¿Cómo saber si una función es creciente o decreciente?
Una función 
es estrictamente creciente en el intervalo 
si 
para todos los valores de 
en .
Una función es estrictamente decreciente en el intervalo si 
para todos los valores de en .
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Para encontrar los intervalos donde la función es creciente o decreciente, se realiza lo siguiente:
1 Derivar la función.
2 Obtener las raíces de la derivada primera, esto es, encontrar los valores que cumplen 
.
3 Formar intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese)
4 Elegir un valor de cada intervalo y hallar el signo que tiene en la derivada primera.
5 Elegir los intervalos de crecimiento y decrecimiento de acuerdo al signo obtenido en el paso anterior.
Ejercicios propuestos
Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento para las siguientes funciones:
1 Derivamos la función
2 Calculamos las raíces de la derivada primera, para esto igualamos la derivada a cero y resolvemos para
igualando los factores a cero, se tiene que las raíces son 
.
3 Formamos intervalos abiertos con los ceros de la derivada primera, en este caso no existen puntos de discontinuidad. Nos apoyamos con la representación de los puntos en la recta real
Los intervalos que obtenemos son 
y 
4 Tomamos un valor de cada intervalo (puedes tomar cualquier valor en el intervalo) y hallamos el signo que tiene en la derivada primera
Para el intervalo 
tomamos 
y sustituimos en la derivada y obtenemos
Para el intervalo 
tomamos 
, sustituimos en la derivada y obtenemos
5 Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento
De crecimiento: 
De decrecimiento:
1 Derivamos la función
2 Calculamos las raíces de la derivada primera, para esto igualamos la derivada a cero y resolvemos para
igualando los factores a cero, se tiene que las raíces son 
.
3 Formamos intervalos abiertos con los ceros de la derivada primera, en este caso no existen puntos de discontinuidad. Nos apoyamos con la representación de los puntos en la recta real
Los intervalos que obtenemos son 
y 
4 Tomamos un valor de cada intervalo (puedes tomar cualquier valor en el intervalo) y hallamos el signo que tiene en la derivada primera
Para el intervalo 
tomamos 
, sustituimos en la derivada y obtenemos
Para el intervalo 
tomamos , sustituimos en la derivada y obtenemos
Para el intervalo 
tomamos 
, sustituimos en la derivada y obtenemos
5 Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento
De crecimiento: 
De decrecimiento: 
1 Derivamos la función
2 Calculamos las raíces de la derivada primera, para esto igualamos la derivada a cero y resolvemos para
igualando los factores a cero, se tiene que las raíces son 
.
3 Formamos intervalos abiertos con los ceros de la derivada primera, en este caso no existen puntos de discontinuidad. Nos apoyamos con la representación de los puntos en la recta real
Los intervalos que obtenemos son 
y 
4 Tomamos un valor de cada intervalo (puedes tomar cualquier valor en el intervalo) y hallamos el signo que tiene en la derivada primera
Para el intervalo 
tomamos 
, sustituimos en la derivada y obtenemos
Para el intervalo 
tomamos 
, sustituimos en la derivada y obtenemos
Para el intervalo 
tomamos 
, sustituimos en la derivada y obtenemos
Para el intervalo 
tomamos 
, sustituimos en la derivada y obtenemos
5 Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento
De decrecimiento: 
De crecimiento: 
1 Derivamos la función
2 Calculamos las raíces de la derivada primera (si existen), para esto igualamos la derivada a cero y resolvemos para
no existen valores de en los números reales que satisfagan la ecuación anterior, por tanto la derivada primera no posee raíces. Observamos que la función y su derivada poseen una discontinuidad en 
.
3 Formamos intervalos abiertos con la discontinuidad, en este caso no existen ceros de la derivada. Nos apoyamos con la representación de los puntos en la recta real
Los intervalos que obtenemos son 
y 
4 Tomamos un valor de cada intervalo (puedes tomar cualquier valor en el intervalo) y hallamos el signo que tiene en la derivada primera
Para el intervalo 
tomamos , sustituimos en la derivada y obtenemos
Para el intervalo 
tomamos , sustituimos en la derivada y obtenemos
5 Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento
De crecimiento: 
De decrecimiento:
1 Derivamos la función
2 Calculamos las raíces de la derivada primera (si existen), para esto igualamos la derivada a cero y resolvemos para
no existen valores de en los números reales que satisfagan la ecuación anterior, por tanto la derivada primera no posee raíces. Observamos que la función y su derivada poseen una discontinuidad en 
.
3 Formamos intervalos abiertos con la discontinuidad, en este caso no existen ceros de la derivada. Nos apoyamos con la representación de los puntos en la recta real
Los intervalos que obtenemos son 
y 
4 Tomamos un valor de cada intervalo (puedes tomar cualquier valor en el intervalo) y hallamos el signo que tiene en la derivada primera
Para el intervalo tomamos , sustituimos en la derivada y obtenemos
Para el intervalo 
tomamos , sustituimos en la derivada y obtenemos
5 Como al evaluar en la derivada el resultado siempre fue negativo, entonces solamente se tienen intervalos de decrecimiento
De decrecimiento: 
1 Primero simplificamos la función y derivamos
2 Calculamos las raíces de la derivada primera (si existen), para esto igualamos la derivada a cero y resolvemos para
es el único valor que satisface la ecuación anterior. Observamos que la función posee discontinuidad en .
3 Formamos intervalos abiertos con las discontinuidades y el cero de la derivada. Nos apoyamos con la representación de los puntos en la recta real
Los intervalos que obtenemos son 
4 Tomamos un valor de cada intervalo (puedes tomar cualquier valor en el intervalo) y hallamos el signo que tiene en la derivada primera
Para el intervalo tomamos , sustituimos en la derivada y obtenemos
Para el intervalo tomamos , sustituimos en la derivada y obtenemos
5 Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento
De crecimiento: 
De decrecimiento:
1 Derivamos la función
2 Calculamos las raíces de la derivada primera, para esto igualamos la derivada cero y resolvemos para
igualando los factores a cero, se tiene que las raíces son .
no existen valores de en los números reales que satisfagan la ecuación anterior, por tanto la derivada primera no posee raíces. Observamos que la función y su derivada poseen una discontinuidad en 
.
3 Formamos intervalos abiertos con la discontinuidad, en este caso no existen ceros de la derivada. Nos apoyamos con la representación de los puntos en la recta real
Los intervalos que obtenemos son 
y
4 Tomamos un valor de cada intervalo (puedes tomar cualquier valor en el intervalo) y hallamos el signo que tiene en la derivada primera
Para el intervalo tomamos , sustituimos en la derivada y obtenemos
Para el intervalo tomamos , sustituimos en la derivada y obtenemos
5 Como al evaluar en la derivada el resultado siempre fue negativo, entonces solamente se tienen intervalos de crecimiento
De decrecimiento: 
1 Derivamos la función
2 Calculamos las raíces de la derivada primera (si existen), para esto igualamos la derivada a cero y resolvemos para
3 Formamos intervalos abiertos con los ceros de la derivada. Nos apoyamos con la representación de los puntos en la recta real
Los intervalos que obtenemos son y
4 Tomamos un valor de cada intervalo (puedes tomar cualquier valor en el intervalo) y hallamos el signo que tiene en la derivada primera
Para el intervalo tomamos , sustituimos en la derivada y obtenemos
Para el intervalo tomamos , sustituimos en la derivada y obtenemos
5 Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento
De crecimiento:
De decrecimiento:
1 Derivamos la función
2 Calculamos las raíces de la derivada primera (si existen), para esto igualamos la derivada a cero y resolvemos para
no existen valores de en los números reales que satisfagan la ecuación anterior, por tanto la derivada primera no posee raíces. Observamos que la función y su derivada poseen una discontinuidad en .
3 Formamos intervalos abiertos con la discontinuidad, en este caso no existen ceros de la derivada. Nos apoyamos con la representación de los puntos en la recta real
Los intervalos que obtenemos son y
4 Tomamos un valor de cada intervalo (puedes tomar cualquier valor en el intervalo) y hallamos el signo que tiene en la derivada primera
Para el intervalo tomamos , sustituimos en la derivada y obtenemos
Para el intervalo tomamos , sustituimos en la derivada y obtenemos
5 Como al evaluar en la derivada el resultado siempre fue negativo, entonces solamente se tienen intervalos de decrecimiento
De decrecimiento:
1 Derivamos la función
2 Calculamos las raíces de la derivada primera (si existen), para esto igualamos la derivada a cero y resolvemos para
es el único valor que satisface la ecuación anterior. Observamos que la función y su derivada poseen discontinuidades en .
3 Formamos intervalos abiertos con las discontinuidades y el cero de la derivada. Nos apoyamos con la representación de los puntos en la recta real
Los intervalos que obtenemos son 
y
4 Tomamos un valor de cada intervalo (puedes tomar cualquier valor en el intervalo) y hallamos el signo que tiene en la derivada primera
Para el intervalo tomamos , sustituimos en la derivada y obtenemos
Para el intervalo 
tomamos 
, sustituimos en la derivada y obtenemos
Para el intervalo 
tomamos 
, sustituimos en la derivada y obtenemos
Para el intervalo tomamos , sustituimos en la derivada y obtenemos
5 Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento
De crecimiento: 
De decrecimiento: 
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no entiendo por que en el paso 3 al igualar las dos derivadas pone -3a en vez de solo -3
Hola, busque tu duda y no la encontré podrías hacerme el favor de decirme el numero del ejercicio, me seria de mucha ayuda por favor.
Quería solo advertir que el gráfico de la diferencial tiene el ángulo de la recta tangente con β y analíticamente está indicado con α. Saludos.
hola gracias por tu observación, pero si el artículo es de «interpretación de la derivada» es el mismo ángulo pero con símbolo diferente.
cordial saludo sera que tu me puedes ayudar a resolver un ejercicio que es dada la función f(x)= X elevada a la 2/3 por entre paréntesis (xa la 2 -8) hallar los valores de X para los cuales esta crece te lo agradecería mucho
La descripcion es erronea donde da la derivada de arcocotangente, ya que dice derivada de arcotangete, se comieron el co, lo que puede llevar a confunciones, como en mi caso que pense que era la derivada de la inversa de tangente, cuando era la derivada de la inversa de cotangente.
Hola entendemos la confusión, pero como sabes en cada lugar toman la notación en forma diferente, en este caso se tomo arccot(x) donde se repite la c para diferenciar de arctan(x).
Hola podrías hacernos el favor de mostrarnos la función para dar una mejor explicación.