En esta sección veremos la derivada de la tangente y haremos algunos ejercicios para tener un mejor entendimiento.

 

Recordemos que la tangente se define como

 

\displaystyle \tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}.

 

Por lo tanto, para calcular su derivada, es suficiente conocer la fórmula de derivación de cociente de funciones y la derivada del seno y del coseno. Procedamos a derivar

 

    \begin{align*} \tan'{x} &= \frac{\sin'{x}\cos{x} - \cos'{x}\sin{x}}{\cos^2{x}}\\&= \frac{\cos{x}\cos{x} - (-\sin{x})\sin{x}}{\cos^2{x}}\\&= \frac{\cos^2{x} + \sin^2{x}}{\cos^2{x}}\\&= \frac{1}{\cos^2{x}}\\&= \sec^2{x}\end{align*}

 

Entonces, tenemos que

 

\displaystyle \tan'{x} = \sec^2{x}

 

O bien, en general, con la regla de la cadena

 

\displaystyle \tan'{u(x)} = \sec^2{u(x)}u'(x)

 

Veremos unos ejemplos donde usaremos la derivada de la tangente. En varias ocaciones usaremos la regla de la cadena, te invitamos a leer nuestro artículo dónde tratamos dicho tema en caso de no conocer el método.

 

1 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle g(x) = 3 \tan{(2x)}

 

Integraremos

 

Notemos que en este caso podemos tomar a u(x) = 2x y f(u) = 3 \tan{u} . Así, tenemos que

 

\displaystyle f'(u) = 3 \sec^2{u},

 

mientras que

 

\displaystyle u'(x) = 2.

 

Por lo tanto, nuestra derivada sería

 

    \begin{align*} g'(x) &= f'(u)u'(x)\\&= 3 \sec^2{u} 2 \\&= 6 \sec^2{(2x)} \\\end{align*}

 

2 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle g(x) = \tan{\sqrt{x}}

 

Notemos que en este caso podemos tomar a u(x) = \sqrt{x} y f(u) = \tan{u} . Así, tenemos que

 

\displaystyle f'(u) = \sec^{2}{u},

 

mientras que

 

\displaystyle u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

 

Por lo tanto, nuestra derivada sería

 

    \begin{align*} g'(x) &= f'(u)u'(x)\\&= \sec^{2}{u} \frac{1}{2\sqrt{x}} \\&= \sec^{2}{\sqrt{x}} \frac{1}{2\sqrt{x}}\\&= \frac{\sec^{2}{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\\\end{align*}

 

3 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle g(x) = \tan{(\sin{(\sqrt{5x})})}

 

Notemos que en este caso tenemos triple composición, así que aplicaremos tres veces la regla de la cadena. Primero tomemos

 

\displaystyle g(x) = f(u(x))

 

en donde f(u) = \tan{u} y u(x) = \sin{(\sqrt{5x})}. Tenemos que

 

\displaystyle f'(u) = \sec^2{u}.

 

Ahora, derivemos u(x), pero notemos que u(x) también lo podemos expresar como una composición, en donde u(x) = f_1(u_1(x)), f_1(u_1) = \sin{u_1} y u_1(x) = \sqrt{5x}. sus derivadas son

 

\displaystyle f_1'(u_1) = \cos{u_1},

 

mientras que u_1(x) también lo podemos expresar como una composición, en donde u_1(x) = f_2(u_2(x)), f_2(u_2) = \sqrt{u_2} y u_2(x) = 5x. sus derivadas son

 

\displaystyle f_2'(u_2) = \frac{1}{2\sqrt{u_2}}

 

y

 

\displaystyle u_2'(x) = 5.

 

Por lo tanto, nuestra derivada sería

 

    \begin{align*} g'(x) &= f'(u)u'(x)\\&= f'(u)[f_1'(u_1)u_1'(x)]\\&= f'(u)[f_1'(u_1)[f_2'(u_2)u_2'(x)]]\\&= \sec^2{u} \left[ \cos{u_1} \left[ \frac{1}{2\sqrt{u_2}} (5)\right] \right]\\&= \sec^2{(\sin{(\sqrt{5x})})} \left[ \cos{(\sqrt{5x})} \left[ \frac{5}{2\sqrt{5x}} \right] \right]\\&= \frac{5 \cos{(\sqrt{5x})}\sec^2{(\sin{(\sqrt{5x})})}}{2\sqrt{5x}}\\\end{align*}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗