1} en x=21 Calculamos la derivada de la función aplicando la definición

f'(x)=\lim_{h \to 0}\cfrac{\cfrac{x+h}{x+h-1}-\cfrac{x}{x-1}}{h}

=\lim_{h \to 0}\cfrac{\cfrac{x^{2}-x+hx-h-x^{2}-hx+x}{(x+h-1)(x-1)}}{h}

=\lim_{h \to 0}\cfrac{-1}{(x+h-1)(x-1)}=\cfrac{-1}{(x-1)^{2}}
2 Sustituimos x=2 en la derivada
f'(2)=\cfrac{-1}{(2-1)^{2}}=-1

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗