¿Cómo saber si una función es creciente o decreciente?

 

Una función {f(x)} es estrictamente creciente en el intervalo {(a, b)} si {f'(x)} > 0} para todos los valores de {x} en {(a, b)}.

 

Una función {f(x)} es estrictamente decreciente en el intervalo {(a, b)} si {f'(x)} < 0} para todos los valores de {x} en {(a, b)}.

 

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

 

Para encontrar los intervalos {(a, b)} donde la función {f(x)} es creciente o decreciente, se realiza lo siguiente:

 

1 Derivar la función.

 

2 Obtener las raíces de la derivada primera, esto es, encontrar los valores {x} que cumplen {f'(x)=0}.

 

3 Formar intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese)

 

4 Elegir un valor de cada intervalo y hallar el signo que tiene en la derivada primera.

 

5 Elegir los intervalos de crecimiento y decrecimiento de acuerdo al signo obtenido en el paso anterior.

 

Ejercicios propuestos

1Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de {f(x) = x^{2} - 6x + 2}

 

1 Derivamos la función

 

{f'(x) = 2x - 6}

 

2 Calculamos las raíces de la derivada primera, para esto igualamos la derivada a cero y resolvemos para {x}

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & 0 \\\\ 2x - 6 & = & 0 \\\\ 2\left (x - 3 \right) & = & 0 \end{array}}

 

igualando los factores a cero, se tiene que las raíces son {x = 3}.

 

3 Formamos intervalos abiertos con los ceros de la derivada primera, en este caso no existen puntos de discontinuidad. Nos apoyamos con la representación de los puntos en la recta real

 

intervalo creciente y decreciente 7

 

Los intervalos que obtenemos son {(- \infty, 3)} y {(3, \infty)}

 

4 Tomamos un valor de cada intervalo (puedes tomar cualquier valor en el intervalo) y hallamos el signo que tiene en la derivada primera

 

Para el intervalo (-\infty , 3) tomamos x = 0 y sustituimos en la derivada y obtenemos

{f'(0) = 2(0) - 6 < 0}

 

Para el intervalo (3, \infty) tomamos x = 10, sustituimos en la derivada y obtenemos

{f'(10) = 2(10) - 6 > 0}

 

intevalo creciente y decreciente 8

 

5 Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento

 

De crecimiento: {(-\infty, 3)}

De decrecimiento: {(3, \infty)}

 

intervalo creciente y decreciente 9

2Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de {f(x) = x^{3} - 3x + 2}

 

1 Derivamos la función

 

{f'(x) = 3x^{2} - 3}

 

2 Calculamos las raíces de la derivada primera, para esto igualamos la derivada a cero y resolvemos para {x}

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & 0 \\\\ 3x^{2} - 3 & = & 0 \\\\ 3\left (x^2 - 1 \right)^2 & = & 0 \\\\ 3(x - 1)(x + 1) & = & 0 \end{array}}

 

igualando los factores a cero, se tiene que las raíces son {x = \pm 1}.

 

3 Formamos intervalos abiertos con los ceros de la derivada primera, en este caso no existen puntos de discontinuidad. Nos apoyamos con la representación de los puntos en la recta real

 

representación gráfica de discontinuidad

 

Los intervalos que obtenemos son {(- \infty, -1), (-1, 1)} y {(1, \infty)}

 

4 Tomamos un valor de cada intervalo (puedes tomar cualquier valor en el intervalo) y hallamos el signo que tiene en la derivada primera

 

Para el intervalo (-\infty , -1) tomamos x = -2, sustituimos en la derivada y obtenemos

{f'(-2) = 3(-2)^{2} - 3 > 0}

 

Para el intervalo (-1, 1) tomamos x = 0, sustituimos en la derivada y obtenemos

{f'(0) = 3(0)^{2} - 3 < 0}

 

Para el intervalo (1, \infty) tomamos x = 2, sustituimos en la derivada y obtenemos

{f'(2) = 3(2)^{2} - 3 > 0}

 

representacion gráfica de intervalos

 

5 Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento

 

De crecimiento: {(-\infty, -1) \cup (1, \infty)}

De decrecimiento: {(-1,1)}

 

intervalos crecientes y decrecientes 3

3Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de {f(x) = 3x^{4} + 4x^{3} - 36x^{2} + 3}

 

1 Derivamos la función

 

{f'(x) = 12x^{3} + 12x^{2} - 72x}

 

2 Calculamos las raíces de la derivada primera, para esto igualamos la derivada a cero y resolvemos para {x}

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & 0 \\\\ 12x^{3} + 12x^{2} - 72x & = & 0 \\\\ 12x \left (x^2 + x - 6 \right) & = & 0 \\\\ 12x(x + 3)(x - 2) & = & 0 \end{array}}

 

igualando los factores a cero, se tiene que las raíces son {x = -3, 0, 2}.

 

3 Formamos intervalos abiertos con los ceros de la derivada primera, en este caso no existen puntos de discontinuidad. Nos apoyamos con la representación de los puntos en la recta real

 

intervalo creciente y decreciente 10

 

Los intervalos que obtenemos son {(- \infty, -3), (-3, 0), (0, 2)} y {(2, \infty)}

 

4 Tomamos un valor de cada intervalo (puedes tomar cualquier valor en el intervalo) y hallamos el signo que tiene en la derivada primera

 

Para el intervalo (-\infty , -3) tomamos x = -4, sustituimos en la derivada y obtenemos

{f'(-4) = 12(-4)^{3} + 12(-4)^2 - 72(-4) < 0}

 

Para el intervalo (-3, 0) tomamos x = -1, sustituimos en la derivada y obtenemos

{f'(-1) = 12(-1)^{3} + 12(-1)^2 - 72(-1) > 0}

 

Para el intervalo (0, 2) tomamos x = 1, sustituimos en la derivada y obtenemos

{f'(1) = 12(1)^{3} + 12(1)^2 - 72(1) < 0}

 

Para el intervalo (2, \infty) tomamos x = 3, sustituimos en la derivada y obtenemos

{f'(3) = 12(3)^{3} + 12(3)^2 - 72(3) > 0}

 

intervalo creciente y decreciente 11

 

5 Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento

 

De decrecimiento: {(-\infty, -3) \cup (0, 2)}

De crecimiento: {(-3,0) \cup (2, \infty)}

 

intervalo creciente y decreciente 12

4Hallar los intervalos donde es creciente y decreciente la función {f(x) = \displaystyle \frac{1}{x^2}}

 

1 Derivamos la función

 

{f'(x) = \displaystyle - \frac{2}{x^3}}

 

2 Calculamos las raíces de la derivada primera (si existen), para esto igualamos la derivada a cero y resolvemos para {x}

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & 0 \\\\ \displaystyle -\frac{2}{x^3} & = & 0 \end{array}}

 

no existen valores de {x} en los números reales que satisfagan la ecuación anterior, por tanto la derivada primera no posee raíces. Observamos que la función y su derivada poseen una discontinuidad en {x = 0}.

 

3 Formamos intervalos abiertos con la discontinuidad, en este caso no existen ceros de la derivada. Nos apoyamos con la representación de los puntos en la recta real

 

intervalos crecientes y decrecientes 4

 

Los intervalos que obtenemos son {(- \infty, 0)} y {(0, \infty)}

 

4 Tomamos un valor de cada intervalo (puedes tomar cualquier valor en el intervalo) y hallamos el signo que tiene en la derivada primera

 

Para el intervalo (-\infty , 0) tomamos x = -1, sustituimos en la derivada y obtenemos

{f'(-1) = \displaystyle -\frac{2}{(-1)^3} > 0}

 

Para el intervalo (0, \infty) tomamos x = 1, sustituimos en la derivada y obtenemos

{f'(1) = \displaystyle -\frac{2}{1^3} < 0}

 

intervalo creciente y decreciente 5

 

5 Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento

 

De crecimiento: {(-\infty, 0)}

De decrecimiento: {(0, \infty)}

 

intervalo creciente y decreciente 6

5Hallar los intervalos donde es creciente y decreciente la función {f(x) = \displaystyle \frac{x + 1}{x - 1}}

 

1 Derivamos la función

 

{f'(x) = \displaystyle - \frac{2}{(x-1)^2}}

 

2 Calculamos las raíces de la derivada primera (si existen), para esto igualamos la derivada a cero y resolvemos para {x}

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & 0 \\\\ \displaystyle -\frac{2}{(x-1)^2} & = & 0 \end{array}}

 

no existen valores de {x} en los números reales que satisfagan la ecuación anterior, por tanto la derivada primera no posee raíces. Observamos que la función y su derivada poseen una discontinuidad en {x = 1}.

 

3 Formamos intervalos abiertos con la discontinuidad, en este caso no existen ceros de la derivada. Nos apoyamos con la representación de los puntos en la recta real

 

intervalo creciente y decreciente 13

 

Los intervalos que obtenemos son {(- \infty, 1)} y {(1, \infty)}

 

4 Tomamos un valor de cada intervalo (puedes tomar cualquier valor en el intervalo) y hallamos el signo que tiene en la derivada primera

 

Para el intervalo (-\infty , 0) tomamos x = 0, sustituimos en la derivada y obtenemos

{f'(0) = \displaystyle -\frac{2}{(0 - 1)^2} < 0}

 

Para el intervalo (1, \infty) tomamos x = 2, sustituimos en la derivada y obtenemos

{f'(2) = \displaystyle -\frac{2}{(2 - 1)^2} < 0}

 

intervalo creciente y decreciente 14

 

5 Como al evaluar en la derivada el resultado siempre fue negativo, entonces solamente se tienen intervalos de decrecimiento

 

De decrecimiento: {(-\infty, 1) \cup (1, \infty)}

 

intervalo creciente y decreciente 15

6Hallar los intervalos donde es creciente y decreciente la función {f(x) = \displaystyle \frac{1}{x^2-1}}

 

1 Derivamos la función

 

{f'(x) = \displaystyle - \frac{2x}{\left(x^2 - 1\right)^2}}

 

2 Calculamos las raíces de la derivada primera (si existen), para esto igualamos la derivada a cero y resolvemos para {x}

 

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & 0 \\\\ \displaystyle -\frac{2x}{\left(x^2 - 1\right)^2} & = & 0 \\\\ \displaystyle -\frac{2x}{\left[(x - 1)(x + 1)\right]^2} \end{array}}

 

{x = 0} es el único valor que satisface la ecuación anterior. Observamos que la función y su derivada poseen discontinuidades en {x = \pm 1}.

 

3 Formamos intervalos abiertos con las discontinuidades y el cero de la derivada. Nos apoyamos con la representación de los puntos en la recta real

 

intervalo creciente y decreciente 16

 

Los intervalos que obtenemos son {(- \infty, -1), (-1, 0), (0, 1)} y {(1, \infty)}

 

4 Tomamos un valor de cada intervalo (puedes tomar cualquier valor en el intervalo) y hallamos el signo que tiene en la derivada primera

 

Para el intervalo (-\infty , -1) tomamos x = -2, sustituimos en la derivada y obtenemos

{f'(-2) = \displaystyle -\frac{2(-2)}{\left[(-2)^2-1\right]^2} > 0}

 

Para el intervalo (-1, 0) tomamos x = -0.5, sustituimos en la derivada y obtenemos

{f'(-0.5) = \displaystyle -\frac{2(-0.5)}{\left[(-0.5)^2-1\right]^2} > 0}

 

Para el intervalo (0, 1) tomamos x = 0.5, sustituimos en la derivada y obtenemos

{f'(0.5) = \displaystyle -\frac{2(0.5)}{\left[(0.5)^2-1\right]^2} < 0}

 

Para el intervalo (1, \infty) tomamos x = 2, sustituimos en la derivada y obtenemos

{f'(2) = \displaystyle -\frac{2(2)}{\left[(2)^2-1\right]^2} < 0}

 

intervalo creciente y decreciente 17

 

5 Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento

 

De crecimiento: {(-\infty, -1) \cup (-1, 0)}

De decrecimiento: {(0, 1) \cup (1, \infty)}

 

intervalo creciente y decreciente 18

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Gaspar

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