Name: Derivada de una función con raíces
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Marta

26 octubre 2020

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Radicales y sus derivadas
Ejercicios resueltos

Radicales y sus derivadas

Definimos a la raíz enésima como la función inversa de la enésima potencia. En otras palabras, si tenemos

$\displaystyle y = x^n$

entonces $x = y^{1/n}$ . Asimismo, denotamos los radicales como $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$ . De este modo, si tenemos la función $f(x) = \sqrt[n]{x}$ , entonces podemos calcular su derivada utilizando la regla de la derivada de una potencia:

$\displaystyle f'(x) = \frac{d}{dx}\left[ x^{1/n} \right] = \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n} - 1}$

Si notamos que $(1/n) - 1 = (1 - n)/n$ , entonces tenemos

$\displaystyle f'(x) = \frac{x^{(1 - n)/n}}{n} = \frac{1}{n x^{(n - 1)/n}} = \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n - 1}}}$

Es decir,

$\displaystyle f'(x) = \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n - 1}}}$

Si tomamos en cuenta la regla de la cadena (con $u = u(x)$ ), entonces

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt[n]{u} \right] = \frac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n - 1}}}$

Nota: No es necesario memorizar la fórmula para la derivada de una raíz. Basta con recordar que $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$ y luego utilizar la regla de la derivada de una potencia. Sin embargo, podemos ahorrar tiempo al calcular las derivadas si nos aprendemos la fórmula.

Nota: El caso particular de la raíz cuadrada (con $n = 2$ ) tiene la derivada

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt{u} \right] = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$

La cual es una derivada bastante común.

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Ejercicios resueltos

1 Calcula la derivada de la siguiente función

$\displaystyle f(x) = \sqrt{5x + 2}$

Para calcular la derivada basta con utilizar la fórmula de la raíz cuadrada.

Notemos que $u(x) = 5x + 2$ , por lo que $u'(x) = 5$ . Así, si utilizamos la fórmula con la regla de la cadena, tenemos

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt{5x + 2} \right] = \frac{u'}{2\sqrt{u}} = \frac{5}{2\sqrt{5x + 2}}$

2 Calcula la derivada de la siguiente función

$\displaystyle f(x) = \sqrt[4]{2x - 4}$

Utilizamos la fórmula junto con la regla de la cadena, con $u(x) = 2x - 4$ y $u'(x) = 2$ :

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt[4]{2x - 4} \right] = \frac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n - 1}}} = \frac{2}{4 \sqrt[4]{(2x - 4)^3}}$

es decir

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt[4]{2x - 4} \right] = \frac{1}{2 \sqrt[4]{(2x - 4)^3}}$

Observemos que, en lugar de utilizar la fórmula, podemos trabajar con la función como

$\displaystyle f(x) = (2x - 4)^{1/4}$

por lo que la derivada sería

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt[4]{2x - 4} \right] = \frac{1}{4}(2x - 4)^{(1/4) - 1} \cdot 2$

como $(1/4) - 1 = -3/4$ , entonces tenemos

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt[4]{2x - 4} \right] = \frac{2}{4}(2x - 4)^{-3/4}$

Luego pasamos la potencia negativa al denominador y simplificamos la fracción:

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt[4]{2x - 4} \right] = \frac{1}{2(2x - 4)^{3/4}} = \frac{1}{2\sqrt[4]{(2x - 4)^3}}$

que es exactamente el mismo resultado que habíamos obtenido previamente. Aquí podemos observar que es más rápido derivar si nos aprendemos la fórmula de la derivada de una raíz

3 Deriva la siguiente función

$\displaystyle f(x) =\sqrt{x^2 - 2x + 3}$

Aquí también utilizamos la fórmula junto con la regla de la cadena. En este caso tenemos $u(x) = x^2 - 2x + 3$ , por lo que $u'(x) = 2x - 2 = 2(x - 1)$ . Así,

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt{x^2 - 2x + 3} \right] = \frac{2(x - 1)}{2\sqrt{x^2 - 2x + 3}}$

Por lo que

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt{x^2 - 2x + 3} \right] = \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 2x + 3}}$

4 Obtén la derivada de la siguiente función

$\displaystyle f(x) = \sqrt[4]{x^5 - x^3 - 2}$

Como en los ejemplos anteriores, sólo es cuestión de aplicar la fórmula con $u(x) = x^5 - x^3 - 2$ y $u'(x) = 5x^4 - 3x^2$ . Así,

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt[4]{x^5 - x^3 - 2} \right] = \frac{5x^4 - 3x^2}{4\sqrt[4]{(x^5 - x^3 - 2)^3}}$

la cual ya no se puede simplificiar.

5 Calcula la derivada de la siguiente función

$\displaystyle f(x) = \sqrt[3]{\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}}$

Notemos que el radicando es una función más complicada que las anteriores. Por este motivo, conviene utilizar la fórmula directamente pero derivar aparte la función

$\displaystyle u(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$

cuya derivada es, por medio de la regla de la cadena,

$\begin{align*} u'(x) & = \frac{(x^2 - 1)2x - (x^2 + 1)2x}{(x^2 - 1)^2}\\& = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x}{(x^2 - 1)^2}\\& = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}\end{align*}$

Por lo tanto, la derivada es

$\begin{align*} f'(x) & = \frac{\frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}}{3\sqrt[3]{ \left( \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \right)^2 }}\\& = \frac{-4x}{3(x^2 - 1)^2\sqrt[3]{ \left( \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \right)^2 }}\end{align*}$

Luego metemos el término $(x^2 - 1)^2$ dentro de la raíz; por lo tanto, debemos elevarlo a la sexta potencia dentro de la raiz:

$\begin{align*} f'(x) & = \frac{-4x}{3\sqrt[3]{ \left( \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \right)^2 (x^2 - 1)^6 }}\\& = -\frac{4x}{ 3\sqrt[3]{ \left( x^2 + 1 \right)^2 (x^2 - 1)^4 } }\end{align*}$

La cual es la derivada que buscábamos.

6 Deriva la siguiente función

$\displaystyle f(x) = \sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}}$

Al igual que en el caso anterior, conviene primero derivar al argumento de la raiz:

$\displaystyle u(x) = \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}$

cuya derivada es

$\begin{align*} u'(x) & = \frac{(1 + \sin x)(-\cos x) - (1 - \sin x)\cos x}{(1 + \sin x)^2}\\& = \frac{-\cos x - \sin x \cos x - \cos x + \sin x \cos x}{(1 + \sin x)^2}\\& = \frac{ - 2\cos x }{(1 + \sin x)^2}\\\end{align*}$

De este modo, la derivada de la función es

$\begin{align*} f'(x) & = \frac{\frac{ - 2\cos x }{(1 + \sin x)^2}}{2\sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}}}\\& = \frac{-2\cos x}{2(1 + \sin x)^2\sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}}}\end{align*}$

Metemos el término $(1 + \sin x)^2$ dentro del radical:

$\begin{align*} f'(x) & = \frac{-2\cos x}{2\sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}(1 + \sin x)^4}}\\& = \frac{-\cos x}{\sqrt{(1 - \sin x)(1 + \sin x)^3}}\end{align*}$

La cual es la derivada que estábamos buscando.

Observa que podemos simplificar, al notar que el radicando cumple

$\begin{align*} (1 - \sin x)(1 + \sin x)^3 & = (1 - \sin x)(1 + \sin x)(1 + \sin x)^2\\& = (1 - \sin^2 x)(1 + \sin x)^2\\& = \cos^2 x (1 + \sin x)^2\end{align*}$

Nota que $1 + \sin x > 0$ , por lo que tenemos que

$\displaystyle \sqrt{(1 + \sin x)^2} = 1 + \sin x$

sin embargo $\cos x$ no es siempre positivo, por lo que

$\displaystyle \sqrt{\cos^2 x} = |\cos x|$

de esta forma

$\begin{align*} f'(x) & = \frac{-\cos x}{\sqrt{(1 - \sin x)(1 + \sin x)^3}}\\& = \frac{-\cos x}{\sqrt{\cos^2 x (1 + \sin x)^2}}\\& = \frac{-\cos x}{|\cos x|(1 + \sin x)}\end{align*}$

Que es lo más que se puede simplificar.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Hernandez

Mayo

Mi problema es:

Y= x^2/5 – ^3√ x5 – x/3

Superprof

Junio

Hola Hernandez, para poder contestare de manera precisa, es importante escribirnos tu ejercicios usando ({[. Nos es imposible saber cuál es el orden de las operaciones. ¡Un saludo!

samantha

Mayo

Y=x^3(3x+1) ayuda porfavor son derivadas

Karla Paulette Flores Silva

Junio

Hola, la función que tenemos es

y = x³(3x+1)

si desarrollamos el producto esto queda

y = 3x⁴+x³

la regla de derivación para polinomios es

Si axⁿ entonces la derivada es anx^n-1

entonces la derivada es

y’ = 3(4)x^4-1+3x^3-1

y’ = 12x³+3x²

Otra forma de resolver el ejercicio es usando la regla del producto para derivadas.
Espero la solución te sea útil, ¡saludos!

Alejandro

Noviembre

Necesito ayuda para resolver esta derivada, (2x+2)√2x+2

Kira

Noviembre

(e^(x^2+5x))^(2/3) holaa mi problema es la derivada de esto. No se si cuando voy a hacer ka derivada de dentro de la raiz sería e^(x^2+5x)^(2/3) * 2(x^2+5) *(2x+5) pq ya se que se quedaria a parte de eso (2/3)* e^(x^2+5x)^(-1/3) gracias

Zepeda

Junio

Hola, la ecuación 5 de derivada de una raíz está mal

Gaspar Leon

Julio

Hola,
hemos revisado los ejemplos y todos los procesos realizados son correctos.
¿Podrías indicarnos escribiendo la parte que consideras incorrecta, para que te expliquemos por qué se llegó a ello?
Un saludo

Albujas

Junio

√x-y
√x+y

Albujas

Junio

2
√1+m √1-m

Superprof

Junio

Hola, ¿cuál es tu pregunta?

Brian

Septiembre

Para resolver un derivada con raíces es necesario convertirlas en potencia

Superprof

Septiembre

Hola Brian, tienes la fórmula en el primer párrafo del artículo 🙂

Cedeño

Julio

Hola, buenas noches. Me preguntaba cómo resuelvo si la raíz está dentro de una fracción. Mi ejercicio es 1/√ t

Luis Maciel Baron

Agosto

¡Hola!

En este caso yo te sugeriría pasarlo a potencia y resolverlo con la fórmula $\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$

Para el ejercicio que nos mencionas haríamos lo siguiente:

$f(t)=\frac{1}{\sqrt{t}}=\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}=t^{-\frac{1}{2}}$

Y al derivar:

$f'(t)=-\frac{1}{2}\; t^{-\frac{3}{2}}$

$f'(t)=-\frac{1}{2t^{\frac{3}{2}}}$

$f'(t)=-\frac{1}{2\sqrt{t^{3}}}$

Espero que esta breve explicación te sea de utilidad. No dudes en consultarnos para más preguntas que tengas.

¡Un saludo!

Maria Isabel Montoya

Agosto

El problema es el siguiente:
/(pix^3+1)^4 3pix^2 dx
son derivadas muchas gracias

Julio Cesar Alcaraz Siqueiros

Septiembre

¡Hola, que tal!
El ejercicio que muestras parece ser más una integral que una derivada, que es

$\int (\pi x^{3}+1)^{4}\cdot 3\pi x^{2}\cdot \text{dx}$

Para resolver esta integral hagámoslo por el método de sustitución. Para esto consideremos una variable a la que llamaremos $\text{ }u\text{ }$ y la definimos como:

$u=\pi x^{3}+1 \text{(lo que está dentro del paréntesis)}$

y calculemos su derivada para encontrar el valor de $\text{ dx.}$

$\text{du}=3\pi x^{2}\cdot \text{dx}$

entonces

$\text{dx}=\frac{\text{du}}{3\pi x^{2}}$

Sustituyendo $\text{ }u \text{ y du}$ en la integral original tenemos:

$\int (\pi x^{3}+1)^{4}\cdot 3\pi x^{2}\cdot \text{dx}=\int (u)^{4}\cdot 3\pi x^{2}\cdot (\frac{\text{du}}{3\pi x^{2}})$

simplificando la integral (eliminando el término $\text{ }3\pi x^{2}\text{ }$ ) nos queda

$\int (u)^{4}\cdot \text{du}$

integrando nos queda

$\frac{u^{5}}{5}+C=\frac{(\pi x^{3}+1)^{5}}{5}+C$

Es decir

$\int (\pi x^{3}+1)^{4}\cdot 3\pi x^{2}\cdot \text{dx}=\frac{(\pi x^{3}+1)^{5}}{5}+C$

Espero esta respuesta haya sido de tu ayuda, recuerda que si tienes alguna otra duda puedes consultarnos con toda confianza.
¡Saludos!

Luisana Duran

Octubre

Necesito Urgentemente Derivar
f (X) = MENOS RAIZ 3 DE 5 SOBRE RAIZ DE 7

Valeria Gámez

Octubre

Necesito la respuesta de como derivar
(√2x+7)³

Dana Lizeth

Noviembre

Hola, mi problema es hallar la fórmula para f’(x) donde f(x)= raíz cuadrada de x

Emily

Noviembre

Mi problema es √x⁷

aide

Noviembre

ayuda, por favor.
√x5. h`(4)

Isabel

Noviembre

Holaa, gracias por el artículo!
Mi problema es:

f(x)= √16x

¿Me podría ayudar? por favor

Luci

Noviembre

5x^3+2x^2/ 3^√ x^3 – 4x^2

ayúdenme por favor, es una derivada!

BERONICA METAUTE ZAPATA

Noviembre

deriva la funcion raiz

BERONICA METAUTE ZAPATA

Noviembre

deriva las funciones especiales (logaritmo,exponencial y trigonométricas).

BERONICA METAUTE ZAPATA

Noviembre

regla de cadena

xiomara

Enero

√x^2+1 a=0

Monts

Marzo

y=raiz de (9x-2*e^-2x)/tang(2x)*(7x-6)
porfaaaa

Yuly

Abril

Dada cada función, hallar la derivada de la función en el punto indicado.
a) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2 𝑒𝑛 𝑥 = 3
b) 𝑓(𝑥) = 1/𝑥^2 + 5𝑥 𝑒𝑛 𝑥 = 2

Derivada de una raíz

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