Derivadas de funciones trigonométricas

 

Veremos ejercicios de derivación de funciones trigonométricas, intentaremos escribir el procedimiento lo más detallado posible. Se considerará que ya se conocen las derivadas de las funciones trigonométricas básicas.

 

1 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle y = \sin{\frac{x}{2}}

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

\displaystyle g \circ f (x) = g(f(x))

 

su derivada es

 

\displaystyle \frac{d}{dx}g(f(x)) = \frac{dg}{df} \frac{df}{dx}= g'(f(x))f'(x).

 

Muchas veces se utiliza g(u(x)) en vez de g(f(x)), es solo notación.

 

Dicho esto, en nuestro ejercicio usaremos g(x) = \sin{x} y f(x) = \frac{x}{2}, entonces, nuestra derivada es

 

    \begin{align*} \left[ \sin{\frac{x}{2}} \right]' &= \left(\cos{\frac{x}{2}}\right) \left( \frac{1}{2}\right)\\&= \frac{\cos{\frac{x}{2}}}{2}\end{align*}

 

2 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = \cos{(7 - 2x)}

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

\displaystyle g \circ f (x) = g(f(x))

 

su derivada es

 

\displaystyle \frac{d}{dx}g(f(x)) = \frac{dg}{df} \frac{df}{dx}= g'(f(x))f'(x).

 

Muchas veces se utiliza g(u(x)) en vez de g(f(x)), es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

    \begin{align*} f'(x) &= \left(-\sin{(7 - 2x)}\right) \left( -2\right)\\&= 2\sin{(7 - 2x)}\end{align*}

 

3 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle y = 3\tan{(2x)}

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

\displaystyle g \circ f (x) = g(f(x))

 

su derivada es

 

\displaystyle \frac{d}{dx}g(f(x)) = \frac{dg}{df} \frac{df}{dx}= g'(f(x))f'(x).

 

Muchas veces se utiliza g(u(x)) en vez de g(f(x)), es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

    \begin{align*} y' &= \left[ 3\tan{(2x)} \right]'\\&= 3 \left(1 + \tan^2{(2x)}\right) \left(2\right)\\&= 6 \left(1 + \tan^2{(2x)}\right)\\\end{align*}

 

4 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = \sec{(5x + 2)}

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

\displaystyle g \circ f (x) = g(f(x))

 

su derivada es

 

\displaystyle \frac{d}{dx}g(f(x)) = \frac{dg}{df} \frac{df}{dx}= g'(f(x))f'(x).

 

Muchas veces se utiliza g(u(x)) en vez de g(f(x)), es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

    \begin{align*} f'(x) &= \left(\sec{(5x + 2)} \tan{(5x + 2)}\right) \left( 5\right)\\&= 5 \sec{(5x + 2)} \tan{(5x + 2)}\end{align*}

 

5 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle y = \sqrt[3]{\sin{x}}

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

\displaystyle g \circ f (x) = g(f(x))

 

su derivada es

 

\displaystyle \frac{d}{dx}g(f(x)) = \frac{dg}{df} \frac{df}{dx}= g'(f(x))f'(x).

 

Muchas veces se utiliza g(u(x)) en vez de g(f(x)), es solo notación.

 

Notemos que

 

\displaystyle y = \sqrt[3]{\sin{x}} = \sin^{\frac{1}{3}}{x}

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

    \begin{align*} y' &= \left(\frac{1}{3} \sin^{-\frac{2}{3}}{x}\right) \left( \cos{x}\right)\\&= \frac{\cos{x}}{3 \sqrt[3]{\sin^{2}{x}}}\end{align*}

 

6 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = \sin^{3}{(3x)}

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

\displaystyle g \circ f (x) = g(f(x))

 

su derivada es

 

\displaystyle \frac{d}{dx}g(f(x)) = \frac{dg}{df} \frac{df}{dx}= g'(f(x))f'(x).

 

Muchas veces se utiliza g(u(x)) en vez de g(f(x)), es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

     \begin{align*} f'(x) &= \left(3\sin^{2}{(3x)}\right) \left( \cos{(3x)}\right) \left( 3\right)\\ &= 9\sin^{2}{(3x)} \cos{(3x)} \end{align*}

 

7 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle y = \cot{(3 - 2x)}

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

\displaystyle g \circ f (x) = g(f(x))

 

su derivada es

 

\displaystyle \frac{d}{dx}g(f(x)) = \frac{dg}{df} \frac{df}{dx}= g'(f(x))f'(x).

 

Muchas veces se utiliza g(u(x)) en vez de g(f(x)), es solo notación.

 

Dicho esto, resultamos nuestra derivada

 

    \begin{align*} y' &= \left(-\text{csc}^{2}{(3 - 2x)}\right) \left( -2\right)\\&= 2\text{csc}^{2}{(3 - 2x)}\end{align*}

 

8 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = \cos{\frac{x + 1}{x - 1}}

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

\displaystyle g \circ f (x) = g(f(x))

 

su derivada es

 

\displaystyle \frac{d}{dx}g(f(x)) = \frac{dg}{df} \frac{df}{dx}= g'(f(x))f'(x).

 

Muchas veces se utiliza g(u(x)) en vez de g(f(x)), es solo notación.

 

Dicho esto, resultamos nuestra derivada

 

    \begin{align*} f'(x) &= \left(-\sin{\frac{x + 1}{x - 1}}\right) \left( \frac{x - 1 - (x + 1)}{(x - 1)^2}\right)\\&= \left(-\sin{\frac{x + 1}{x - 1}}\right) \left( \frac{-2}{(x - 1)^2}\right)\\&= \frac{2}{(x - 1)^2}\sin{\frac{x + 1}{x - 1}}\end{align*}

 

9 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle y = \sqrt{\frac{1 - \sin{x}}{1 + \sin{x}}}

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

\displaystyle g \circ f (x) = g(f(x))

 

su derivada es

 

\displaystyle \frac{d}{dx}g(f(x)) = \frac{dg}{df} \frac{df}{dx}= g'(f(x))f'(x).

 

Muchas veces se utiliza g(u(x)) en vez de g(f(x)), es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

\displaystyle y' = \left(\frac{1}{2\sqrt{\frac{1 - \sin{x}}{1 + \sin{x}}}}\right) \left(\frac{-\cos{x}(1 + \sin{x}) - (1 - \sin{x})\cos{x}}{(1 + \sin{x})^2}\right)

 

simplificando obtenemos

 

    \begin{align*} \left(\frac{1}{2\sqrt{\frac{1 - \sin{x}}{1 + \sin{x}}}}\right) \left(\frac{-2\cos{x}}{(1 + \sin{x})^2}\right) &= -\frac{\cos{x}}{(1 + \sin{x})^2\sqrt{\frac{1 - \sin{x}}{1 + \sin{x}}}}\\&= -\frac{\cos{x}}{\sqrt{\frac{(1 - \sin{x})(1 + \sin{x})^4}{1 + \sin{x}}}}\\&= -\frac{\cos{x}}{\sqrt{(1 - \sin{x})(1 + \sin{x})^3}}\\&= -\frac{\cos{x}}{\sqrt{(1 - \sin^2{x})(1 + \sin{x})^2}}\\&= -\frac{\cos{x}}{\sqrt{1 - \sin^2{x}}(1 + \sin{x})}\\&= -\frac{\cos{x}}{\cos{x}(1 + \sin{x})}\\&= -\frac{1}{1 + \sin{x}}\end{align*}

 

de lo cual se concluye que

 

\displaystyle y' = -\frac{1}{1 + \sin{x}}

 

 

Derivadas de funciones trigonométricas inversas

 

1 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = \text{arcsin}{(1 - 2x^2)}

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

\displaystyle g \circ f (x) = g(f(x))

 

su derivada es

 

\displaystyle \frac{d}{dx}g(f(x)) = \frac{dg}{df} \frac{df}{dx}= g'(f(x))f'(x).

 

Muchas veces se utiliza g(u(x)) en vez de g(f(x)), es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

    \begin{align*} f'(x) &= \left(\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - 2x^2)^2}}\right) \left( -4x\right)\\&= - \frac{4x}{\sqrt{1 - (1 - 2x^2)^2}}\end{align*}

 

2 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle y = \text{arcsin}{\sqrt{x^2 - 4}}

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

\displaystyle g \circ f (x) = g(f(x))

 

su derivada es

 

\displaystyle \frac{d}{dx}g(f(x)) = \frac{dg}{df} \frac{df}{dx}= g'(f(x))f'(x).

 

Muchas veces se utiliza g(u(x)) en vez de g(f(x)), es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

    \begin{align*} y'&= \left(\frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{x^2 - 4})^2}}\right) \left( \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 4}}\right)\left( 2x\right)\\&= \left(\frac{1}{\sqrt{1 - (x^2 - 4)}}\right) \left( \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 4}}\right)\left( 2x\right)\\&= \left(\frac{1}{\sqrt{5 - x^2}}\right) \left( \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 4}}\right)\left( 2x\right)\\&= \frac{x}{\sqrt{5 - x^2}\sqrt{x^2 - 4}}\end{align*}

 

3 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = \text{arccos}{(e^{x})}

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

\displaystyle g \circ f (x) = g(f(x))

 

su derivada es

 

\displaystyle \frac{d}{dx}g(f(x)) = \frac{dg}{df} \frac{df}{dx}= g'(f(x))f'(x).

 

Muchas veces se utiliza g(u(x)) en vez de g(f(x)), es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

    \begin{align*} f'(x) &= \left(- \frac{1}{\sqrt{1 - (e^{x})^2}}\right) \left( e^{x}\right)\\&= - \frac{e^{x}}{\sqrt{1 - e^{2x}}}\end{align*}

 

4 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle y = \text{arctan}{\sqrt{x}}

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

\displaystyle g \circ f (x) = g(f(x))

 

su derivada es

 

\displaystyle \frac{d}{dx}g(f(x)) = \frac{dg}{df} \frac{df}{dx}= g'(f(x))f'(x).

 

Muchas veces se utiliza g(u(x)) en vez de g(f(x)), es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

    \begin{align*} y'&= \left(\frac{1}{1 + (\sqrt{x})^2}\right) \left( \frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\\&= \left(\frac{1}{1 + x}\right) \left( \frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\\&= \frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)}\\\end{align*}

 

5 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = \text{arctan}{\frac{1 + x}{1 - x}}

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

\displaystyle g \circ f (x) = g(f(x))

 

su derivada es

 

\displaystyle \frac{d}{dx}g(f(x)) = \frac{dg}{df} \frac{df}{dx}= g'(f(x))f'(x).

 

Muchas veces se utiliza g(u(x)) en vez de g(f(x)), es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

    \begin{align*} f'(x) &= \left(\frac{1}{1 + \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)^2}\right) \left(\frac{(1)(1 -x) - (-1)(1 + x)}{(1 - x)^2}\right)\\&= \left(\frac{1}{1 + \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)^2}\right) \left(\frac{1 -x + 1 + x}{(1 - x)^2}\right)\\&= \left(\frac{1}{1 + \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)^2}\right) \left(\frac{2}{(1 - x)^2}\right)\\&= \frac{2}{(1 - x)^2 + (1 + x)^2} \\&=\frac{2}{1 - 2x + x^2 + 1 + 2x + x^2}\\&=\frac{2}{2 + 2x^2 }\\&=\frac{1}{1 + x^2}\\\end{align*}

 

 

Derivas de funciones compuestas de logaritmos y trigonométricas

 

1 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle y = \ln{(\sin{x})}

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

\displaystyle g \circ f (x) = g(f(x))

 

su derivada es

 

\displaystyle \frac{d}{dx}g(f(x)) = \frac{dg}{df} \frac{df}{dx}= g'(f(x))f'(x).

 

Muchas veces se utiliza g(u(x)) en vez de g(f(x)), es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

    \begin{align*} y'&= \left(\frac{1}{\sin{x}}\right) \left( \cos{x} \right)\\&= \frac{\cos{x}}{\sin{x}}\\&= \cot{x}\end{align*}

 

2 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = \ln{(\cos{2x})}

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

\displaystyle g \circ f (x) = g(f(x))

 

su derivada es

 

\displaystyle \frac{d}{dx}g(f(x)) = \frac{dg}{df} \frac{df}{dx}= g'(f(x))f'(x).

 

Muchas veces se utiliza g(u(x)) en vez de g(f(x)), es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

    \begin{align*} f'(x) &= \left(\frac{1}{\cos{2x}}\right) \left(-\sin{2x}\right)\left(2\right)\\&= -\frac{2\sin{2x}}{\cos{2x}}\\&= -2\tan{2x}\\\end{align*}

 

3 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle y = \ln{(\tan{(1 - x)})}

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

\displaystyle g \circ f (x) = g(f(x))

 

su derivada es

 

\displaystyle \frac{d}{dx}g(f(x)) = \frac{dg}{df} \frac{df}{dx}= g'(f(x))f'(x).

 

Muchas veces se utiliza g(u(x)) en vez de g(f(x)), es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

    \begin{align*} y'&= \left(\frac{1}{\tan{(1 - x)}}\right) \left( \sec^2{(1 - x)} \right)\left( -1\right)\\&= - \frac{\sec^{2}{(1 - x)}}{\tan{(1 - x)}}\end{align*}

 

4 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = \ln{\sqrt{\frac{1 + \sin{x}}{1 - \sin{x}}}}

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

\displaystyle g \circ f (x) = g(f(x))

 

su derivada es

 

\displaystyle \frac{d}{dx}g(f(x)) = \frac{dg}{df} \frac{df}{dx}= g'(f(x))f'(x).

 

Muchas veces se utiliza g(u(x)) en vez de g(f(x)), es solo notación.

 

Antes de derivar, notemos que por propiedades de logaritmo, nuesta función puede ser escrita como

 

\displaystyle f(x) = \frac{1}{2}(\ln{(1 + \sin{x})} - \ln{(1 - \sin{x})})

 

Tomemos

 

\displaystyle f_1(x) = \ln{(1 + \sin{x})}, \qquad f_2(x) = \ln{(1 - \sin{x})}

 

entonces se tiene

 

\displaystyle f(x) = \frac{1}{2}(f_1(x) - f_2(x)) \qquad \Rightarrow \qquad f'(x) = \frac{1}{2}(f_{1}'(x) - f_{2}'(x))

 

Dicho esto, resolvamos las derivadas. Empecemos con f_{1}(x)

 

    \begin{align*} f_{1}'(x) &= \left(\frac{1}{1 + \sin{x}}\right) \left(\cos{x}\right)\\&= \frac{\cos{x}}{1 + \sin{x}}\\\end{align*}

 

Ahora derivemos f_{2}(x)

 

    \begin{align*} f_{2}'(x) &= \left(\frac{1}{1 - \sin{x}}\right) \left(-\cos{x}\right)\\&= -\frac{\cos{x}}{1 - \sin{x}}\\\end{align*}

 

Por lo tanto

 

    \begin{align*} f'(x) &= \frac{1}{2}(f_{1}'(x) - f_{2}'(x))\\&= \frac{1}{2}\left(\frac{\cos{x}}{1 + \sin{x}} - \left(-\frac{\cos{x}}{1 - \sin{x}} \right)\right)\\&= \frac{1}{2}\left(\frac{\cos{x}}{1 + \sin{x}} + \frac{\cos{x}}{1 - \sin{x}} \right)\\&= \frac{1}{2}\left(\frac{\cos{x}(1 - \sin{x}) + \cos{x}(1 + \sin{x})}{1 - \sin^2{x}} \right)\\&= \frac{1}{2}\left(\frac{2\cos{x}}{\cos^2{x}} \right)\\&= \frac{1}{\cos{x}}\\&= \sec{x}\\\end{align*}

 

5 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = \sin{\sqrt{\ln{(1 - 3x)}}}

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

\displaystyle g \circ f (x) = g(f(x))

 

su derivada es

 

\displaystyle \frac{d}{dx}g(f(x)) = \frac{dg}{df} \frac{df}{dx}= g'(f(x))f'(x).

 

Muchas veces se utiliza g(u(x)) en vez de g(f(x)), es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada. Primero resolveremos la derivada de la función dentro del argumento del seno, esto es, primero derivaremos

 

\displaystyle u(x) = \sqrt{\ln{(1 - 3x)}}

 

    \begin{align*} u'(x)&= \left(\frac{1}{2\sqrt{\ln{(1 - 3x)}}}\right) \left( \frac{1}{1 - 3x}\right)\left( -3\right)\\&= -\frac{3}{2\sqrt{\ln{(1 - 3x)}}(1 - 3x)}\end{align*}

 

Por lo tanto

 

    \begin{align*} f'(x) &= f'(u(x))u'(x)\\&= \left(\cos{\sqrt{\ln{(1 - 3x)}}}\right) \left( -\frac{3}{2\sqrt{\ln{(1 - 3x)}}(1 - 3x)}\right)\\&= -\frac{3 \cos{\sqrt{\ln{(1 - 3x)}}}}{2\sqrt{\ln{(1 - 3x)}}(1 - 3x)}\end{align*}

 

 

Derivadas de funciones compuestas de exponenciales y trigonométricas

 

1 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle y = (\sin{x})^{\cos{x}}

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

\displaystyle g \circ f (x) = g(f(x))

 

su derivada es

 

\displaystyle \frac{d}{dx}g(f(x)) = \frac{dg}{df} \frac{df}{dx}= g'(f(x))f'(x).

 

Muchas veces se utiliza g(u(x)) en vez de g(f(x)), es solo notación.

 

Ademas de tener en cuenta la regla de la cadena, usaremos derivación implicita, esto para poder encontrar la derivada de y.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

    \begin{align*} y &= (\sin{x})^{\cos{x}}\\\ln{y} &= \ln{\left( (\sin{x})^{\cos{x}} \right)}\\\ln{y} &= \cos{x} \ln{(\sin{x})}\\\left( \frac{1}{y} \right)\left(y'\right) &= -\sin{x} \ln{(\sin{x})}\\&+ \cos{x} \left(\frac{1}{\sin{x}}\right) \left( \cos{x} \right)\\\left( \frac{1}{y} \right)\left(y'\right) &= -\sin{x} \ln{(\sin{x})}\\&+ \frac{\cos^2{x}}{\sin{x}} \\y' &= -\sin{x} \ln{(\sin{x})} y\\&+ \frac{\cos^2{x}}{\sin{x}}y \\y' &= -\sin{x} \ln{(\sin{x})} (\sin{x})^{\cos{x}}\\&+ \frac{\cos^2{x}}{\sin{x}}(\sin{x})^{\cos{x}} \\y' &= -(\sin{x})^{1 + \cos{x}}\ln{(\sin{x})} \\&+ \cos^2{x}(\sin{x})^{\cos{x} - 1} \\\end{align*}

 

2 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle y = \sqrt[x^2]{\text{arccos}{(x)}}

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

\displaystyle g \circ f (x) = g(f(x))

 

su derivada es

 

\displaystyle \frac{d}{dx}g(f(x)) = \frac{dg}{df} \frac{df}{dx}= g'(f(x))f'(x).

 

Muchas veces se utiliza g(u(x)) en vez de g(f(x)), es solo notación.

 

Ademas de tener en cuenta la regla de la cadena, usaremos derivación implicita, esto para poder encontrar la derivada de y.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

    \begin{align*} y &= \sqrt[x^2]{\text{arccos}{(x)}}\\\ln{y} &= \frac{1}{x^2}\ln{\text{arccos}{(x)}}\\\left( \frac{1}{y} \right)\left(y'\right) &= - \frac{2}{x^3} \ln{\text{arccos}{(x)}}\\&+ \frac{1}{x^2} \left(\frac{1}{\text{arccos}{(x)}}\right) \left( - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right)\\y' &= - \frac{2y}{x^3} \ln{\text{arccos}{(x)}}\\&+ \frac{y}{x^2} \left(\frac{1}{\text{arccos}{(x)}}\right) \left( - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right)\\y' &= - \frac{2\sqrt[x^2]{\text{arccos}{(x)}}}{x^3} \ln{\text{arccos}{(x)}}\\&+ \frac{\sqrt[x^2]{\text{arccos}{(x)}}}{x^2\text{arccos}{(x)}\sqrt{1 - x^2}} \\\end{align*}

 

3 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle y = \log_{\sin{x}}{(x)}

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

\displaystyle g \circ f (x) = g(f(x))

 

su derivada es

 

\displaystyle \frac{d}{dx}g(f(x)) = \frac{dg}{df} \frac{df}{dx}= g'(f(x))f'(x).

 

Muchas veces se utiliza g(u(x)) en vez de g(f(x)), es solo notación.

 

Primero, dado a las propiedades de logaritmos, podemos hacer cambio de base a logaritmo natural, de donde se sigue que

 

\displaystyle y = \log_{\sin{x}}{(x)} = \frac{\ln{(x)}}{\ln{(\sin{x})}}

 

de donde se sigue que

 

\displaystyle y = \frac{\ln{(x)}}{\ln{(\sin{x})}}

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada, usaremos la derivada de cociente de funciones

 

    \begin{align*} y' &= \frac{\frac{1}{(x)}\ln{(\sin{x})} - \ln{(x)} \left( \frac{1}{\sin{x}}\right)\left( \cos{x}\right)}{\left(\ln{(\sin{x})}\right)^2}\\&= \frac{\frac{1}{x}\ln{(\sin{x})} - \ln{(x)} \frac{\cos{x}}{\sin{x}}}{\left(\ln{(\sin{x})}\right)^2}\\&= \frac{\frac{1}{x}\ln{(\sin{x})} - \ln{(x)} \cot{x}}{\left(\ln{(\sin{x})}\right)^2}\\ \end{align*}

 

 

Derivadas sucesivas

 

Encuentra la formula general de la n-ésima derivada de las siguientes funciones.

 

1 f(x) = 3x^4 + 5x^2 + 2x - 5

 

Para obtener la formula primero debemos obtener las primeras derivadas y ver si encontramos algún patrón

 

    \begin{align*} f^{(1)}(x)&= 12x^3 + 10x + 2\\f^{(2)}(x)&= 36x^2 + 10\\f^{(3)}(x) &= 72 x\\f^{(4)}(x) &= 72\\f^{(5)}(x) &= 0\end{align*}

 

Notemos que la cuarta derivada es una constante, 72, por lo tanto, de la quinta derivada en adelante las derivadas serán siempre cero, esto es

 

\displaystyle f^{(n)}(x) = 0, \qquad n \in \mathbb{N}, n \geq 5

 

2 f(x) = \ln{x}

 

Para obtener la formula primero debemos obtener las primeras derivadas y ver si encontramos algún patrón

 

    \begin{align*} f^{(1)}(x)&= \frac{1}{x}\\f^{(2)}(x)&= - \frac{1}{x^2}\\f^{(3)}(x) &= 2 \frac{1}{x^3}\\f^{(4)}(x) &= - 6 \frac{1}{x^4}\\f^{(5)}(x) &= 24 \frac{1}{x^5}\\\end{align*}

 

Notemos que, en general, la n-ésima derivada está dada por

 

\displaystyle f^{(n)}(x) = (-1)^{n + 1} (n-1)! \frac{1}{x^{n}}, \qquad n \in \mathbb{N}, n \geq 1

 

3 f(x) = \sin{x}

 

Para obtener la formula primero debemos obtener las primeras derivadas y ver si encontramos algún patrón

 

    \begin{align*} f^{(1)}(x)&= \cos{x} = \sin{\left(\frac{\pi}{2} + x\right)}\\f^{(2)}(x)&= \cos{\left(\frac{\pi}{2} + x\right)} = \sin{\left(\frac{2\pi}{2} + x\right)}\\f^{(3)}(x) &= \cos{\left(\frac{2\pi}{2} + x\right)} = \sin{\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)}\\\end{align*}

 

Notemos que con estas primeras derivadas se obtiene que la n-ésima derivada tiene la forma

 

\displaystyle f^{(n)}(x) = \sin{\left(\frac{n \pi}{2} + x\right)}, \qquad n \in \mathbb{N}, n \geq 0

 

4 f(x) = e^{-3x}

 

Para obtener la formula primero debemos obtener las primeras derivadas y ver si encontramos algún patrón

 

    \begin{align*} f^{(1)}(x)&= -3 e^{-3x}\\f^{(2)}(x)&= 9 e^{-3x}\\f^{(3)}(x) &= -27 e^{-3x}\\f^{(4)}(x) &= 81 e^{-3x}\\\end{align*}

 

Notemos que la fórmula de la n-ésima derivada está dada por

 

\displaystyle f^{(n)}(x) = (-3)^{n}e^{-3x}, \qquad n \in \mathbb{N}, n \geq 0

 

 

Derivación implícita

 

En los siguientes ejercicio derivaremos implícitamente. Esta derivación suele ocurrir cuando no podemos despejar a una variable en términos de otra, así que derivamos las variables en términos de la misma variable independiente, esto es, la derivada de y la escribiremos como y' cada que deba aparecer.

 

1 x^2y - xy^2 + y^2 = 7

 

Procedamos derivando implícitamente. Nuestra función es

 

\displaystyle x^2y - xy^2 + y^2 = 7

 

derivando obtenemos

 

\displaystyle [(2x)(y) +x^2y'] - [(1)(y^2) + (x)(2yy')] + 2yy' = 0

 

Escribamos la derivada de una forma más conveniente

 

\displaystyle 2xy +x^2y' - y^2 - 2xyy'+ 2yy' = 0

 

Dejemos los términos con y' en el lado izquierdo de la expresión

 

\displaystyle x^2y' - 2xyy'+ 2yy' = -2xy + y^2

 

Podemos despejar y' del lado izquierdo

 

\displaystyle y'(x^2- 2xy + 2y) = y^2 - 2xy

 

Por lo tanto, nuestra derivada es

 

\displaystyle y' = \frac{y^2 - 2xy}{x^2 - 2xy + 2y}

 

2 x^2 \sin{(x + y)} - 5ye^{x} = 3

 

Primero escribiremos nuestra expresión de una forma un poco más conveniente, posteriormente empezaremos a derivar

 

\displaystyle x^2 \sin{(x + y)} = 3 + 5ye^{x}

 

Derivemos

 

\displaystyle 2x\sin{(x + y)} + x^2(\cos{(x + y)}(1 + y')) = 5y'e^{x} + 5ye^{x}

 

Simplifiquemos

 

\displaystyle 2x\sin{(x + y)} + x^2(\cos{(x + y)} - 5ye^{x} = 5y'e^{x} - x^2\cos{(x + y)}y'

 

Notemos que podemos factorizar y' del lado derecho

 

\displaystyle 2x\sin{(x + y)} + x^2(\cos{(x + y)} - 5ye^{x} = y'(5e^{x} - x^2\cos{(x + y)})

 

esto nos da como resultado

 

\displaystyle y' = \frac{2x\sin{(x + y)} + x^2(\cos{(x + y)} - 5ye^{x}}{5e^{x} - x^2\cos{(x + y)}}

 

 

Problemas adicionales de derivación

 

1 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle y = \frac{x + 2}{x^2}

 

Para obtener esta derivada usaremos la fórmula de derivación de cociente de funciones

 

    \begin{align*} y' &= \frac{1(x^2)-(2x)(x + 2)}{(x^2)^2}\\&= \frac{x^2-2x^2 - 4x}{x^4}\\&= \frac{-x^2 - 4x}{x^4}\\&= \frac{-x(x + 4)}{x^4}\\&= -\frac{x + 4}{x^3}\\&= -\frac{x }{x^3} - \frac{4}{x^3}\\&= -\frac{1 }{x^2} - \frac{4}{x^3}\\&= -\frac{1 }{x^2} \left( 1 + \frac{4}{x}\right)\\\end{align*}

 

2 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = 7^{3x^2 - 1}

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

\displaystyle g \circ f (x) = g(f(x))

 

su derivada es

 

\displaystyle \frac{d}{dx}g(f(x)) = \frac{dg}{df} \frac{df}{dx}= g'(f(x))f'(x).

 

Muchas veces se utiliza g(u(x)) en vez de g(f(x)), es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

    \begin{align*} f'(x) &= \left(\ln{(7)}7^{3x^2 - 1}\right) \left( 6x\right)\\&= 6x \ln{(7)} 7^{3x^2 - 1}\end{align*}

 

3 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle y = \log_{x}{\sqrt{x}}

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

\displaystyle g \circ f (x) = g(f(x))

 

su derivada es

 

\displaystyle \frac{d}{dx}g(f(x)) = \frac{dg}{df} \frac{df}{dx}= g'(f(x))f'(x).

 

Muchas veces se utiliza g(u(x)) en vez de g(f(x)), es solo notación.

 

Antes de resolver, aplicaremos propiedades de logaritmos para simplificar la expresión a algo más amigable

 

    \begin{align*} y &= \log_{x}{\sqrt{x}}\\x^y&= \sqrt{x}\\y \ln{x} &= \frac{1}{2} \ln{x}\\y &= \frac{1}{2}\\\end{align*}

 

Dicho esto, la derivada de una constante es inmediata

 

    \begin{align*} y' &= 0\\\end{align*}

 

4 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle y = \ln{\sin{\sqrt{x}}}

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

\displaystyle g \circ f (x) = g(f(x))

 

su derivada es

 

\displaystyle \frac{d}{dx}g(f(x)) = \frac{dg}{df} \frac{df}{dx}= g'(f(x))f'(x).

 

Muchas veces se utiliza g(u(x)) en vez de g(f(x)), es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

    \begin{align*} y' &= \left(\frac{1}{\sin{\sqrt{x}}}\right) \left(\cos{\sqrt{x}}\right)\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\\&= \left(\cot{\sqrt{x}}\right)\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\\&= \frac{\cot{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\end{align*}

 

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Marta

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