Estas funciones son del tipo:

 

f(x) = u^v, \ \ \ u>0

 

Para derivarla se puede utilizar esta fórmula:

 

f'(x) = v \cdot u^{v - 1} \cdot  u' + u^v \cdot v' \cdot \ln u

 

la cual se obtiene de tomar logaritmos y después derivar como se muestra a continuación

 

1 Escribimos la función como

 

y = u^v

 

2Tomamos logaritmos en los dos miembros

 

\ln y = \ln u^v

 

3En el segundo miembro aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia

 

\ln y = v \cdot \ln u

 

4Derivamos en los dos miembros

 

\cfrac{y'}{y} = v' \cdot \ln u + v \cdot \cfrac{u'}{u}

 

5Despejamos la derivada de la función

 

y' = \left ( v' \cdot \ln u + v \cdot \cfrac{u'}{u} \right ) \cdot y

 

6Sustituimos el valor de y

 

y' = v \cdot u^{v - 1} \cdot u' + u^v \cdot v' \cdot \ln u

 

En general se pueden utilizar las expresiones dadas en 5 y 6.

 

Ejemplo: Derivar la función f(x) = x^{sen \, x} tomando logaritmos

 

1 Escribimos la función como

 

y = x^{sen \, x}

 

2Tomamos logaritmos en los dos miembros

 

\ln y = \ln x^{sen \, x}

 

3En el segundo miembro aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia

 

\ln y = sen \, x \cdot \ln x

 

4Derivamos en los dos miembros

 

\cfrac{y'}{y} = cos \, x \cdot \ln x + \cfrac{1}{x} \cdot sen \, x

 

5Despejamos la derivada de la función

 

y' = \left ( cos \, x \cdot \ln x + \cfrac{1}{x} \cdot sen \, x \right ) \cdot y

 

6Sustituimos y

 

y' = \left ( cos \, x \cdot \ln x + \cfrac{1}{x} \cdot sen \, x \right ) \cdot x^{sen \, x}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗