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Marta

28 septiembre 2020

Temas

¿Qué son las funciones implicitas?
Ejercicios Propuestos

¿Qué son las funciones implicitas?

Las funciones implícitas son aquellas que se encuentran en términos de 'x' e 'y', y ninguna de las variables se encuentra despejada. Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar 'y', incluso, en algunas funciones implícitas no es posible despejar 'y'; basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas de derivación y teniendo presente que:

A x'=1

B En general y'≠1

C Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'

D Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo:

$y'=\cfrac{-F'_{x}}{F'_{y}}$

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Ejercicios Propuestos

Deriva las siguientes Funciones Implícitas

1 $6x-2y=0$

Derivar $6x-2y=0$

1 Derivamos cada término por separado. El que contiene a 'y' con respecto a 'y' y el que contiene a 'x' con respecto a 'x'.

$6-2y'=0$

2 Despejamos y'

$-2y'=-6$

$y'=\cfrac{-6}{-2}$

$y'=3$

2 $y^{3}-4xy^{2}=x^{3}$

Derivar $y^{3}-4xy^{2}=x^{3}$

1 Derivamos cada término por separado. El que contiene a 'y' con respecto a 'y' y el que contiene a 'x' con respecto a 'x'. Los términos que contiene ambas variables se derivan 2 veces, una con respecto a 'x' y otra con respecto a 'y'

$3y^{2}y'-4y^{2}-8xyy'=3x^{2}$

2 Debemos despejar y', para ello podemos dejar de un lado los términos que contengan a y' y los que no lo contengan los pasamos al otro lado

$3y^{2}y'-8xyy'=3x^{2}-4y^{2}$

3 Factorizamos por factor común y despejamos

$y'(3y^{2}-8xy)=3x^{2}-4y^{2}$

$y'=\cfrac{3x^{2}-4y^{2}}{3y^{2}-8xy}$

3 $\sqrt{x+y}=xy$

Derivar $\sqrt{x+y}=xy$

1 Derivamos cada término por separado. En este caso debemos derivar ambos miembros, una vez con respecto a 'x' y otra con respecto a y.

$\cfrac{1}{2\sqrt{x+y}}+\cfrac{y'}{2\sqrt{x+y}}=y+xy'$

2 Debemos despejar y', para ello podemos dejar de un lado los términos que contengan a y' y los que no lo contengan los pasamos al otro lado

$\cfrac{y'}{2\sqrt{x+y}}-xy'=y-\cfrac{1}{2\sqrt{x+y}}$

3 Resolvemos las operaciones con fracciones, factorizamos por factor común y despejamos y'

$\cfrac{1-2x\sqrt{x+y}}{2\sqrt{x+y}}\; y'=\cfrac{2y\sqrt{x+y}-1}{2\sqrt{x+y}}$

$y'=\cfrac{2y\sqrt{x+y}-1}{1-2x\sqrt{x+y}}$

4 $x=\cfrac{3x-2y}{3x+2y}$

Derivar $x=\cfrac{3x-2y}{3x+2y}$

1 Derivamos cada término por separado, aquellos que contengan a 'x' e 'y' se derivan dos veces, una por cada variable. En el segundo miembro de la igualdad debemos usar la fórmula para derivar un cociente.

$1=\cfrac{(3x+2y)\cdot 3-(3x-2y)\cdot 3}{(3x+2y)^{2}}+ \cfrac{-2\cdot (3x+2y)-2\cdot (3x-2y)}{(3x+2y)^{2}}\cdot y'$

$1=\cfrac{9x+6y-9x+6y}{(3x+2y)^{2}}- \cfrac{-6x-4y-6x+4y}{(3x+2y)^{2}}\cdot y'$

$1=\cfrac{12y}{(3x+2y)^{2}}- \cfrac{12x}{(3x+2y)^{2}}\cdot y'$

2 Debemos despejar y', para ello podemos dejar de un lado los términos que contengan a y' y los que no lo contengan los pasamos al otro lado y resolvemos las operaciones con fracciones

$\cfrac{12x}{(3x+2y)^{2}}\cdot y'=\cfrac{12y}{(3x+2y)^{2}}-1$

$12x\cdot y'=12y-(3x+2y)^2$

$y'=\cfrac{y}{x}-\cfrac{(3x-2y)^2}{12x}$

5 $y= \ln xy$

Derivar $y= \ln xy$

$y'=\cfrac{y}{xy}+\cfrac{x}{xy}\cdot y'$

$y'=\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}\cdot y'$

2 Debemos despejar y', para ello podemos dejar de un lado los términos que contengan a y' y los que no lo contengan los pasamos al otro lado

$y'-\cfrac{1}{y}\cdot y'=\cfrac{1}{x}$

3 Factorizamos por factor común y despejamos y'

$y'\left ( 1-\cfrac{1}{y} \right )= \cfrac{1}{x}$

$y'\left ( \cfrac{y-1}{y} \right )=\cfrac{1}{x}$

$y'=\cfrac{y}{xy-x}$

6 $e^{\cos y}-e^{\sin x}=\sin y$

Derivar $e^{\cos y}-e^{\sin x}=\sin y$

1 Al tener varias funciones trascendentes pasaremos todos los términos a un miembro de la igualdad y aplicaremos: $y'=\cfrac{-F'_{x}}{F'_{y}}$

$e^{\cos y}-e^{\sin x}-\sin y=0$

2 Calculamos $-F'(x)$ y $F'(y)$

$-F'(x)=e^{\sin x}\cdot \cos x$

$F'(y)=-e^{\cos y}\cdot \sin y -\cos y$

3 Sustituimos en $y'=\cfrac{-F'_{x}}{F'_{y}}$

$y'=-\cfrac{e^{\sin x}\cdot \cos x}{e^{\cos y}\cdot \sin y +\cos y}$

7 $y=\ln \left [\sin (x+y) \right ]$

Derivar $y=\ln \left [\sin (x+y) \right ]$

1 Al tener varias funciones trascendentes pasaremos todos los términos a un miembro de la igualdad y aplicaremos: $y'=\cfrac{-F'_{x}}{F'_{y}}$

$y-\ln \left [\sin (x+y) \right ]=0$

2 Calculamos $-F'(x)$ y $F'(y)$

$-F'(x)=\cfrac{\cos (x+y)}{\sin (x+y)}=\cot (x+y)$

$F'(y)=1-\cfrac{\cos (x+y)}{\sin (x+y)}=1-\cot (x+y)$

3 Sustituimos en $y'=\cfrac{-F'_{x}}{F'_{y}}$

$y'=\cfrac{\cot (x+y)}{1-\cot (x+y)}$

8 $y\cdot \textrm{arccot} \; x +x-5=0$

Derivar $y\cdot \textrm{arccot} \; x +x-5=0$

1 Calculamos $-F'(x)$ y $F'(y)]$

$-F'(x)=\cfrac{y}{1+x^{2}}-1=\cfrac{y-1-x^{2}}{1+x^{2}}$

$F'(y)=\textrm{arccot} \; x$

2 Sustituimos en $y'=\cfrac{-F'_{x}}{F'_{y}}$

$y'=\cfrac{\cfrac{y-1-x^{2}}{1+x^{2}}}{\textrm{arccot} \; x}=\cfrac{y-1-x^{2}}{(1+x^{2})\cdot \textrm{arccot} \; x}$

9 $\cfrac{y}{\tan xy}+x=5$

Derivar $\cfrac{y}{\tan xy}+x=5$

1 Multiplicamos ambos miembros por $\tan xy$ para eliminar la fracción y pasamos todos los términos a un sólo miembro de la igualdad

$\tan xy \left (\cfrac{y}{\tan xy}+x \right )=5\tan xy$

$y+x\tan xy =5\tan xy$

$y+x\tan xy -5\tan xy =0$

2 Calculamos $-F'(x)$ y $F'(y)$

$-F'(x)=-xy\sec ^{2}xy-\tan xy+5y\sec ^{2}xy$

$F'(y)=1+x^{2}\sec ^{2}xy-5x\sec ^{2}xy$

3 Sustituimos en $y'=\cfrac{-F'_{x}}{F'_{y}}$

$y'=\cfrac{5y\sec ^{2}xy-xy\sec ^{2}xy-\tan xy}{1+x^{2}\sec ^{2}xy-5x\sec ^{2}xy}$

10 $y\arccos (e^{x})=\sin y$

Derivar $y\arccos (e^{x})=\sin y$

1 Al tener varias funciones trascendentes pasaremos todos los términos a un miembro de la igualdad y aplicaremos: $y'=\cfrac{-F'_{x}}{F'_{y}}$

$y\arccos (e^{x})-\sin y=0$

2 Calculamos $-F'(x)$ y $F'(y)$

$-F'(x)=\cfrac{y\cdot e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}$

$F'(y)=\arccos (e^{x})-\cos y$

3 Sustituimos en $y'=\cfrac{-F'_{x}}{F'_{y}}$

$y'=\cfrac{\cfrac{y\cdot e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}}{\arccos (e^{x})-\cos y}=\cfrac{y\cdot e^{x}}{(\arccos (e^{x})-\cos y)\sqrt{1-e^{2x}}}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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RIC

Noviembre

En el ejemplo 6) esta mal calculada F’y En el ejemplo 4) hay un signo mal y eso le cambia todo el resultado.

Jose Gabriel Rosales Castañeda

Diciembre

Hola.

Ya hemos corregido los errores en el ejercicio. Gracias por tu comentario nos ayuda mucho a mejorar el servicio que ofrecemos.

Saludos.

Sebas

Enero

El segundo ejemplo también está mal.

Ramón González Rubio

Marzo

estoy de acuerdo, tiene un error en el despeje del término 4y^2

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