¿Qué son las funciones implicitas?

Las funciones implícitas son aquellas que se encuentran en términos de 'x' e 'y', y ninguna de las variables se encuentra despejada. Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar 'y', incluso, en algunas funciones implícitas no es posible despejar 'y'; basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas de derivación y teniendo presente que:

 

A x'=1

 

B En general y'≠1

 

C Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'

 

D Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo:

 

y'=\cfrac{-F'_{x}}{F'_{y}}

 

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Ejercicios Propuestos

 

Deriva las siguientes Funciones Implícitas

 

1 6x-2y=0

Derivar 6x-2y=0

 

1 Derivamos cada término por separado. El que contiene a 'y' con respecto a 'y' y el que contiene a 'x' con respecto a 'x'.

 

6-2y'=0

 

2 Despejamos y'

 

-2y'=-6

 

y'=\cfrac{-6}{-2}

 

y'=3

 

2 y^{3}-4xy^{2}=x^{3}

Derivar y^{3}-4xy^{2}=x^{3}

 

1 Derivamos cada término por separado. El que contiene a 'y' con respecto a 'y' y el que contiene a 'x' con respecto a 'x'. Los términos que contiene ambas variables se derivan 2 veces, una con respecto a 'x' y otra con respecto a 'y'

 

3y^{2}y'-4y^{2}-8xyy'=3x^{2}

 

2 Debemos despejar y', para ello podemos dejar de un lado los términos que contengan a y' y los que no lo contengan los pasamos al otro lado

 

3y^{2}y'-8xyy'=3x^{2}-4y^{2}

 

3 Factorizamos por factor común y despejamos

 

y'(3y^{2}-8xy)=3x^{2}-4y^{2}

 

y'=\cfrac{3x^{2}-4y^{2}}{3y^{2}-8xy}

 

3 \sqrt{x+y}=xy

Derivar \sqrt{x+y}=xy

 

1 Derivamos cada término por separado. En este caso debemos derivar ambos miembros, una vez con respecto a 'x' y otra con respecto a y.

 

\cfrac{1}{2\sqrt{x+y}}+\cfrac{y'}{2\sqrt{x+y}}=y+xy'

 

2 Debemos despejar y', para ello podemos dejar de un lado los términos que contengan a y' y los que no lo contengan los pasamos al otro lado

 

\cfrac{y'}{2\sqrt{x+y}}-xy'=y-\cfrac{1}{2\sqrt{x+y}}

 

3 Resolvemos las operaciones con fracciones, factorizamos por factor común y despejamos y'

 

\cfrac{1-2x\sqrt{x+y}}{2\sqrt{x+y}}\; y'=\cfrac{2y\sqrt{x+y}-1}{2\sqrt{x+y}}

 

y'=\cfrac{2y\sqrt{x+y}-1}{1-2x\sqrt{x+y}}

 

4 x=\cfrac{3x-2y}{3x+2y}

Derivar x=\cfrac{3x-2y}{3x+2y}

 

1 Derivamos cada término por separado, aquellos que contengan a 'x' e 'y' se derivan dos veces, una por cada variable. En el segundo miembro de la igualdad debemos usar la fórmula para derivar un cociente.

 

1=\cfrac{(3x+2y)\cdot 3-(3x-2y)\cdot 3}{(3x+2y)^{2}}+ \cfrac{-2\cdot (3x+2y)-2\cdot (3x-2y)}{(3x+2y)^{2}}\cdot y'

 

1=\cfrac{9x+6y-9x+6y}{(3x+2y)^{2}}- \cfrac{-6x-4y-6x+4y}{(3x+2y)^{2}}\cdot y'

 

1=\cfrac{12y}{(3x+2y)^{2}}- \cfrac{12x}{(3x+2y)^{2}}\cdot y'

 

2 Debemos despejar y', para ello podemos dejar de un lado los términos que contengan a y' y los que no lo contengan los pasamos al otro lado y resolvemos las operaciones con fracciones

 

\cfrac{12x}{(3x+2y)^{2}}\cdot y'=\cfrac{12y}{(3x+2y)^{2}}-1

 

12x\cdot y'=12y-(3x+2y)^2

 

y'=\cfrac{y}{x}-\cfrac{(3x-2y)^2}{12x}

 

5 y= \ln xy

Derivar y= \ln xy

 

1 Derivamos cada término por separado. El que contiene a 'y' con respecto a 'y' y el que contiene a 'x' con respecto a 'x'. Los términos que contiene ambas variables se derivan 2 veces, una con respecto a 'x' y otra con respecto a 'y'

 

y'=\cfrac{y}{xy}+\cfrac{x}{xy}\cdot y'

 

y'=\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}\cdot y'

 

2 Debemos despejar y', para ello podemos dejar de un lado los términos que contengan a y' y los que no lo contengan los pasamos al otro lado

 

y'-\cfrac{1}{y}\cdot y'=\cfrac{1}{x}

 

3 Factorizamos por factor común y despejamos y'

 

y'\left ( 1-\cfrac{1}{y} \right )= \cfrac{1}{x}

 

y'\left ( \cfrac{y-1}{y} \right )=\cfrac{1}{x}

 

y'=\cfrac{y}{xy-x}

 

6 e^{\cos y}-e^{\sin x}=\sin y

Derivar e^{\cos y}-e^{\sin x}=\sin y

 

1 Al tener varias funciones trascendentes pasaremos todos los términos a un miembro de la igualdad y aplicaremos: y'=\cfrac{-F'_{x}}{F'_{y}}

 

e^{\cos y}-e^{\sin x}-\sin y=0

 

2 Calculamos -F'(x) y F'(y)

 

-F'(x)=e^{\sin x}\cdot \cos x

 

F'(y)=-e^{\cos y}\cdot \sin y -\cos y

 

3 Sustituimos en y'=\cfrac{-F'_{x}}{F'_{y}}

 

y'=-\cfrac{e^{\sin x}\cdot \cos x}{e^{\cos y}\cdot \sin y +\cos y}

 

7 y=\ln \left [\sin (x+y) \right ]

Derivar y=\ln \left [\sin (x+y) \right ]

 

1 Al tener varias funciones trascendentes pasaremos todos los términos a un miembro de la igualdad y aplicaremos: y'=\cfrac{-F'_{x}}{F'_{y}}

 

y-\ln \left [\sin (x+y) \right ]=0

 

2 Calculamos -F'(x) y F'(y)

 

-F'(x)=\cfrac{\cos (x+y)}{\sin (x+y)}=\cot (x+y)

 

F'(y)=1-\cfrac{\cos (x+y)}{\sin (x+y)}=1-\cot (x+y)

 

3 Sustituimos en y'=\cfrac{-F'_{x}}{F'_{y}}

 

y'=\cfrac{\cot (x+y)}{1-\cot (x+y)}

 

8 y\cdot \textrm{arccot} \; x +x-5=0

Derivar y\cdot \textrm{arccot} \; x +x-5=0

 

1 Calculamos -F'(x) y F'(y)]

 

-F'(x)=\cfrac{y}{1+x^{2}}-1=\cfrac{y-1-x^{2}}{1+x^{2}}

 

F'(y)=\textrm{arccot} \; x

 

2 Sustituimos en y'=\cfrac{-F'_{x}}{F'_{y}}

 

y'=\cfrac{\cfrac{y-1-x^{2}}{1+x^{2}}}{\textrm{arccot} \; x}=\cfrac{y-1-x^{2}}{(1+x^{2})\cdot \textrm{arccot} \; x}

 

9 \cfrac{y}{\tan xy}+x=5

Derivar \cfrac{y}{\tan xy}+x=5

 

1 Multiplicamos ambos miembros por \tan xy para eliminar la fracción y pasamos todos los términos a un sólo miembro de la igualdad

 

\tan xy \left (\cfrac{y}{\tan xy}+x \right )=5\tan xy

 

y+x\tan xy =5\tan xy

 

y+x\tan xy -5\tan xy =0

 

2 Calculamos -F'(x) y F'(y)

 

-F'(x)=-xy\sec ^{2}xy-\tan xy+5y\sec ^{2}xy

 

F'(y)=1+x^{2}\sec ^{2}xy-5x\sec ^{2}xy

 

3 Sustituimos en y'=\cfrac{-F'_{x}}{F'_{y}}

 

y'=\cfrac{5y\sec ^{2}xy-xy\sec ^{2}xy-\tan xy}{1+x^{2}\sec ^{2}xy-5x\sec ^{2}xy}

 

10 y\arccos (e^{x})=\sin y

Derivar y\arccos (e^{x})=\sin y

1 Al tener varias funciones trascendentes pasaremos todos los términos a un miembro de la igualdad y aplicaremos: y'=\cfrac{-F'_{x}}{F'_{y}}

 

y\arccos (e^{x})-\sin y=0

 

2 Calculamos -F'(x) y F'(y)

 

-F'(x)=\cfrac{y\cdot e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}

 

F'(y)=\arccos (e^{x})-\cos y

 

3 Sustituimos en y'=\cfrac{-F'_{x}}{F'_{y}}

 

y'=\cfrac{\cfrac{y\cdot e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}}{\arccos (e^{x})-\cos y}=\cfrac{y\cdot e^{x}}{(\arccos (e^{x})-\cos y)\sqrt{1-e^{2x}}}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗