1 Calcula los puntos en que la tangente a la curva y = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 es paralela al eje OX.

 

Calcula los puntos en que la tangente a la curva y = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 es paralela al eje OX.

El eje OX tiene de ecuación  y = 0, por tanto m = 0

Igualamos la derivada primera a 0 para hallar los puntos de tangencia

y'= 3x^2 - 6x - 9;     x^2- 2x - 3 = 0 (simplificando por 3)

Hallamos las segundas coordenadas sustituyendo en la función

x_1= 3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y_1= 3^3 - 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 + 5 = -22

x_2= -1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y_2= (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 - 9 \cdot (-1) + 5 = 10

A(3, -22) B(-1, 10)

2Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x^3, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,-2). Hallar el punto de tangencia.

 

Se ha trazado una recta tangente a la curva y = x^3, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,−2). Hallar el punto de tangencia.

Sea el punto de tangencia (a, f(a))

f'(x) = 3x^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f' (a)= 3a^2

Igualamos la derivada primera a la pendiente

3a^2 = 3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a = \pm 1

Las ecuaciones de la rectas tangentes son:

a = 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f(a) = 1

y - 1 = 3(x - 1) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y = 3x-2

a = -1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f(a) = -1

y + 1= 3(x + 1) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y = 3x + 2

El punto (0, -2) pertenece a la recta y = 3x - 2.

Por tanto el punto de tangencia será (1, 1).

3Busca los puntos de la curva f(x) = x^4 + 7x^3 + 13x^2 + x +1, para los cuales la tangente forma un ángulo de 45^o con OX.

 

Buscar los puntos de la curva f(x) = x^4 + 7x^3 + 13x^2 + x +1, para los cuales la tangente forma un ángulo 45^o con OX.

m = tg \ 45^o = 1

f'(x) = 4x^3 + 21x^2 + 26x + 1

Igualamos la derivada primera a la pendiente y resolvemos la ecuación

4x^3 + 21x^2 + 26x +1 = 1

\displaystyle x_1 = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2 = -2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_3 = - \frac{13}{4}

las segundas coordenadas se obtienen sustityendo en la función

\displaystyle P(0, 1) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Q(-2, 11) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R(- \frac{13}{4}, \frac{1621}{256})

4Dada la función f(x) = tg \ x , hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas.

 

Dada la función f(x) = tg \ x , hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas.

f'(x) = 1 + tg^2 x   \ \ \ \ \ \ \ \ \ \    f'(0) = 1 = m

y = x

\aplpha = arc \  tg \ 1 = 45^o

5Calcula la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln \ tg \ 2x en el punto de abscisa: \displaystyle x = \frac{\pi}{8}.

 

Calcula la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln \ tg \ 2x en el punto de abscisa: \displaystyle x = \frac{\pi}{8}.

\displaystyle f(x)= ln \ tg \ 2x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f\left ( \frac{\pi}{8} \right )= ln \ tg \2 \left ( \frac{\pi}{8} \right )=0

\displaystyle f'(x)= \frac{1 + tg^{2}2x}{tg \ 2x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f'\left ( \frac{2\left ( 1 + th^{2}2 \frac{\pi}{8} \right )}{tg \ 2 \left ( \frac{\pi}{8} \right )} \right )= 4

Ecuación de la tangente:

\displaystyle y - 0 = 4\left ( x - \frac{\pi}{8} \right ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4x - y - \frac{\pi}{2}= 0

Ecuación de la normal:

\displaystyle y - 0 = -\frac{1}{4} \left ( x - \frac{\pi}{8} \right ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x + 4y - \frac{\pi}{8}= 0

6Hallar los coeficientes de la ecuación y = ax^2 + bx + c, sabiendo que su gráfica pasa por (0, 3) y por (2, 1), y en este último punto su tangente tiene de pendiente 3.

 

Hallar los coeficientes de la ecuación y = ax^2 + bx + c, sabiendo que su gráfica pasa por (0, 3) y por (2, 1), y en este último punto su tangente tiene de pendiente 3.

Pasa por (0, 3)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  3 = c

Pasa por  (2, 1)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  1= 4a + 2b + c

y'= 2ax + b  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  3 = 4a + b

Resolviendo el sistema se obtiene:

a = 2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  b = −5  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  c = 3

7La gráfica de la función y = ax^2 + bx + c pasa por los puntos (2, 3) y (3, 13). siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar el valor numérico de a, b y c.

 

La gráfica de la función y = ax^2 + bx + c pasa por los puntos (2, 3) y (3, 13). siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar el valor numérico de a, b y c.

Pasa por (2, 3) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3 = 4a + 2b + c

Pasa por (3, 13) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 13 = 9a + 3b +c

y'= 2ax + b \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 = 2a + b

Resolviendo el sistema se obtiene:

a = 3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b = −5 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ c =1

8Dada la función f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, determina a, b, c y d; sabiendo que la curva pasa por los puntos (−1, 2) y (2, 3), y que las tangentes a ellas en los puntos de abscisa 1 y -2 son paralelas al ejes de abscisas.

 

Dada la función f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, determina a, b, c y d; sabiendo que la curva pasa por los puntos (−1, 2) y (2, 3), y que las tangentes a ellas en los puntos de abscisa 1 y -2 son paralelas al ejes de abscisas.

f(-1) = 2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -a + b - c + d = 2

f(2) = 3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8a + 4b + 2c + d = 3

f'(−1) = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \3a + 2b + c = 0

f'(2) = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 12a - 4b + c = 0

a = - \frac{2}{9} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b = - \frac{ 1}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ c = \frac{4}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d = \frac{31}{9}

9¿En qué punto de la curva y = ln \ x, la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (1, 0) y (e, 1)?

 

¿En qué punto de la curva y = ln \ x, la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (1, 0) y (e, 1)?

La pendiente de la cuerda tiene que ser igual a la derivada de la función.

\displaystyle m = \frac{1 - 0}{e - 1}= \frac{1}{e - 1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f'(x)= \frac{1}{x}

\displaystyle \frac{1}{e - 1} = \frac{1}{w} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = e - 1

\left ( e - 1, ln (e - 1) \right )

10La ecuación de un movimiento circular es: \displaystyle \varphi (t) = \frac{1}{2} \cdot t^2 . ¿Cuál es la velocidad y la aceleración angulares al cabo de siete segundos?

 

La ecuación de un movimiento circular es: \displaystyle \varphi (t) = \frac{1}{2} \cdot t^2 . ¿Cuál es la velocidad y la aceleración angulares al cabo de siete segundos?

\displaystyle \omega (t) = \varphi'(t) = t \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \omega = 7

\displaystyle \alpha(t) = \varphi''(t) = 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \alpha = 1

 

¡Tenemos el profe mates perfecto para ti!

11Un observador se encuentra a 2000 m de la torre de lanzamiento de un cohete. Cuando éste despega verticalmente mide la variación del ángulo \phi (t) que forma la línea visual que le une con el cohete y la del suelo horizontal en función del tiempo transcurrido. Sabiendo que \phi' (t) = \frac{\pi}{3}, se pide:

a ¿Cuál es la altura del cohete cuando \phi = \frac{\pi}{3}radianes?

b ¿Cuál es la velocidad del cohete cuando \phi = \frac{\pi}{3} radianes?

 

Un observador se encuentra a 2000 m de la torre de lanzamiento de un cohete. Cuando éste despega verticalmente mide la variación del ángulo \phi (t) que forma la línea visual que le une con el cohete y la del suelo horizontal en función del tiempo transcurrido. Sabiendo que \phi' (t) = \frac{\pi}{3}, se pide:

a ¿Cuál es la altura del cohete cuando \phi = \frac{\pi}{3} radianes?

triangulo rectangulo

\displaystyle h = 2000 \cdot tg \cdot \frac{\pi}{3} = 2000 \sqrt3

b ¿Cuál es la velocidad del cohete cuando \phi = \frac{\pi}{3}radianes?

h(t) = 2000 \cdot th \ \phi (t)

v(t) = h'(t) = 2000 \cdot (1 + tg^2 \phi)\cdot \phi'(t)

v(t) = 2000 \cdot (1 + tg^2 \frac{\pi}{3})\cdot \frac{1}{20} = 400 \ m/s

12Se bombea gas a un globo esférico a razón de 6m^3/min. Si la presión se mantiene constante. ¿Cuál es la velocidad con la que cambia el radio del globo cuando el diámetro mide 120 cm?

 

Se bombea gas a un globo esférico a razón de 6m^3/min. Si la presión se mantiene constante. ¿Cuál es la velocidad con la que cambia el radio del globo cuando el diámetro mide 120 cm?

 

Para resolver este problema necesitamos la fórmula del volumen en términos del radio:

 

V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3

 

Además, sabemos que la tasa de cambio del volumen es dV/dt = 6 con unidades de m^3/\text{min}.

 

Para poder relacionar las funciones necesitamos escribir al volumen en términos del tiempo. Esto lo haremos escribiendo r(t), ya que el radio también varía con el tiempo. De este modo:

 

\displaystyle V(t) = V(r(t)) = \frac{4}{3}\pi r(t)^3

 

Ahora derivamos el volumen respecto al tiempo (utilizaremos la regla de la cadena):

 

\displaystyle \frac{dV}{dt} = \frac{4\pi}{3} \cdot 3 r(t)^2 \frac{dr}{dt} = 4\pi r(t)^2 \frac{dr}{dt}

 

Observemos que en la ecuación anterior ya tenemos todo lo que necesitamos. Ya conocemos dV/dt, el cual es constante. Asimismo, dr/dt es la variable que buscamos. Despejamos primero dr/dt

 

\displaystyle \frac{dr}{dt} = \frac{dV}{dt} \frac{1}{4\pi r(t)^2}

 

No sabemos el tiempo, pero sabemos que el diámetro es 120 cm, es decir, el radio es 60 cm o 0.6 m. Sustituimos esos valores:

 

\displaystyle \frac{dr}{dt} = 6 \frac{1}{4\pi (0.6)^2} = 1.3263

 

Por lo tanto, la respuesta es 1.33 m/min.

13Hallar el ángulo de intersección entre las curvas {f(x)=5x-1} y {g(x)=-3x+7}

 

Hallar el ángulo de intersección entre las curvas {f(x)=5x-1} y {g(x)=-3x+7}

 

1Aplicamos la fórmula

 

{\theta=arctan \displaystyle\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}\cdot m_{2}}}

 

2Igualamos ambas curvas

 

{5x-1=-3x+7 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  x=1}

 

3Calculamos las pendientes

 

{m_{1}=\displaystyle\frac{df}{dx}(1)=5; \ \ \ \ \ m_{2}=\displaystyle\frac{dg}{dx}(1)=-3}

 

4Sustituimos en la fórmula del ángulo entre dos curvas

 

{\theta=arctan \displaystyle\frac{5-(-3)}{1+5\cdot (-3)}=}

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗