Ejercicios propuestos

1

Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x³ − 3x² − 9x + 5 es paralela al eje OX.

 

Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x³ − 3x² − 9x + 5 es paralela al eje OX.

El eje OX tiene de ecuación y = 0, por tanto m = 0

Igualamos la derivada primera a 0 para hallar los puntos de tangencia

y'= 3x² − 6x − 9;     x² − 2x − 3 = 0 (simplificando por 3)

Hallamos las segundas coordenadas sustituyendo en la función

x1 = 3 y1 =3³ − 3 ·3² – 9 · 3 + 5 = –22

x2 = −1y2 = (−1)³ − 3 ·(−1)² – 9 · (−1) + 5 = 10

A(3, −22) B(−1, 10)

2

Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x³, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,−2). Hallar el punto de tangencia.

 

Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x³, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,−2). Hallar el punto de tangencia.

Sea el punto de tangencia (a, f(a))

f'(x) = 3x²f' (a)= 3a²

Igualamos la derivada primera a la pendiente

3a² = 3a = ±1

Las ecuaciones de la rectas tangentes son:

a = 1 f(a) = 1

y − 1 = 3(x − 1) y = 3x−2

a = −1 f(a) = −1

y + 1= 3(x + 1) y = 3x + 2

El punto (0, −2) pertenece a la recta y = 3x − 2.

Por tanto el punto de tangencia será (1, 1).

3

Buscar los puntos de la curva f(x) = x4 + 7x³ + 13x² + x +1, para los cuales la tangente forma un ángulo de 45º con OX.

 

Buscar los puntos de la curva f(x) = x4 + 7x³ + 13x² + x +1, para los cuales la tangente forma un ángulo de 45º con OX.

m = tg 45º = 1

f'(x) = 4x³ + 21x² + 26x + 1

Igualamos la derivada primera a la pendiente y resolvemos la ecuación

4x³ + 21x² + 26x +1 = 1

x1 = 0 x2 = −2 x3 = −13/4

las segundas coordenadas se obtienen sustityendo en la función

P(0, 1) Q(−2, 11) R(−13/4, 1621/256)

4

Dada la función f(x) = tg x, hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas.

 

Dada la función f(x) = tg x, hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas.

f′(x) = 1 + tg² x       f′(0) = 1 = m

y = x

α = arc tg 1 = 45º

5

Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.

 

Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.

6

Hallar los coeficientes de la ecuación y = ax² + bx + c, sabiendo que su gráfica pasa por (0, 3) y por (2, 1), y en este último punto su tangente tiene de pendiente 3.

 

Hallar los coeficientes de la ecuación y = ax² + bx + c, sabiendo que su gráfica pasa por (0, 3) y por (2, 1), y en este último punto su tangente tiene de pendiente 3.

Pasa por (0, 3) 3 = c

Pasa por (2, 1) 1= 4a + 2b + c

y' = 2ax + b 3 = 4a + b

Resolviendo el sistema se obtiene:

a = 2 b = −5 c = 3

7

La gráfica de la función y = ax² + bx + c pasa por los puntos (2, 3) y (3, 13). siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar el valor numérico de a, b y c.

 

La gráfica de la función y = ax² + bx + c pasa por los puntos (2, 3) y (3, 13), siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar el valor numérico de a, b y c.

Pasa por (2, 3) 3 = 4a + 2b + c

Pasa por (3, 13)13 = 9a + 3b +c

y' = 2ax + b 1 = 2a + b

Resolviendo el sistema se obtiene:

a = 3 b = −5 c =1

8

Dada la función f(x) = ax³ + bx² + cx + d, determina a, b, c y d; sabiendo que la curva pasa por los puntos (−1, 2) (2, 3), y que las tangentes a ellas en los puntos de abscisa 1 y −2 son paralelas al ejes de abscisas.

 

Dada la función f(x) = ax³ + bx² + cx + d, determina a, b, c y d; sabiendo que la curva pasa por los puntos (−1, 2) (2, 3), y que las tangentes a ellas en los puntos de abscisa 1 y −2 son paralelas al ejes de abscisas.

f(−1) = 2 −a + b − c + d = 2

f(2) = 3 8a + 4b + 2c + d = 3

f′(−1) = 0 3a + 2b + c = 0

f′(2) = 0 12a − 4b + c = 0

a = − 2 /9 b = − 1 /3 c = 4/3 d = 31/9

9

¿En qué punto de la curva y = ln x, la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (1, 0) y (e, 1)?

 

¿En qué punto de la curva y = ln x, la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (1, 0) y (e, 1)?

La pendiente de la cuerda tiene que ser igual a la derivada de la función.

10

La ecuación de un movimiento circular es: φ(t) = ½t². ¿Cuál es la velocidad y la aceleración angulares al cabo de siete segundos?

 

La ecuación de un movimiento circular es: φ(t) = ½t². ¿Cuál es la velocidad y la aceleración angulares al cabo de siete segundos?

ω(t)= φ′(t)= t ω = 7

α(t)= φ′′ (t)= 1 α = 1

11

Un observador se encuentra a 2000 m de la torre de lanzamiento de un cohete. Cuando éste despega verticalmente mide la variación del ángulo Φ(t) que forma la línea visual que le une con el cohete y la del suelo horizontal en función del tiempo transcurrido. Sabiendo que Φ'(t) = Π/3, se pide:

1 ¿Cuál es la altura del cohete cuando Φ = Π/3 radianes?

2 ¿Cuál es la velocidad del cohete cuando Φ = Π/3 radianes?

 

Un observador se encuentra a 2000 m de la torre de lanzamiento de un cohete. Cuando éste despega verticalmente mide la variación del ángulo Φ(t) que forma la línea visual que le une con el cohete y la del suelo horizontal en función del tiempo transcurrido. Sabiendo que Φ'(t) = Π/3, se pide:

1 ¿Cuál es la altura del cohete cuando Φ = Π/3 radianes?

2 ¿Cuál es la velocidad del cohete cuando Φ = Π/3 radianes?

12

Se bombea gas a un globo esférico a razón de 6m³/min. Si la presión se mantiene constante. ¿Cuál es la velocidad con la que cambia el radio del globo cuando el diámetro mide 120 cm?

 

Se bombea gas a un globo esférico a razón de 6m³/min. Si la presión se mantiene constante. ¿Cuál es la velocidad con la que cambia el radio del globo cuando el diámetro mide 120 cm?

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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