Ejercicios sobre intervalos de crecimiento y decrecimiento de funciones

 

1 Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:

     \begin{align*}  1.&\ f(x)=4+15x+6x^2-x^3 \\ 2.&\ f(x)=3x^4-20x^3-6x^2+60x -8\\ 3.&\ f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+x-2}\\ 4.&\ f(x)=\sqrt{x+1}\\ 5.&\ f(x)=e^{-(x-1)^2}\\ 6.&\ f(x)=x\ln(x) \end{align*}

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1  f(x)=4+15x+6x^2-x^3

 

Primero se calcula la deriva de la función y se iguala a cero.

 

 f'(x)=15+12x-3x^2\quad \Longrightarrow\quad 0= -3(x^2-4x-5)=-3(x-5)(x+1)

 

Sus raíces son x_1=5, x_2=-1.

 

Se divide la recta real el tres invervalos: (-\infty,-1), (-1,5), (5,\infty) . Se elije un punto de cada intervalo y se sustituye en f':

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo.

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo.

 

     	\begin{align*}  &f'(-2)=-3(-2-5)(-2+1)=-21\\ &f'(0)=-3(-5)(1)=15\\ &f'(6)=-3(6-5)(6+1)=-21 \end{align*}

 

Por tanto, la función es creciente en el intervalo   (-1,5) y decreciente en los intervalos (-\infty,-1), (5,\infty) .

 

2  f(x)=3x^4-20x^3-6x^2+60x -8

 

Primero se calcula la deriva de la función y se iguala a cero.

 

 f'(x)=12x^3-60x^2-12x+60\Longrightarrow 0=12(x-5)(x+1)(x-1)

 

Sus raíces son x_1=5, x_2=-1, x_3=1.

 

Se divide la recta real el cuatro intervalos: (-\infty,-1), (-1,1), (1,5), (5,\infty) . Se elije un punto de cada intervalo y se sustituye en f':

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo.

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo.

 

     \begin{align*}  &f'(-2)=12(-2-5)(-2+1)(-2-1) =-252\\ &f'(0)=12(-5)(1)(-1)=60\\ &f'(2)=12(2-5)(2+1)(2-1) =-108\\ &f'(6)=12(6-5)(6+1)(6-1)=420 \end{align*}

 

Por tanto, la función es creciente en los intervalos   (-1,1), (5,\infty) y decreciente en los intervalos (-\infty,-1), (1,5) .

 

3  f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+x-2}

 

Calculando las raíces del denominador se obtienen los valores donde la función no está definida.

 

 0=x^2+x-2=(x+2)(x-1) \quad \Longrightarrow x_1=-2; \ x_2=1

 \textup{Dom} =\mathbb{R}-\left \{ 2,-2 \right \}

 

Se deriva la función y se calculan sus raíces.

 

 0=x^2+x-2=(x+2)(x-1) \quad \Longrightarrow \quad x_1=-2; \ x_2=1

 

Igualamos la derivada a cero y calculamos las raíces del numerador, que corresponden a las raíces de la función.

 

 f'(x)=\dfrac{1(x^2+x-2)-(x+1)(2x+1)}{(x^2+x-2)^2}=-\dfrac{x^2+2x+3}{((x+2)(x-1) )^2}

 

No tiene raíces en los números reales pues el discriminante es negativo: 2^2-4(1)(3)=-8 . Por tanto, los intervalos se forman a partir de los puntos de discontinuidad:  (-\infty,-2), (-2,1), (1,\infty) . Después Se elije un punto de cada intervalo y se sustituye en f':

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo.

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo.

 

     \begin{align*}  &f'(-3)=-\dfrac{(-3)^2+2(-3)+3}{((-3+2)(-3-1) )^2}<0 \\ &f'(0)=-\dfrac{3}{((2)(-1) )^2}<0\\ &f'(2)=-\dfrac{(2)^2+2(2)+3}{((2+2)(2-1) )^2}<0 \end{align*}

 

Por tanto, la función siempre es decreciente.

 

4  f(x)=\sqrt{x+1}

 

Primero se calcula el dominio para conocer dónde está definida la función.

 

 0 \leq x+1 \quad \Longrightarrow \quad x \geq -1

 \textup{Dom} =[-1,\infty)

Derivamos:

 f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}

 

Como el denominador es el valor 1, no tiene raíces la derivada. Así, evaluando en un punto de  (-1,\infty) se concluye que la gráfica es creciente:

 f'(0)=\dfrac{1}{2\sqrt{0+1}}=\dfrac{1}{2}

 

5  f(x)=e^{-(x-1)^2}

 

Primero se calcula la deriva de la función y se iguala a cero.

 

 f'(x)=-2(x-1) e^{-(x-1)^2} \Longrightarrow 0=-2(x-1)e^{-(x-1)^2};\  x=1

 

Sus raíces son x_1=5, x_2=-1, x_3=1.

 

Se divide la recta real el dos intervalos: (-\infty,1), (1,\infty) . Se elije un punto de cada intervalo y se sustituye en f':

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo.

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo.

 

     \begin{align*}  &f'(0)=-2(-1) e^{-(x-1)^2}>0\\ &f'(2)=-2(1) e^{-(x-1)^2}<0 \end{align*}

 

Por tanto, la función es creciente en   (-\infty,1) y decreciente en (1, \infty) .

 

6  f(x)=x\ln(x)

 

Primero se calcula el dominio para conocer dónde está definida la función.

Como la función logaritmo sólo puede aplicarse a números positivos, \textup{Dom} = (0,\infty) .

 

Ahora se deriva la función:

 

 f'(x)=(1)\ln(x)+x\left ( \dfrac{1}{x} \right )= \ln (x) +1

 

Igualando a cero y despejando el logaritmo, se tiene que su raíz es  x=e^{-1} . Así, se divide el dominio en dos intervalos: (0,e^{-1}), (e^{-1},\infty) . Se elije un punto de cada intervalo y se sustituye en f':

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo.

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo.

 

     \begin{align*}  &f'(0.2)=\ln (0.2) +1 \approx -0.6\\ &f'(1)=\ln (1) +1 =1 \end{align*}

 

Por tanto, la función es decreciente en   (0, e^{-1}) y creciente en (e^{-1}, \infty) .

 

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Ejercicios de máximos y mínimos de una función

2 Calcular los máximos y mínimos de las funciones:

     \begin{align*}  1.&\ f(x)=x^4-8x^2+3\\ 2.&\ f(x)=e^x\left ( 2x^2+x-8 \right ) \\ 3.&\ f(x)=x+\ln(x^2-1)\\ 4.&\ f(x)=\textup{sen} (2x) \end{align*}

 

1 f(x)=x^4-8x^2+3
 

Se calcula la primer derivada, después se iguala a 0 y se hallan sus raíces.

 

 f'(x)=4x^3-16x\Longrightarrow 0=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2)

 

Sus raíces son  x_1=0, x_2=2, x_3=-2.	Se calcula la segunda derivada y se sustituyen las raíces:

Si el resultado es positivo, las coordenadas  (x,f(x))	corresponden a un mínimo.

Si el resultado es negativo, las coordenadas  (x,f(x))	corresponden a un máximo.

 

 f''(x)=12x^2-16

 

     \begin{align*} &f''(-2) = 12(-2)^2-16= 32\\ &f''(0)=-16\\ &f''(2)=12(2)^2-16 =32 \end{align*}

 

     \begin{align*}  &f(-2) = (-2)^4-8(-2)^2+3= -13\\ &f(0)=3\\ &f(2)= (2)^4-8(2)^2+3= -13\\ \end{align*}

 

Por tanto, en los puntos  (-2, -13), (2,-13) la función tiene dos mínimos y en  (0,3) la función tiene un máximo.

 

2 f(x)=e^x\left ( 2x^2+x-8 \right )

 

Se calcula la primer derivada, después se iguala a 0 y se hallan sus raíces.

 

     	\begin{align*} f'(x)&= e^x\left ( 2x^2+x-8 \right )+e^x\left ( 4x+1 \right )\\ &=e^x(2x^2+5x-7)=e^x(x-1)(2x+5 ) \end{align*}

 

Sus raíces son  x_1=1, x_2=-\frac{7}{2}.	Se calcula la segunda derivada y se sustituyen las raíces:

Si el resultado es positivo, las coordenadas  (x,f(x))	corresponden a un mínimo.

Si el resultado es negativo, las coordenadas  (x,f(x))	corresponden a un máximo.

 

 f''(x)= e^x(2x^2+9x-2)

 

     \begin{align*} &f''(1) = e(2+9-2)=9e>0\\ &f''\left ( -\frac{7}{2} \right )=-9e^{\left (-\frac{7}{2}  \right )}<0 \end{align*}

 

     \begin{align*} &f(1) = e(2+1-8)=-5e\\ &f\left ( -\frac{7}{2} \right )= e^{\left (-\frac{7}{2}  \right )}\left (2\left (-\frac{7}{2}  \right )^2-\frac{7}{2}-8  \right )=13e^{\left (-\frac{7}{2}  \right )} \end{align*}

 

Por tanto, en  (1, -5e) la función tiene un mínimo y en  \left (-\frac{7}{2}, 13e^{\left (-\frac{7}{2}  \right )\right ) la función tiene un máximo.

 

3 f(x)=x+\ln(x^2-1)

 

Primero se calcula el dominio para conocer dónde está definida la función. Se sabe que el logaritmo únicamente se aplica a números positivos. Así:

 

  	0< x^2-1=(x-1)(x+1) \quad \Longrightarrow\quad x_1=1;\ x_2=-1

 

Los puntos obtenidos dividen la recta real en tres intervalos  (-\infty, -1), (-1,1), (1,\infty).	Se toma un valor de cada intervalo y se verifica que los números obtenidos son mayores que cero. El dominio es \textup{Dom} =(-\infty,-1)\cup (1,\infty) pues:

 

     \begin{align*} & x=-2;\ (-2)^2-1=3>0 \\ & x=0;\ (0)^2-1=-1<0\\ &x=2;\ (2)^2-1=3>0 & \\ \end{align*}

 

Se calcula la primer derivada, después se iguala a 0 y se hallan sus raíces.

 

 f'(x)=1+\dfrac{2x}{x^2-1}=\dfrac{x^2+2x-1}{x^2-1}

 

Sus raíces son  x_1=-1+\sqrt{2}, x_2=-1-\sqrt{2}.	Sólo se considera el segundo valor porque el primero no está en el dominio de la función. Se calcula la segunda derivada y se sustituye la raíz:

Si el resultado es positivo, las coordenadas  (x,f(x))	corresponden a un mínimo.

Si el resultado es negativo, las coordenadas  (x,f(x))	corresponden a un máximo.

 

 f''(x)=\dfrac{(2x+2)(x^2-1)-(x^2+2x-1)(2x)}{(x^2-1)^2}=-\dfrac{2(x+1)}{(x^2-1)^2}

 f''(-1-\sqrt{2}) >0

 

Por tanto, en  (-1-\sqrt{2}, -0.84) la función tiene un máximo.
 

4 f(x)=\textup{sen} (2x)

 

Se calcula la primer derivada, después se iguala a 0 y se hallan sus raíces.

     	\begin{align*} f'(x)=2\cos(2x)\quad \Longrightarrow \quad 0=\cos(2x) \end{align*}

 

Como la función \cos (x) es de periodo 2\pi vale cero en  \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{2}, \ldots, \dfrac{\pi}{2}+2k\pi y  -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2},\ldots, \dfrac{3\pi}{2}+2k\pi; entonces la función \cos (2x) vale cero en  \dfrac{\pi}{4} +k\pi y  \dfrac{3\pi}{4}+k\pi, siendo entonces de periodo \pi .

 

Se calcula la segunda derivada y se evalúan las raíces.

 f''(x)=-4\textup{sen}(2x)

 

 \begin{aling*}  &f''\left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) =-4\textup{sen}\left ( \dfrac{\pi}{2} \right )=-4 \\ & f''\left ( \dfrac{3\pi}{4} \right ) =-4\textup{sen}\left ( \dfrac{3\pi}{2} \right )=4 \\ \end{aling*}

Por tanto, para  x=\dfrac{\pi}{4} +k\pi se obtendrán puntos máximos de la forma  \left(\dfrac{\pi}{4} +k\pi, 1 \right) y para  x=\dfrac{3\pi}{4} +k\pi se obtendrán puntos mínimos de la forma  \left(\dfrac{3\pi}{4} +k\pi, 1\right) .

Ejercicios de intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de las funciones

3 Hallar los intervalos de concavidad y convexidad, y los puntos de inflexión de las funciones:

     \begin{align*}  1.&\ f(x)=x^3-6x^2+11\\ 2.&\ f(x)=x^4-6x^2+4\\ 3.&\ f(x)=e^{-x^2} \end{align*}

 

1 f(x)=x^3-6x^2+11
 

Se calcula la segunda derivada, después se iguala a cero y se hallan sus raíces.

 

 f'(x)=3x^2-12x\ \Longrightarrow \ f''(x)=6x-12

 

Su raíz es  x=\dfrac{12}{6}=2.	Se divide la recta real en dos intervalos  (-\infty, 2), (2,\infty) y se evalúan en un punto de cada intervalo, se concluye que:

Si el resultado es positivo, la gráfica es convexa.

Si el resultado es negativo, la gráfica es cóncava.

 

     \begin{align*} &f''(0)=-12\\ &f''(3)=6(3)-12=6 \end{align*}

 

Por tanto, la gráfica es cóncava en  (-\infty, 2) y convexa en  (2,\infty) .

 

Para hallar los puntos de inflexión se sustituye en la tercera derivada las raíces de la segunda derivada. Si se obtiene un valor distinto de cero, se trata de un punto de inflexión.

 

Como f'''(x)=6 , el punto  (2,-5) es un punto de inflexión.

 

2 f(x)=x^4-6x^2+4

 

Se calcula la segunda derivada, después se iguala a cero y se hallan sus raíces.

 

 f'(x)=4x^3-12x\ \Longrightarrow \ f''(x)=12x^2-12=12(x^2-1)=12(x+1)(x-1)

 

Sus raíces son  x_1=1, x_2=-1.	Se divide la recta real en tres intervalos  (-\infty, -1), (-1,1), (1,\infty) y se evalúan en un punto de cada intervalo, se concluye que:

Si el resultado es positivo, la gráfica es convexa.

Si el resultado es negativo, la gráfica es cóncava.

 

     \begin{align*} &f''(-2)=12(4-1)=36\\ &f''(0)=-12\\ &f''(2)=12(4-1)=36 \end{align*}

 

Por tanto, la gráfica es cóncava en  (-1,1) y convexa en  (-\infty, -1), (1,\infty) .

 

Para hallar los puntos de inflexión se sustituye en la tercera derivada las raíces de la segunda derivada. Si se obtiene un valor distinto de cero, se trata de un punto de inflexión.

 

Como f'''(x)=24x ,  (-1,-1), (1,-1) son puntos de inflexión.

 

3 f(x)=e^{-x^2}

 

Se calcula la segunda derivada, después se iguala a cero y se hallan sus raíces.

 

 f'(x)=-2xe^{-x^2}\ \Longrightarrow \ f''(x)=2e^{-x^2}(2x^2-1)=2e^{-x^2}(\sqrt{2}x-1)(\sqrt{2}x+1)

 

Sus raíces son  x_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, x_2=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.	Se divide la recta real en tres intervalos  \left (-\infty,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}  \right ), \left (-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}  \right ), \left (\dfrac{\sqrt{2}}{2},\infty  \right ) y se evalúan en un punto de cada intervalo, se concluye que:

Si el resultado es positivo, la gráfica es convexa.

Si el resultado es negativo, la gráfica es cóncava.

 

     \begin{align*} &f''(-1)=2e^{-1}(2-1)=\dfrac{2}{e}\\ &f''(0)=2e^{0}(-1)=-2\\ &f''(1)=2e^{1}(2-1)=2e \end{align*}

 

Por tanto, la gráfica es cóncava en  \left (-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}  \right ) y convexa en  \left (-\infty,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}  \right ), \left (\dfrac{\sqrt{2}}{2},\infty  \right ) .

 

Para hallar los puntos de inflexión se sustituye en la tercera derivada las raíces de la segunda derivada. Si se obtiene un valor distinto de cero, se trata de un punto de inflexión.

 

Como f'''(x)=4xe^{-x^2}(2x^2-3),  \left (-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{e}}{e}  \right ), \left (\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{e}}{e}  \right )  son puntos de inflexión.

Problema de cotizaciones

4 La tendencia que sigue una cotización de una determinada sociedad, suponiendo que la bolsa permanece en servicio los días  x de un mes de 30 días, está definida por:
 

 	C(x)=0.01x^3-0.45x^2+2.43x+300

 

1 Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.

2 Determinar los periodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.


 

 C(x)=0.01x^3-0.45x^2+2.43x+300

 

1Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.

 

Se deriva la función, se iguala a cero y se calculan sus raíces.

 

 	C'(x)=0.03x^2-0.9x+2.43\ \Longrightarrow\ 0=0.03x^2-0.9x+2.43=0.30(x^2-30x+81)

 

 	0=0.30(x^2-30x+81)=0.30(x-3)(x-27)\ \Longrightarrow\ x_1=3;\ x_2=27

 

Se obtiene la segunda derivada de la función y se evalúan las raíces. Entonces:

Si el valor que se obtiene es positivo, tenemos un mínimo.

Si el valor que se obtiene es negativo, tenemos un máximo.

 

 C''=0.06x-0.9

     \begin{align*}  &C''(3)=0.06(3)-0.9 =-0.72 \\ &C''(27)=0.06(27)-0.9=0.72 \end{align*}

 

Por tanto, al tercer día de cotizar en la bolsa la sociedad tuvo un máximo de  303.51 y al día veintisiete, un mínimo de 234.39.

 

2Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.

 

Se dividen los números del uno al treinta en intervalos  (1,3), (3,27), (27,30),  considerando las raíces de la primera derivada. Después se toma un valor de cada intervalo y se evalúan en ésta para conocer los intervalos donde crece o decrece la función:

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo.

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo.

 

     \begin{align*}  &C'(2)=0.03(2)^2-0.9(2)+2.43 =0.75 \\ &C'(10)=0.03(10)^2-0.9(10)+2.43=-3.57\\ &C'(28)=0.03(28)^2-0.9(28)+2.43=0.75 \end{align*}

 

Durante los primeros tres días la cotización en la bolsa subió. Después, hasta el día veintisiete, la cotización estuvo a la baja. Posterior a este día comenzó a subir nuevamente.

 

Problema de rendimiento

5 Supóngase que el rendimiento r de un alumno, medido en porcentaje, en un examen de una hora corresponde a la expresión

 r (t) = 300t (1-t);

donde  0 < t < 1 denota el tiempo en horas.

 

1 ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?

2 ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?

3 ¿Cuándo se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?

 r(t) = 300t (1-t)

 

1¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?

Se deriva la función, se iguala a cero y se calculan sus raíces.

 

 r'(t)=-600t+300 \Longrightarrow\ 0=-300(2t-1);\quad t=\dfrac{1}{2}

La raíz de la primera derivada divide al intervalo  (0,1) en los intervalos  (0,\frac{1}{2}), (\dfrac{1}{2} ,1).  Después se toma un valor de cada intervalo y se evalúan en la derivada para conocer los intervalos donde crece o decrece la función:

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo.

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo.

 

     \begin{align*}  &r'\left (\dfrac{1}{6}  \right )=-300\left (2\left (\dfrac{1}{6}  \right ) -1  \right )=200 \\ &r'\left ( \dfrac{2}{3}  \right )=-300\left (2\left (\dfrac{2}{3}  \right ) -1  \right )=-100\\ \end{align*}

 

Por tanto, en la primera mitad de la aplicación del examen hay un mayor rendimiento que en la segunda mitad.

 

2¿En qué momentos el rendimiento es nulo?

 

Se iguala a cero la función y se calculan sus raíces.

 

 0= 300t (1-t)\ \Longrightarrow\ 300t=0\qquad 1-t=0

Así, el rendimiento es nulo al comenzar y al concluir el examen.

 

3¿Cuándo se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?

 

Se calcula la segunda derivada y se evalúa la raíz de la primera derivada.

 

 r''(t)=-600 \qquad \Longrightarrow \qquad r''\left (\dfrac{1}{2}  \right )=-600

 

Por tanto, a la media hora se obtiene el mayor rendimiento. Evaluando en la función, se tiene que el rendimiento será del 75\% .

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗