Ejercicios propuestos

1Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de {f(x) = |x^{2} - 3x - 10|}

 

1 Escribimos el valor absoluto como una función por partes

 

{f(x) = \left \{ \begin{array}{rl} x^2 - 3x - 10 & si \ x \leq -2 \\\\ -x^2 + 3x + 10 & si \ -2 < x < 5 \\\\ x^2 - 3x - 10 & si \ x \geq 5 \end{array} \right. }

 

Derivamos la función

 

{f'(x) = \left \{ \begin{array}{rl} 2x - 3 & si \ x < -2 \\\\ -2x + 3 & si \ -2 < x < 5 \\\\ 2x - 3 & si \ x > 5 \end{array} \right. }

 

2 Calculamos las raíces de la derivada primera, para esto igualamos la derivada a cero y resolvemos para {x}. Realizamos para cada parte de la función

 

si {2x - 3 = 0} para {\{x | x < -2\}}, entonces {x = 3/2}, pero este valor no pertenece a {\{x | x < -2\}}; así {f'(x)} no tiene raíces en {\{x | x < -2\}}

 

si {-2x + 3 = 0} para {\{x | -2 < x < 5\}}, entonces {x = 3/2}, el cual pertenece a {\{x | x < -2\}}; así {f'(x)} tiene una raíz en {\{x | x < -2\}}

 

si {2x - 3 = 0} para {\{x | x > 5\}}, entonces {x = 3/2}, pero este valor no pertenece a {\{x | x > 5\}}; así {f'(x)} no tiene raíces en {\{x | x > 5\}}

 

Por otra parte en los puntos {x = -2} y {x = 5} la derivada no existe, para esto calculamos límites laterales para la derivada en estos puntos

 

{\begin{array}{rcl}f'(-2^-) & = & \lim_{x \to -2^-}f'(x) \\\\ & = & \lim_{x \to -2^-}(2x - 3) \\\\ & = & -7 \end{array}}

 

{\begin{array}{rcl}f'(-2^+) & = & \lim_{x \to -2^+}f'(x) \\\\ & = & \lim_{x \to -2^+}(-2x + 3) \\\\ & = & 7 \end{array}}

 

como las derivadas laterales no coinciden, entonces la derivada {f'(-2)} no existe. De igual manera realizamos el cálculo para {x = 5}

 

{\begin{array}{rcl}f'(5^-) & = & \lim_{x \to 5^-}f'(x) \\\\ & = & \lim_{x \to 5^-}(-2x + 3) \\\\ & = & -7 \end{array}}

 

{\begin{array}{rcl}f'(5^+) & = & \lim_{x \to 5^+}f'(x) \\\\ & = & \lim_{x \to 5^+}(2x - 3) \\\\ & = & 7 \end{array}}

 

como las derivadas laterales no coinciden, entonces la derivada {f'(5)} no existe.

 

3 Formamos intervalos abiertos con los ceros de la derivada primera y los puntos donde la derivada no existe. Nos apoyamos con la representación de los puntos en la recta real

funciones crecientes y decrecientes 1

 

Los intervalos que obtenemos son {(- \infty, -2), (-2, 3/2), (3/2, 5) } y {(5, \infty)}

 

4 Tomamos un valor de cada intervalo (puedes tomar cualquier valor en el intervalo) y hallamos el signo que tiene en la derivada primera

 

{\begin{array}{lcl} -3 \in (-\infty, -2) & \Longrightarrow & f'(-3) = 2(-3) - 3 < 0 \\\\ 0 \in \left(-2, \displaystyle \frac{3}{2} \right) & \Longrightarrow & f'(0) = -2(0) + 3 > 0 \\\\ 3 \in \left(\displaystyle \frac{3}{2}, 5 \right) & \Longrightarrow & f'(3) = -2(3) + 3 < 0 \\\\ 6 \in (5, \infty) & \Longrightarrow & f'(6) = 2(6) - 3 > 0 \end{array}}

 

funciones crecientes y decrecientes 2

 

5 Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento

 

De crecimiento: {\left(-2, \displaystyle \frac{3}{2} \right) \cup (5, \infty)}

De decrecimiento: {(-\infty, -2) \cup \left( \displaystyle \frac{3}{2}, 5 \right)}

 

funciones crecientes y decrecientes 3

2Hallar los intervalos donde es creciente y decreciente la función {f(x) = \displaystyle \frac{x^2 - x + 3}{x - 2}}

 

1 Derivamos la función

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \frac{(2x - 1)(x - 2)-(1)(x^2 - x +3)}{(x - 2)^2} \\\\ & = & \displaystyle \frac{x^2 - 4x - 1}{(x - 2)^2} \end{array}}

 

2 Calculamos las raíces de la derivada primera (si existen), para esto igualamos la derivada a cero y resolvemos para {x}

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & 0 \\\\ \displaystyle \frac{x^2 - 4x - 1}{(x - 2)^2} & = & 0 \end{array}}

 

aplicando la fórmula general de grado 2 al numerador se tiene que la ecuación anterior se anula en {x = 2 \pm \sqrt{5}}. Observamos que la función y su derivada poseen una discontinuidad en {x = 2}.

 

3 Formamos intervalos abiertos con la discontinuidad y los ceros de la derivada. Nos apoyamos con la representación de los puntos en la recta real

 

funciones crecientes y decrecientes 4

 

Los intervalos que obtenemos son {(- \infty, 2 - \sqrt{5}), (2 - \sqrt{5}, -2), (-2, 2 + \sqrt{5})} y {(2 + \sqrt{5}, \infty)}

 

4 Tomamos un valor de cada intervalo (puedes tomar cualquier valor en el intervalo) y hallamos el signo que tiene en la derivada primera

 

Para el intervalo (-\infty , 2 - \sqrt{5}) tomamos x = -1, sustituimos en la derivada y obtenemos

{f'(-1) = \displaystyle \frac{(-1)^2 - 4(-1) - 1}{(-1 - 2)^2} > 0}

 

Para el intervalo (2 - \sqrt{5}, 2) tomamos x = 0, sustituimos en la derivada y obtenemos

{f'(0) = \displaystyle \frac{(0)^2 - 4(0) - 1}{(0 - 1)^2} < 0}

 

Para el intervalo (2 , 2 + \sqrt{5}) tomamos x = 3, sustituimos en la derivada y obtenemos

{f'(3) = \displaystyle \frac{(3)^2 - 4(3) - 1}{(3 - 2)^2} < 0}

 

Para el intervalo (2 + \sqrt{5}, \infty) tomamos x = 5, sustituimos en la derivada y obtenemos

{f'(5) = \displaystyle \frac{(5)^2 - 4(5) - 1}{(5 - 1)^2} > 0}

 

funciones crecientes y decrecientes 5

 

5 Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento

 

De crecimiento: {(-\infty, 2 - \sqrt{5}) \cup (2 + \sqrt{5}, \infty)}

De decrecimiento: {(2 - \sqrt{5}, 2) \cup (2, 2 + \sqrt{5})}

 

funciones crecientes y decrecientes 6

3Hallar los intervalos donde es creciente y decreciente la función cúspide {f(x) = \displaystyle 1 - (x-2)^{2/3}}

 

1 Derivamos la función

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle - \frac{2}{3}(x - 2)^{-1/3} \\\\ & = & -\displaystyle \frac{2}{3(x - 2)^{1/3}} \end{array}}

 

2 Calculamos las raíces de la derivada primera (si existen), para esto igualamos la derivada a cero y resolvemos para {x}

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & 0 \\\\ \displaystyle -\frac{2}{3(x - 2)^{1/3}} & = & 0 \end{array}}

 

no existen valores de {x} en los números reales que satisfagan la ecuación anterior, por tanto la derivada primera no posee raíces. Observamos que la derivada no existe en {x = 2}.

 

3 Formamos intervalos abiertos con la discontinuidad, en este caso no existen ceros de la derivada. Nos apoyamos con la representación de los puntos en la recta real

 

funciones crecientes y decrecientes 7

 

Los intervalos que obtenemos son {(- \infty, 2)} y {(2, \infty)}

 

4 Tomamos un valor de cada intervalo (puedes tomar cualquier valor en el intervalo) y hallamos el signo que tiene en la derivada primera

 

Para el intervalo (-\infty , 2) tomamos x = 0, sustituimos en la derivada y obtenemos

{f'(0) = \displaystyle -\frac{2}{3(0 - 2)^{1/3}} > 0}

 

Para el intervalo (2, \infty) tomamos x = 3, sustituimos en la derivada y obtenemos

{f'(3) = \displaystyle -\frac{2}{3(3 - 2)^{1/3}} < 0}

 

funciones crecientes y decrecientes 8

 

5 Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento

 

De crecimiento: {(-\infty, 2)}

De decrecimiento: {(2, \infty)}

 

funciones crecientes y decrecientes 9

4Hallar los intervalos donde es creciente y decreciente la función {f(x) = \displaystyle \frac{x}{x^2 + 4}}

 

1 Derivamos la función

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \frac{(1)(x^2 + 4)-(2x)(x)}{\left(x^2 + 4\right)^2} \\\\ & = & \displaystyle \frac{4 - x^2}{\left(x^2 + 4\right)^2} \end{array}}

 

2 Calculamos las raíces de la derivada primera (si existen), para esto igualamos la derivada a cero y resolvemos para {x}

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & 0 \\\\ \displaystyle \frac{4 - x^2}{\left(x^2 + 4\right)^2} & = & 0 \\\\ \displaystyle \frac{(2 - x)(2 + x)}{\left( x^ + 4 \right)^2} & = & 0 \end{array}}

 

La ecuación anterior se anula en {x = \pm 2}. Observamos que el denominador de la ecuación nunca es cero.

 

3 Formamos intervalos abiertos con los ceros de la derivada. Nos apoyamos con la representación de los puntos en la recta real

 

funciones crecientes y decrecientes 10

 

Los intervalos que obtenemos son {(- \infty, -2), (-2, 2)} y {(2, \infty)}

 

4 Tomamos un valor de cada intervalo (puedes tomar cualquier valor en el intervalo) y hallamos el signo que tiene en la derivada primera

 

Para el intervalo (-\infty , -2) tomamos x = -3, sustituimos en la derivada y obtenemos

{f'(-3) = \displaystyle \frac{4 - (-3)^2}{\left((-3)^2 + 4\right)^2} < 0}

 

Para el intervalo (-2, 2) tomamos x = 0, sustituimos en la derivada y obtenemos

{f'(0) = \displaystyle \frac{4 - (0)^2}{\left((0)^2 + 4\right)^2} > 0}

 

Para el intervalo (2 , \infty) tomamos x = 3, sustituimos en la derivada y obtenemos

{f'(3) = \displaystyle \frac{4 -(3)^2}{\left((3)^2 + 4\right)^2} < 0}

 

funciones crecientes y decrecientes 11

 

5 Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento

 

De crecimiento: {(-2, 2)}

De decrecimiento: {(-\infty, -2) \cup (2, \infty)}

 

funciones crecientes y decrecientes 12

5Hallar los valores de {k} para que la función {f(x) = kx - sen\, 3x} sea extrictamente creciente.

 

1 Derivamos la función

 

{f'(x) = k - 3 cos\, 3x}

 

2 Para que la función sea estrictamente creciente se requiere que la derivada sea mayor a cero

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & > & 0 \\\\ k - 3 cos \, 3x & > & 0 \end{array}}

 

Sabemos que {-1 \leq cos \, 3x \leq 1}, entonces {-3 \leq 3 cos\, 3x \leq 3}.

 

Basta elegir {k > 3} para garantizar que {k - 3 cos \, 3x >0} para cualquier valor {x \in (-\infty, \infty)}

 

funciones crecientes y decrecientes 13

Para consultar la teoría y ejemplos pulsa aquí.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗