Derivada de una función en un punto

 

La derivada de la función f(x) en el punto  x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente diferencial cuando el incremento de la variable independiente, x, tiende a cero:

 

 f'(a) :=  L = \lim_{x\to a}\dfrac{\Delta f}{\Delta x}= \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \equiv  \lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

 

Gráficamente, el cociente obtenido corresponde a la pendiente de la recta tangente en el punto (a, f(a)), recordando que la pendiente de una recta corresponde al cociente de la diferencia de la variable dependiente con respecto a la variable independiente:  m=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}.

 

 

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Ejemplos de derivadas de una función en un punto

 

1 Hallar la derivada de la función  f(x) = 3x^2 en el punto  x = 2.

 

     \begin{align*} f'(2)&=\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim_{h\to 0}\dfrac{3(2+h)^2-3(2^2)}{h}\\  &= \lim_{h\to 0}\dfrac{3(h^2+4h+4)-12}{h}= \lim_{h\to 0}\dfrac{3h^2+12h}{h}\\ &= \lim_{h\to 0}\dfrac{h(3h+12)}{h}= \lim_{h\to 0}3h+12\\ &=12 \end{align*}

 

2 Calcular la derivada de la función  f(x) = x^2 + 4x-5 en  x = 1.

 

     \begin{align*} f'(1)&=\lim_{h \to 0} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\dfrac{(1+h)^2+4(1+h)-5-(1^2+4(1)-5)}{h}\\  &= \dfrac{h^2+2h+1+4h+4-1-4}{h}\\ &= \lim_{h\to 0}\dfrac{h(h+6)}{h}= \lim_{h\to 0}h+6\\ &=6 \end{align*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗