Intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones

 

1 Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes:

 

1 Ejercicio 1 crecimiento y decrecimiento

2 Ejercicio 2 crecimiento y decrecimiento

3 Ejercicio 3 crecimiento y decrecimiento

4 Ejercicio 4 crecimiento y decrecimiento

5Ejercicio 5 crecimiento y decrecimiento

6Ejercicio 6 crecimiento y decrecimiento

 

Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes:

 

1 Solución 1 crecimiento y decrecimiento

 

Derivamos e igualamos la derivada a cero.

Solución 1 crecimiento y decrecimiento: derivada

Hallamos las raíces de la ecuación.

Solución 1 crecimiento y decrecimiento: raíces

Formamos intervalos con los ceros de la primer derivada. Luego, tomamos un valor de cada intervalo, y evaluamos ese valor en la primer derivada para hallar el signo.

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo.

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo.

Solución 1 crecimiento y decrecimiento: intervalos

Solución 1 crecimiento y decrecimiento: creciente

Solución 1 crecimiento y decrecimiento: decreciente

 

2 Solución 2 crecimiento y decrecimiento

 

Derivamos.

Solución 2 crecimiento y decrecimiento: derivada

Igualamos la derivada a cero y calculamos las raíces de la ecuación.

Solución 2 crecimiento y decrecimiento: raíces

Formamos intervalos con los ceros de la primer derivada. Luego, tomamos un valor de cada intervalo, y evaluamos ese valor en la primer derivada para hallar el signo.

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo.

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo.

Solución 2 crecimiento y decrecimiento: intervalos

Solución 2 crecimiento y decrecimiento: creciente

Solución 2 crecimiento y decrecimiento: decreciente

 

3 Solución 3 crecimiento y decrecimiento

 

En primer lugar calculamos el dominio para saber donde está definida la función.

Solución 3 crecimiento y decrecimiento: función no definida en los puntos

Solución 3 crecimiento y decrecimiento: dominio de la función

Derivamos.

Solución 3 crecimiento y decrecimiento: derivada

Igualamos la derivada a cero y calculamos las raíces de la ecuación.

Solución 3 crecimiento y decrecimiento: raíces

Solución 3 crecimiento y decrecimiento: sin raíces en los reales

Formamos intervalos con los puntos de discontinuidad. Luego, sustituimos un valor de cada intervalo en la primer derivada.

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo.

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo.

Solución 3 crecimiento y decrecimiento: intervalos

Solución 3 crecimiento y decrecimiento: decreciente

 

4 Solución 4 crecimiento y decrecimiento

 

En primer lugar calculamos el dominio para saber donde está definida la función.

Solución 4 crecimiento y decrecimiento: puntos donde la función no está definida

Solución 4 crecimiento y decrecimiento: dominio de la función

Derivamos.

Solución 4 crecimiento y decrecimiento: derivada

Igualamos a 0, pero la ecuación no tiene solución.

Solución 4 crecimiento y decrecimiento: no tiene raíces

Formamos un intervalo a partir del dominio y sustituimos un valor.

Solución 4 crecimiento y decrecimiento: intervalo

Solución 4 crecimiento y decrecimiento: creciente

 

5 Solución 5 crecimiento y decrecimiento

 

Derivamos e igualamos la derivada a cero y resolvemos la ecuación.

Solución 5 crecimiento y decrecimiento: derivada

Formamos intervalos con los ceros de la primer derivada. Luego, tomamos un valor de cada intervalo, y evaluamos ese valor en la primer derivada para hallar el signo.

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo.

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo.

Solución 5 crecimiento y decrecimiento: intervalo

Solución 5 crecimiento y decrecimiento: creciente

Solución 5 crecimiento y decrecimiento: decreciente

 

6Solución 6 crecimiento y decrecimiento

 

En primer lugar calculamos el dominio para saber donde está definida la función.

Solución 6 crecimiento y decrecimiento: dominio de la función

Derivamos.

Solución 6 crecimiento y decrecimiento: derivada

Igualamos la derivada a cero y calculamos las raíces de la ecuación.

Solución 6 crecimiento y decrecimiento: raíces

Formamos intervalos con los ceros de la primer derivada. Luego, tomamos un valor de cada intervalo, y evaluamos ese valor en la primer derivada para hallar el signo.

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo.

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo.

Solución 6 crecimiento y decrecimiento: intervalo

Solución 6 crecimiento y decrecimiento: creciente

Solución 6 crecimiento y decrecimiento: decreciente

 

Máximos y mínimos de las funciones

2 Calcula los máximos y mínimos de las funciones siguientes:

1 Ejercicio 1 máximos y mínimos

2 Ejercicio 2 máximos y mínimos

3 Ejercicio 3 máximos y mínimos

4 Ejercicio 4 máximos y mínimos

Calcula los máximos y mínimos de las funciones siguientes:

 

1 Solución 1 máximos y mínimos

Hallamos la primer derivada, la igualamos a 0 y calculamos sus raíces.

Solución 1 máximos y mínimos: derivada

Solución 1 máximos y mínimos: raíces

Calculamos la segunda derivada.

Solución 1 máximos y mínimos: segunda derivada

Calculamos el signo que toman la raíces de la primer derivada en la segunda derivada.

Si f''(x) > 0 tenemos un mínimo.

Si f''(x) < 0 tenemos un máximo.

Solución 1 máximos y mínimos: mínimo 1

Solución 1 máximos y mínimos: máximo

 

 

Y hallamos la segunda coordenada de los extremos relativos en la función.

f(–2) = (–2)4 – 8 · (–2)² + 3 = –13

f(0) = 04 – 8 · 0² + 3 = 3

f(2) = 24 – 8 · 2² + 3 = –13

 

2 Solución 2 máximos y mínimos

 

Hallamos la primer derivada, la igualamos a 0 y calculamos sus raíces.

Solución 2 máximos y mínimos: derivada

Solución 2 máximos y mínimos: raíces

Calculamos la segunda derivada y determinamos el signo que toman la raíces de la primer derivada en la segunda derivada.

Si f''(x) > 0 tenemos un mínimo.

Si f''(x) < 0 tenemos un máximo.

Solución 2 máximos y mínimos: segunda derivada

Solución 2 máximos y mínimos: evaluación de punto 1

Solución 2 máximos y mínimos: punto mínimo

Solución 2 máximos y mínimos: evaluación de punto 2

Solución 2 máximos y mínimos: punto máximo

Calculamos la segunda coordenada de los extremos relativos en la función

f(1) = e1 · (2 · 1² + 1 – 8) = –5e

f(–7/2) = e–7/2 · [2 · (–7/2)² + (–7/2) – 8] = 13e–7/2

 

3 Solución 3 máximos y mínimos

 

Calculamos el dominio.

Solución 3 máximos y mínimos: puntos donde la función no está definida

Solución 3 máximos y mínimos: intervalos del dominio

Solución 3 máximos y mínimos: dominio

Hallamos la primer derivada, la igualamos a 0 y calculamos sus raíces.

Solución 3 máximos y mínimos: derivada

Solución 3 máximos y mínimos: raíces

Calculamos la segunda derivada y determinamos el signo que toman la raíces de la primer derivada en la segunda derivada.

Si f''(x) > 0 tenemos un mínimo.

Si f''(x) < 0 tenemos un máximo.

Solución 3 máximos y mínimos: evaluación de raíces

Solución 3 máximos y mínimos: máximo

 

4 Solución 4 máximos y mínimos

 

Hallamos la primer derivada, la igualamos a 0 y calculamos sus raíces.

Solución 4 máximos y mínimos: derivada

Tenemos en cuenta que el periodo de la función coseno es 2π

Solución 4 máximos y mínimos: periodo de coseno 1

Solución 4 máximos y mínimos: periodo de coseno 2

Calculamos la segunda derivada y determinamos el signo que toman las raíces de la primer derivada. Y calculamos la segunda coordenada de los extremos relativos en la función

Solución 4 máximos y mínimos: segunda derivada

Solución 4 máximos y mínimos: evaluación de punto 1

Solución 4 máximos y mínimos: máximo

Solución 4 máximos y mínimos: evaluación de punto 2

Solución 4 máximos y mínimos: mínimo

 

Intervalos de concavidad y convexidad, y los puntos de inflexión de las funciones

3 Hallar los intervalos de concavidad y convexidad, y los puntos de inflexión de las funciones:

1 Ejercicio 1 concavidad y convexidad

2 Ejercicio 2 concavidad y convexidad

3 Ejercicio 3 concavidad y convexidad

Hallar los intervalos de concavidad y convexidad, y los puntos de inflexión de las funciones:

 

1 Solución 1 concavidad y convexidad

 

Hallamos la primer derivada.

Solución 1 concavidad y convexidad: derivada

Hallamos la segunda derivada, la igualamos a cero y hallamos las raíces.

Solución 1 concavidad y convexidad: segunda derivada

Formamos intervalos con los ceros de la segunda derivada. Luego, sustituimos un valor de cada intervalo en la segunda derivada.

Si el resultado es positivo, la función es convexa en ese intervalo.

Si el resultado es negativo, la función es cóncava en ese intervalo.

Solución 1 concavidad y convexidad: intervalos

Solución 1 concavidad y convexidad: concava y convexa

Hallamos la tercera derivada, sustituimos en ella las raíces de la segunda derivada, y si el resultado es distinto de cero tendremos un punto de inflexión.

Solución 1 concavidad y convexidad: tercera derivada

Calculamos la segunda coordenada del punto de inflexión sustituyendo en la función.

Solución 1 concavidad y convexidad: punto de inflexión

 

2 Solución 2 concavidad y convexidad

 

Hallamos la primer derivada.

Solución 2 concavidad y convexidad: derivada

Hallamos la segunda derivada, la igualamos a cero y hallamos las raíces.

Solución 2 concavidad y convexidad: segunda derivada

Solución 2 concavidad y convexidad: raíces

Formamos intervalos con los ceros de la segunda derivada. Luego, sustituimos un valor de cada intervalo en la segunda derivada.

Si el resultado es positivo, la función es convexa en ese intervalo.

Si el resultado es negativo, la función es cóncava en ese intervalo.

Solución 2 concavidad y convexidad: intervalos

Solución 2 concavidad y convexidad: cóncava y convexa

Hallamos la tercer derivada, sustituimos en ella las raíces de la segunda derivada, y si el resultado es distinto de cero tendremos un punto de inflexión.

Solución 2 concavidad y convexidad: tercera derivada

Solución 2 concavidad y convexidad: evaluación del punto 1

Solución 2 concavidad y convexidad: evaluación del punto 2

Calculamos la segunda coordenada del punto de inflexión sustituyendo en la función.

Solución 2 concavidad y convexidad: punto de inflexión

 

3 Solución 3 concavidad y convexidad

 

Hallamos la primer derivada.

Solución 3 concavidad y convexidad: derivada

Hallamos la segunda derivada, la igualamos a cero y hallamos las raíces.

Solución 3 concavidad y convexidad: segunda derivada

Solución 3 concavidad y convexidad: raíces

Formamos intervalos con los ceros de la segunda derivada. Luego, sustituimos un valor de cada intervalo en la segunda derivada.

Si el resultado es positivo, la función es convexa en ese intervalo.

Si el resultado es negativo, la función es cóncava en ese intervalo.

Solución 3 concavidad y convexidad: intervalos

Solución 3 concavidad y convexidad: cóncava y convexa

Hallamos la tercer derivada, sustituimos en ella las raíces de la segunda derivada, y si el resultado es distinto de cero tendremos un punto de inflexión.

Solución 3 concavidad y convexidad: tercera derivada

Solución 3 concavidad y convexidad: evaluación de puntos

Calculamos la segunda coordenada del punto de inflexión sustituyendo en la función.

Solución 3 concavidad y convexidad: punto de inflexión

 

Problema de cotizaciones

4 La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:

C = 0.01x³− 0.45x² + 2.43x + 300

 

1 Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.

2 Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.

La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:

C = 0.01x³− 0.45x² + 2.43x + 300

 

1Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.

Problema de cotización: función

Derivamos.

Problema de cotización: derivada

Igualamos la derivada a cero y hallamos las raíces de la ecuación.

Problema de cotización: raíces

Calculamos la segunda derivada.

Problema de cotización: segunda derivada

Calculamos el signo que toman la raíces de la primer derivada en la segunda derivada.

Si f''(x) > 0 tenemos un mínimo.

Si f''(x) < 0 tenemos un máximo.

Problema de cotización: mínimo

Problema de cotización máximo

 

2Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.

Formamos intervalos con los ceros de la primer derivada. Luego, tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la primer derivada.

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo.

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo.

Problema de cotización: intervalos

Del 1 al 3, y del 27 al 30 las acciones subieron, y del 3 al 27 bajaron.

Problema de rendimiento

5 Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por:

r = 300t (1−t).

Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:

 

1 ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?

2 ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?

3 ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?

Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por:

r = 300t (1 − t).

Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:

 

1¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?

r = 300t − 300t²

Derivamos.

r′ = 300 − 600t

Igualamos la derivada a cero y hallamos las raíces de la ecuación.

300 − 600t = 0 t = ½

Formamos intervalos con los ceros de la primer derivada. Luego, tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la primer derivada.

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo.

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo.

Problema de rendimiento: intervalos

Problema de rendimiento: creciente y decreciente

 

2¿En qué momentos el rendimiento es nulo?

300t (1−t) = 0 t = 0 t = 1

El rendimiento es nulo al empezar (t = 0) y al acabar el examen (t = 1).

 

3¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?

Calculamos la segunda derivada.

r″ (t) = − 600

Como la segunda derivada es negativa, ½ será un máximo.

Calculamos la segunda coordenada del máximo en la función.

r (½)= 300 (½) − 300 (½)² = 75

Rendimiento máximo: (½, 75)

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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