Primeras derivadas

 

La derivada es un limite hacia el cual tiende el cociente entre el incremento de una función y el incremento arbitrario de la variable independiente, cuando este último tiende a cero.

 

Un ejemplo de la vida real de la derivada es cuando se lanza una pelota hacia arriba y la variación de su altura está dada por h(t)=-5t^{2}+30t y derivando puedo saber la velocidad en cualquier instante de tiempo.

 

Si derivamos una función f(x) obtenemos la derivada primera, f'(x).

 

Si volvemos a derivar obtenemos una nueva función que se llama derivada segunda, f''(x).

 

Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f'''(x).

 

Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta derivada, f^{iv}(x) y así sucesivamente.

 

Formulas de derivadas

 

Derivada de una constante.

 

1\frac{\mathrm{d} c}{\mathrm{d} x}=0.

 

Derivada de x.

 

2\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}=1.

 

Derivada de una constante por una variable.

 

3\frac{\mathrm{d} (c\cdot v)}{\mathrm{d} x}=c\cdot \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}.

 

Derivada de la suma y resta de variables.

 

4\frac{\mathrm{d} (u+v-w)}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}-\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} x}.

 

Derivada de x elevada a una potencia.

 

5\frac{\mathrm{d}(x ^{n})}{\mathrm{d} x}=n\cdot x^{n-1}.

 

Derivada de la multiplicacion de dos variables.

 

6\frac{\mathrm{d} (u\cdot v)}{\mathrm{d} x}=v\cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}+u\cdot \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}.

 

Derivada de un función racional.

 

7\frac{\mathrm{d} (\frac{u}{v})}{\mathrm{d} x}=\frac{v\cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}-u\cdot \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}}{v^{2}}.

 

Derivada de la función trigonométrica del seno.

 

8\frac{\mathrm{d} (senu)}{\mathrm{d} x}=cosu\cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}.

 

Derivada de la función trigonométrica del coseno.

 

9\frac{\mathrm{d} (cosu)}{\mathrm{d} x}=-senu\cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}.

 

Derivada de la función logarítmica.

 

10\frac{\mathrm{d} (lnu)}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{u}\cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}.

 

Derivada de la función exponencial.

 

11\frac{\mathrm{d} (e^{u})}{\mathrm{d} x}=e^{u}\cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}.

 

Ejemplo de primera derivada

 

1 Calcular la primera derivada de la función f(x)=2x^3-15x^2+36x-12.

 

Por ser un polinomio derivamos termino a termino

 

\begin{array}{rcl} f'(x) & = & 2(3)x^2-15(2)x+36 \\\\ & = & 6x^2-30x+36 \end{array}

 

2 Calcular la primera derivada de la función f(x)=3x^4+5x^2+2x-5.

 

Por ser un polinomio derivamos termino a termino

 

\begin{array}{rcl} f'(x) & = & 3(4)x^3+5(2)x+2 \\\\ & = & 12x^3+10x+2 \end{array}

 

Ejemplo de la segunda derivada

 

1 Calcular la segunda derivada de la función f(x)=2x^3-15x^2+36x-12.

 

En el ejemplo anterior calculamos la primera derivada f'(x)=6x^2-30x+36.

 

Por ser un polinomio derivamos termino a termino

 

\begin{array}{rcl} f''(x) & = & 6(2)x-30 \\\\ & = & 12x-30 \end{array}

 

2 Calcular la segunda derivada de la función f(x)=3x^4+5x^2+2x-5.

 

En el ejemplo anterior calculamos la primera derivada f'(x)= 12x^3+10x+2.

 

Por ser un polinomio derivamos termino a termino

 

\begin{array}{rcl} f''(x) & = & 12(3)x^2+10 \\\\ & = & 36x^2+10 \end{array}

 

Ejemplo de la tercera derivada

 

1 Calcular la tercera derivada de la función f(x)=2x^3-15x^2+36x-12.

 

En el ejemplo anterior calculamos la segunda derivada f''(x)=12x-30.

 

Por ser un polinomio derivamos termino a termino

 

\begin{array}{rcl} f'''(x) & = & 12 \end{array}

 

2Calcular la tercera derivada de la función f(x)=3x^4+5x^2+2x-5.

 

En el ejemplo anterior calculamos la segunda derivada f''(x)=36x^2+10.

 

Por ser un polinomio derivamos termino a termino

 

\begin{array}{rcl} f'''(x) & = & 36(2)x \\\\ & = & 72x \end{array}

 

Ejemplo de la cuarta derivada

 

1 Calcular la cuarta derivada de la función f(x)=2x^3-15x^2+36x-12.

 

En el ejemplo anterior calculamos la tercera derivada f'''(x)=12.

 

Por ser una constante solo queda

 

\begin{array}{rcl} f^{iv}(x) & = & 0 \end{array}

 

2 Calcular la cuarta derivada de la función f(x)=3x^4+5x^2+2x-5.

 

En el ejemplo anterior calculamos la tercera derivada f'''(x)=72x.

 

Por ser un polinomio derivamos termino a termino

 

\begin{array}{rcl} f^{iv}(x) & = & 72 \end{array}

 

Ejemplo de la quinta derivada

 

1 Calcular la quinta derivada de la función f(x)=3x^4+5x^2+2x-5.

 

En el ejemplo anterior calculamos la cuarta derivada f^{iv}(x)=72.

 

Por ser un polinomio derivamos termino a termino

 

\begin{array}{rcl} f^{v}(x) & = & 0 \end{array}

 

 

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Vamos

Derivada enésima

En algunos casos, podemos encontrar una fórmula general para cualquiera de las derivadas sucesivas (y para todas ellas). Esta fórmula recibe el nombre de derivada enésima, f'n(x).

 

Ejemplo de la enésima derivada de una función racional

 

Calcular la enésima derivada de la función f(x)=\frac{1}{x}.

 

Calculamos la primera derivada

 

Por ser una función racional

 

\begin{array}{rcl} f'(x) & = & -\frac{1}{x^{2}} \end{array}

 

Calculamos la segunda derivada

 

Por ser una función racional

 

\begin{array}{rcl} f''(x) & = & \frac{1\cdot 2}{x^{3}} \end{array}

 

Calculamos la tercera derivada

 

Por ser una función racional

 

\begin{array}{rcl} f'''(x) & = & -\frac{1\cdot 2\cdot 3}{x^{4}} \\\\ & = & -\frac{3!}{x^{4}} \end{array}

 

Por ser una función racional y generalizando obtenemos la enésima derivada

 

\begin{array}{rcl} f^{n}(x) & = & (-1)^{n}\frac{n!}{x^{n+1}} \end{array}

 

Ejemplo de la enésima derivada de una función logarítmica

 

Calcular la enésima derivada de la función f(x)=lnx.

 

Calculamos la primera derivada

 

Por ser una función logarítmica

 

\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \frac{1}{x} \end{array}

 

Calculamos la segunda derivada

 

Por ser una función racional

 

\begin{array}{rcl} f''(x) & = & -\frac{1}{x^{2}} \end{array}

 

Calculamos la tercera derivada

 

Por ser una función racional

 

\begin{array}{rcl} f'''(x) & = & \frac{1\cdot 2}{x^{3}} \\\\ & = & \frac{2!}{x^{3}} \end{array}

 

Calculamos la cuarta derivada

 

Por ser una función racional

 

\begin{array}{rcl} f^{iv}(x) & = & -\frac{1\cdot 2\cdot 3}{x^{4}} \\\\ & = & -\frac{3!}{x^{4}} \end{array}

 

Por ser una función racional y generalizando obtenemos la enésima derivada

 

\begin{array}{rcl} f^{n}(x) & = & (-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^{n}} \end{array}

 

Ejemplo de enésima derivada de una función trigonométrica

 

Calcular la enésima derivada de la función f(x)=senx.

 

Calculamos la primera derivada

 

Por ser una función trigonométrica y aplicando formulas de identidades

 

\begin{array}{rcl} f'(x) & = & cosx \\\\ & = & sen(\frac{\pi }{2}+x) \end{array}

 

Calculamos la segunda derivada

 

Por ser una función trigonométrica y aplicando formulas de identidades

 

\begin{array}{rcl} f''(x) & = & -senx \\\\ & = & -[-sen(\pi+x )] \\\\ & = & sen(2\cdot \frac{\pi }{2}+x) \end{array}

 

Calculamos la tercera derivada

 

Por ser una función trigonométrica y aplicando formulas de identidades

 

\begin{array}{rcl} f'''(x) & = & -cosx \\\\ & = & -sen(\frac{\pi }{2}+x) \\\\ & = & -[-sen(3\cdot \frac{\pi }{2}+x)] \\\\ & = & sen(3\cdot \frac{\pi }{2}+x) \end{array}

 

Por ser una función trigonométrica y generalizando obtenemos la enésima derivada

 

\begin{array}{rcl} f^{n}(x) & = & sen(\frac{n\cdot \pi }{2}+x) \end{array}

 

Ejemplo de enésima derivada de la función exponencial

 

Calcular la enésima derivada de la función f(x)=e^{-3x}.

 

Calculamos la primera derivada

 

Por ser una función exponencial

 

\begin{array}{rcl} f'(x) & = & -3\cdot e^{-3x} \end{array}

 

Calculamos la segunda derivada

 

Por ser una función exponencial

 

\begin{array}{rcl} f''(x) & = & -3(-3)e^{-3x} \\\\ & = & 9\cdot e^{-3x} \\\\ & = & 3^2\cdot e^{-3x} \end{array}

 

Calculamos la tercera derivada

 

Por ser una función exponencial

 

\begin{array}{rcl} f'''(x) & = & 9(-3)e^{-3x} \\\\ & = & -27\cdot e^{-3x} \\\\ & = & -(3)^3\cdot e^{-3x} \end{array}

 

Por ser una función exponencial y generalizando obtenemos la enésima derivada

 

\begin{array}{rcl} f^{n}(x) & = & (-3)^{n}\cdot e^{-3x} \end{array}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗