Ejercicios propuestos

1

Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes:

1

2

3

4

5

6

 

Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes:

Derivamos e igulamos la derivada a cero

Hallamos las raíces de la ecuación

Formamos intervalos con los ceros de la derivada primera

Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo

2

Derivamos

Igulamos la derivada a cero y calculamos las raíces de la ecuación

Formamos intervalos con los ceros de la derivada primera

Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo

3

En primer lugar calculamos el dominio para saber donde está definida la función

Derivamos

Igulamos la derivada a cero y calculamos las raíces de la ecuación

Formamos intervalos con los puntos de discontinuidad

Sustituimos un valor de cada intervalo en la función

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo

4

En primer lugar calculamos el dominio para saber donde está definida la función

Derivamos

Igualmos a 0, pero la ecuación no tiene solución

Formamos un intervalo a partir del dominio y sustituimos un valor

5

Derivamos e igulamos la derivada a cero y resolvemos la ecuación

Formamos intervalos con la raíz de la derivada primera

Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo

6

En primer lugar calculamos el dominio para saber donde está definida la función

Derivamos

Igulamos la derivada a cero y calculamos las raíces de la ecuación

Formamos intervalos con la raíz de la derivada primera y el dominio

Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo

2

Calcula los máximos y mínimos de las funciones siguientes:

1

2

3

4

 

Calcula los máximos y mínimos de las funciones siguientes:

Hallamos la derivada primera, la igualamos a 0 y calculamos sus raíces

Calculamos la derivada segunda

Calculamos el signo que toman la raíces de la derivada primera en la derivada segunda

Si f''(x) > 0 tenemos un mínimo

Si f''(x) < 0 tenemos un máximo

Hemos la segunda coordenada de los extremos relativos en la función

f(–2) = (–2)4 – 8 · (–2)² + 3 = –13

f(0) = 04 – 8 · 0² + 3 = 3

f(2) = 24 – 8 · 2² + 3 = –13

2

Hallamos la derivada primera, la igualamos a 0 y calculamos sus raíces

Calculamos la derivada segunda y determinamos el signo que toman la raíces de la derivada primera

Si f''(x) > 0 tenemos un mínimo

Si f''(x) < 0 tenemos un máximo

Calculamos la segunda coordenada de los extremos relativos en la función

f(1) = e1 · (2 · 1² + 1 – 8) = –5e

f(–7/2) = e–7/2 · [2 · (–7/2)² + (–7/2) – 8] = 13e–7/2

 

3

Calculamos el dominio

Hallamos la derivada primera, la igualamos a 0 y calculamos sus raíces

Calculamos la derivada segunda y determinamos el signo que toma la raíz de la derivada primera

Si f''(x) > 0 tenemos un mínimo

Si f''(x) < 0 tenemos un máximo

4

Hallamos la derivada primera, la igualamos a 0 y calculamos sus raíces

Tenemos en cuenta que el periodo de la función coseno es 2π

Calculamos la derivada segunda y determinamos el signo que toman las raíces de la derivada primera

Calculamos la segunda coordenada de los extremos relativos en la función

3

Hallar los intervalos de concavidad y convexidad, y los puntos de inflexión de las funciones:

1

2

3

 

Hallar los intervalos de concavidad y convexidad, y los puntos de inflexión de las funciones:

1

Hallamos la derivada primera

Hallamos la segunda derivada, la igualamos a cero y hallamos las raíces

Formamos intervalos con los ceros de la derivada segunda

Sustituimos un valor de cada intervalo en la función

Si el resultado es positivo, la función es convexa en ese intervalo

Si el resultado es negativo, la función es concava en ese intervalo

Hallamos la derivada tercera, sustuimos en ella las raíces de la derivada segunda y si el resultado es distinto de cero tendremos un punto de inflexión

Calculamos la segunda coordenada del punto de inflexión sustituyendo en la función

2

Hallamos la derivada primera

Hallamos la segunda derivada, la igualamos a cero y hallamos las raíces

Hallamos la derivada tercera, sustuimos en ella las raíces de la derivada segunda y si el resultado es distinto de cero tendremos un punto de inflexión

Calculamos la segunda coordenada del punto de inflexión sustituyendo en la función

Formamos intervalos con los raíces de la derivada segunda

Sustituimos un valor de cada intervalo en la función

Si el resultado es positivo, la función es convexa en ese intervalo

Si el resultado es negativo, la función es concava en ese intervalo

3

Hallamos la derivada primera

Hallamos la segunda derivada, la igualamos a cero y hallamos las raíces

Hallamos la derivada tercera, sustuimos en ella las raíces de la derivada segunda y si el resultado es distinto de cero tendremos un punto de inflexión

Calculamos la segunda coordenada del punto de inflexión sustituyendo en la función

Formamos intervalos con los ceros de la derivada segunda

Sustituimos un valor de cada intervalo en la función

Si el resultado es positivo, la función es convexa en ese intervalo

Si el resultado es negativo, la función es concava en ese intervalo

4

La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:

C = 0.01x³− 0.45x² + 2.43x + 300

1 Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.

2 Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.

 

La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:

C = 0.01x³− 0.45x² + 2.43x + 300

Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.

Derivamos

Igulamos la derivada a cero y hallamos las raíces de la ecuación

Calculamos la derivada segunda

Calculamos el signo que toman la raíces de la derivada primera

Si f''(x) > 0 tenemos un mínimo

Si f''(x) < 0 tenemos un máximo

Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.

Formamos intervalos con los ceros de la derivada primera

Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo

Del 1 al 3, y del 27 al 30 las acciones subieron, y del 3 al 27 bajaron.

5

Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por:

r = 300t (1−t).

Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:

1 ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?

2 ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?

3 ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?

 

Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por:

r = 300t (1 − t).

Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:

¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?

r = 300t − 300t²

Derivamos

r′ = 300 − 600t

Igulamos la derivada a cero y hallamos las raíces de la ecuación

300 − 600t = 0 t = ½

Formamos intervalos con los ceros de la derivada primera

Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo

¿En qué momentos el rendimiento es nulo?

300t (1−t) = 0 t = 0 t = 1

El rendimiento es nulo al empezar (t = 0) y al acabar el examen (t = 1).

¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?

Calculamos la derivada segunda

r″ (t) = − 600

Como la derivada segunda es negativa, ½ será un máximo

Calculamos la segunda coordenada del máximo en la función

r (½)= 300 (½) − 300 (½)² = 75

Rendimiento máximo: (½, 75)

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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