Temas

 

 

Radicales y sus derivadas

 

Definimos a la raíz enésima como la función inversa de la enésima potencia. En otras palabras, si tenemos

 

\displaystyle y = x^n

 

entonces x = y^{1/n}. Asimismo, denotamos los radicales como \sqrt[n]{x} = x^{1/n}. De este modo, si tenemos la función f(x) = \sqrt[n]{x}, entonces podemos calcular su derivada utilizando la regla de la derivada de una potencia:

 

\displaystyle f'(x) = \frac{d}{dx}\left[ x^{1/n} \right] = \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n} - 1}

 

Si notamos que (1/n) - 1 = (1 - n)/n, entonces tenemos

 

\displaystyle f'(x) = \frac{x^{(1 - n)/n}}{n} = \frac{1}{n x^{(n - 1)/n}} = \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n - 1}}}

 

Es decir,

 

\displaystyle f'(x) = \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n - 1}}}

 

Si tomamos en cuenta la regla de la cadena (con u = u(x)), entonces

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt[n]{u} \right] = \frac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n - 1}}}

 

Nota: No es necesario memorizar la fórmula para la derivada de una raíz. Basta con recordar que \sqrt[n]{x} = x^{1/n} y luego utilizar la regla de la derivada de una potencia. Sin embargo, podemos ahorrar tiempo al calcular las derivadas si nos aprendemos la fórmula.

 

Nota: El caso particular de la raíz cuadrada (con n = 2) tiene la derivada

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt{u} \right] = \frac{u'}{2\sqrt{u}}

 

La cual es una derivada bastante común.

 

Los/las mejores profesores/as de Matemáticas que están disponibles
José arturo
4,9
4,9 (51 opiniones)
José arturo
16€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (30 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (92 opiniones)
Alex
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (13 opiniones)
Fátima
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (93 opiniones)
José angel
6€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (28 opiniones)
Santiago
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (103 opiniones)
Julio
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (120 opiniones)
Amin
10€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José arturo
4,9
4,9 (51 opiniones)
José arturo
16€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (30 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (92 opiniones)
Alex
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (13 opiniones)
Fátima
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (93 opiniones)
José angel
6€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (28 opiniones)
Santiago
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (103 opiniones)
Julio
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (120 opiniones)
Amin
10€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Vamos

Ejercicios resueltos

 

1 Calcula la derivada de la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = \sqrt{5x + 2}

 

Para calcular la derivada basta con utilizar la fórmula de la raíz cuadrada.

 

Notemos que u(x) = 5x + 2, por lo que u'(x) = 5. Así, si utilizamos la fórmula con la regla de la cadena, tenemos

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt{5x + 2} \right] = \frac{u'}{2\sqrt{u}} = \frac{5}{2\sqrt{5x + 2}}

 

2 Calcula la derivada de la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = \sqrt[4]{2x - 4}

 

Utilizamos la fórmula junto con la regla de la cadena, con u(x) = 2x - 4 y u'(x) = 2:

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt[4]{2x - 4} \right] = \frac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n - 1}}} = \frac{2}{4 \sqrt[4]{(2x - 4)^3}}

 

es decir

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt[4]{2x - 4} \right] = \frac{1}{2 \sqrt[4]{(2x - 4)^3}}

 

Observemos que, en lugar de utilizar la fórmula, podemos trabajar con la función como

 

\displaystyle f(x) = (2x - 4)^{1/4}

 

por lo que la derivada sería

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt[4]{2x - 4} \right] = \frac{1}{4}(2x - 4)^{(1/4) - 1} \cdot 2

 

como (1/4) - 1 = -3/4, entonces tenemos

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt[4]{2x - 4} \right] = \frac{2}{4}(2x - 4)^{-3/4}

 

Luego pasamos la potencia negativa al denominador y simplificamos la fracción:

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt[4]{2x - 4} \right] = \frac{1}{2(2x - 4)^{3/4}} = \frac{1}{2\sqrt[4]{(2x - 4)^3}}

 

que es exactamente el mismo resultado que habíamos obtenido previamente. Aquí podemos observar que es más rápido derivar si nos aprendemos la fórmula de la derivada de una raíz

 

3 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle f(x) =\sqrt{x^2 - 2x + 3}

 

Aquí también utilizamos la fórmula junto con la regla de la cadena. En este caso tenemos u(x) = x^2 - 2x + 3, por lo que u'(x) = 2x - 2 = 2(x - 1). Así,

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt{x^2 - 2x + 3} \right] = \frac{2(x - 1)}{2\sqrt{x^2 - 2x + 3}}

 

Por lo que

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt{x^2 - 2x + 3} \right] = \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 2x + 3}}

 

4 Obtén la derivada de la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = \sqrt[4]{x^5 - x^3 - 2}

 

Como en los ejemplos anteriores, sólo es cuestión de aplicar la fórmula con u(x) = x^5 - x^3 - 2 y u'(x) = 5x^4 - 3x^2. Así,

 

\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \sqrt[4]{x^5 - x^3 - 2} \right] = \frac{5x^4 - 3x^2}{4\sqrt[4]{(x^5 - x^3 - 2)^3}}

 

la cual ya no se puede simplificiar.

 

5 Calcula la derivada de la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = \sqrt[3]{\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}}

 

Notemos que el radicando es una función más complicada que las anteriores. Por este motivo, conviene utilizar la fórmula directamente pero derivar aparte la función

 

\displaystyle u(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}

 

cuya derivada es, por medio de la regla de la cadena,

 

    \begin{align*} u'(x) & = \frac{(x^2 - 1)2x - (x^2 + 1)2x}{(x^2 - 1)^2}\\& = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x}{(x^2 - 1)^2}\\& = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}\end{align*}

 

Por lo tanto, la derivada es

 

    \begin{align*} f'(x) & = \frac{\frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}}{3\sqrt[3]{ \left( \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \right)^2 }}\\& = \frac{-4x}{3(x^2 - 1)^2\sqrt[3]{ \left( \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \right)^2 }}\end{align*}

 

Luego metemos el término (x^2 - 1)^2 dentro de la raíz; por lo tanto, debemos elevarlo a la sexta potencia dentro de la raiz:

 

    \begin{align*} f'(x) & = \frac{-4x}{3\sqrt[3]{ \left( \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \right)^2 (x^2 - 1)^6 }}\\& = -\frac{4x}{ 3\sqrt[3]{ \left( x^2 + 1 \right)^2 (x^2 - 1)^4 } }\end{align*}

 

La cual es la derivada que buscábamos.

 

6 Deriva la siguiente función

 

\displaystyle f(x) = \sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}}

 

Al igual que en el caso anterior, conviene primero derivar al argumento de la raiz:

 

\displaystyle u(x) = \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}

 

cuya derivada es

 

    \begin{align*} u'(x) & = \frac{(1 + \sin x)(-\cos x) - (1 - \sin x)\cos x}{(1 + \sin x)^2}\\& = \frac{-\cos x - \sin x \cos x - \cos x + \sin x \cos x}{(1 + \sin x)^2}\\& = \frac{ - 2\cos x }{(1 + \sin x)^2}\\\end{align*}

 

De este modo, la derivada de la función es

 

    \begin{align*} f'(x) & = \frac{\frac{ - 2\cos x }{(1 + \sin x)^2}}{2\sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}}}\\& = \frac{-2\cos x}{2(1 + \sin x)^2\sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}}}\end{align*}

 

Metemos el término (1 + \sin x)^2 dentro del radical:

 

    \begin{align*} f'(x) & = \frac{-2\cos x}{2\sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}(1 + \sin x)^4}}\\& = \frac{-\cos x}{\sqrt{(1 - \sin x)(1 + \sin x)^3}}\end{align*}

 

La cual es la derivada que estábamos buscando.

 

Observa que podemos simplificar, al notar que el radicando cumple

 

    \begin{align*} (1 - \sin x)(1 + \sin x)^3 & = (1 - \sin x)(1 + \sin x)(1 + \sin x)^2\\& = (1 - \sin^2 x)(1 + \sin x)^2\\& = \cos^2 x (1 + \sin x)^2\end{align*}

 

Nota que 1 + \sin x > 0, por lo que tenemos que

 

\displaystyle \sqrt{(1 + \sin x)^2} = 1 + \sin x

 

sin embargo \cos x no es siempre positivo, por lo que

 

\displaystyle \sqrt{\cos^2 x} = |\cos x|

 

de esta forma

 

    \begin{align*} f'(x) & = \frac{-\cos x}{\sqrt{(1 - \sin x)(1 + \sin x)^3}}\\& = \frac{-\cos x}{\sqrt{\cos^2 x (1 + \sin x)^2}}\\& = \frac{-\cos x}{|\cos x|(1 + \sin x)}\end{align*}

 

Que es lo más que se puede simplificar.

 

>

La plataforma que conecta profes particulares y estudiantes

¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,00 (17 nota(s))
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗