Radicales y sus derivadas

 

Definimos a la raíz enésima como la función inversa de la enésima potencia. En otras palabras, si tenemos

 

\displaystyle y = x^n

 

entonces x = y^{1/n}. Asimismo, denotamos los radicales como \sqrt[n]{x} = x^{1/n}. De este modo, si tenemos la función f(x) = \sqrt[n]{x}, entonces podemos calcular su derivada utilizando la regla de la derivada de una potencia:

 

\displaystyle f'(x) = \frac{d}{dx}\left[ x^{1/n} \right] = \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n} - 1}

 

Si notamos que (1/n) - 1 = (1 - n)/n, entonces tenemos

 

\displaystyle f'(x) = \frac{x^{(1 - n)/n}}{n} = \frac{1}{n x^{(n - 1)/n}} = \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n - 1}}}

 

Es decir,

 

\displaystyle f'(x) = \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n - 1}}}

 

Si tomamos en cuenta la regla de la cadena (con u = u(x)), entonces

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt[n]{u} \right] = \frac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n - 1}}}

 

Nota: No es necesario memorizar la fórmula para la derivada de una raíz. Basta con recordar que \sqrt[n]{x} = x^{1/n} y luego utilizar la regla de la derivada de una potencia. Sin embargo, podemos ahorrar tiempo al calcular las derivadas si nos aprendemos la fórmula.

 

Nota: El caso particular de la raíz cuadrada (con n = 2) tiene la derivada

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt{u} \right] = \frac{u'}{2\sqrt{u}}

 

La cual es una derivada bastante común.

 

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Ejercicios resueltos

 

1 Calcula la derivada de la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = \sqrt{5x + 2}

 

Para calcular la derivada basta con utilizar la fórmula de la raíz cuadrada.

 

Notemos que u(x) = 5x + 2, por lo que u'(x) = 5. Así, si utilizamos la fórmula con la regla de la cadena, tenemos

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt{5x + 2} \right] = \frac{u'}{2\sqrt{u}} = \frac{5}{2\sqrt{5x + 2}}

 

2 Calcula la derivada de la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = \sqrt[4]{2x - 4}

 

Utilizamos la fórmula junto con la regla de la cadena, con u(x) = 2x - 4 y u'(x) = 2:

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt[4]{2x - 4} \right] = \frac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n - 1}}} = \frac{2}{4 \sqrt[4]{(2x - 4)^3}}

 

es decir

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt[4]{2x - 4} \right] = \frac{1}{2 \sqrt[4]{(2x - 4)^3}}

 

Observemos que, en lugar de utilizar la fórmula, podemos trabajar con la función como

 

\displaystyle f(x) = (2x - 4)^{1/4}

 

por lo que la derivada sería

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt[4]{2x - 4} \right] = \frac{1}{4}(2x - 4)^{(1/4) - 1} \cdot 2

 

como (1/4) - 1 = -3/4, entonces tenemos

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt[4]{2x - 4} \right] = \frac{2}{4}(2x - 4)^{-3/4}

 

Luego pasamos la potencia negativa al denominador y simplificamos la fracción:

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt[4]{2x - 4} \right] = \frac{1}{2(2x - 4)^{3/4}} = \frac{1}{2\sqrt[4]{(2x - 4)^3}}

 

que es exactamente el mismo resultado que habíamos obtenido previamente. Aquí podemos observar que es más rápido derivar si nos aprendemos la fórmula de la derivada de una raíz

 

3 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle f(x) =\sqrt{x^2 - 2x + 3}

 

Aquí también utilizamos la fórmula junto con la regla de la cadena. En este caso tenemos u(x) = x^2 - 2x + 3, por lo que u'(x) = 2x - 2 = 2(x - 1). Así,

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt{x^2 - 2x + 3} \right] = \frac{2(x - 1)}{2\sqrt{x^2 - 2x + 3}}

 

Por lo que

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt{x^2 - 2x + 3} \right] = \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 2x + 3}}

 

4 Obtén la derivada de la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = \sqrt[4]{x^5 - x^3 - 2}

 

Como en los ejemplos anteriores, sólo es cuestión de aplicar la fórmula con u(x) = x^5 - x^3 - 2 y u'(x) = 5x^4 - 3x^2. Así,

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt[4]{x^5 - x^3 - 2} \right] = \frac{5x^4 - 3x^2}{4\sqrt[4]{(x^5 - x^3 - 2)^3}}

 

la cual ya no se puede simplificiar.

 

5 Calcula la derivada de la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = \sqrt[3]{\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}}

 

Notemos que el radicando es una función más complicada que las anteriores. Por este motivo, conviene utilizar la fórmula directamente pero derivar aparte la función

 

\displaystyle u(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}

 

cuya derivada es, por medio de la regla de la cadena,

 

    \begin{align*} u'(x) & = \frac{(x^2 - 1)2x - (x^2 + 1)2x}{(x^2 - 1)^2}\\& = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x}{(x^2 - 1)^2}\\& = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}\end{align*}

 

Por lo tanto, la derivada es

 

    \begin{align*} f'(x) & = \frac{\frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}}{3\sqrt[3]{ \left( \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \right)^2 }}\\& = \frac{-4x}{3(x^2 - 1)^2\sqrt[3]{ \left( \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \right)^2 }}\end{align*}

 

Luego metemos el término (x^2 - 1)^2 dentro de la raíz; por lo tanto, debemos elevarlo a la sexta potencia dentro de la raiz:

 

    \begin{align*} f'(x) & = \frac{-4x}{3\sqrt[3]{ \left( \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \right)^2 (x^2 - 1)^6 }}\\& = -\frac{4x}{ 3\sqrt[3]{ \left( x^2 + 1 \right)^2 (x^2 - 1)^4 } }\end{align*}

 

La cual es la derivada que buscábamos.

 

6 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = \sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}}

 

Al igual que en el caso anterior, conviene primero derivar al argumento de la raiz:

 

\displaystyle u(x) = \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}

 

cuya derivada es

 

    \begin{align*} u'(x) & = \frac{(1 + \sin x)(-\cos x) - (1 - \sin x)\cos x}{(1 + \sin x)^2}\\& = \frac{-\cos x - \sin x \cos x - \cos x + \sin x \cos x}{(1 + \sin x)^2}\\& = \frac{ - 2\cos x }{(1 + \sin x)^2}\\\end{align*}

 

De este modo, la derivada de la función es

 

    \begin{align*} f'(x) & = \frac{\frac{ - 2\cos x }{(1 + \sin x)^2}}{2\sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}}}\\& = \frac{-2\cos x}{2(1 + \sin x)^2\sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}}}\end{align*}

 

Metemos el término (1 + \sin x)^2 dentro del radical:

 

    \begin{align*} f'(x) & = \frac{-2\cos x}{2\sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}(1 + \sin x)^4}}\\& = \frac{-\cos x}{\sqrt{(1 - \sin x)(1 + \sin x)^3}}\end{align*}

 

La cual es la derivada que estábamos buscando.

 

Observa que podemos simplificar, al notar que el radicando cumple

 

    \begin{align*} (1 - \sin x)(1 + \sin x)^3 & = (1 - \sin x)(1 + \sin x)(1 + \sin x)^2\\& = (1 - \sin^2 x)(1 + \sin x)^2\\& = \cos^2 x (1 + \sin x)^2\end{align*}

 

Nota que 1 + \sin x > 0, por lo que tenemos que

 

\displaystyle \sqrt{(1 + \sin x)^2} = 1 + \sin x

 

sin embargo \cos x no es siempre positivo, por lo que

 

\displaystyle \sqrt{\cos^2 x} = |\cos x|

 

de esta forma

 

    \begin{align*} f'(x) & = \frac{-\cos x}{\sqrt{(1 - \sin x)(1 + \sin x)^3}}\\& = \frac{-\cos x}{\sqrt{\cos^2 x (1 + \sin x)^2}}\\& = \frac{-\cos x}{|\cos x|(1 + \sin x)}\end{align*}

 

Que es lo más que se puede simplificar.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗