Derivadas de sumas, productos y cocientes | Superprof

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Reglas de derivación de sumas, productos y cocientes
Ejemplos de derivadas

Reglas de derivación de sumas, productos y cocientes

Derivada de una suma

${f(x) = u\pm v \qquad\qquad f'(x) = u' \pm v'}$

Derivada de una constante por una función

${f(x) = k\cdot u \qquad\qquad f'(x) =k\cdot u' }$

Derivada de un producto

${f(x) = u \cdot v \qquad\qquad f'(x) = u'\cdot v + u\cdot v' }$

Derivada de una constante partida por una función

$\displaystyle {f(x) = \frac{k}{v} \qquad\qquad f'(x) = \frac{-k\cdot v'}{v^2} }$

Derivada de un cociente

$\displaystyle {f(x) = \frac{u}{v} \qquad\qquad f'(x) = \frac{u'\cdot v - u\cdot v'}{v^2} }$

Ejemplos de derivadas

1 $f(x)=-2x^{2}$

$f'(x)=-4x$

2 $f(x)=-2x^{2}-5x+2$

$f'(x)=-4x-5$

3 $f(x)=3x^{3}-2x^{2}-5x+2$

$f'(x)=9x^{2}-4x-5$

4 $f(x)=x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-5x+2$

$f'(x)=4x^{3}+9x^{2}-4x-5$

5 $f(x)=\left( x^{2}-1 \right )\left ( x^{3}+3x \right )$

$f'(x)= 2x \left( x^{3}-3x \right )+\left ( x^{2}-1 \right )\left ( 3x^{2}+3 \right )$

6 $\displaystyle f(x)= \frac{3\left ( x^{2}+2\right )^{3}}{5}=\frac{3}{5}\left ( x^{2}+2 \right )^{3}$

$\displaystyle f'(x)=\frac{3}{5}\cdot 3(x^{2}+2)^{2} \cdot 2x = \frac{18}{5}x(x^{2}+2)^{2}$

7 $\displaystyle f(x)=\frac{3x^{3}+x+2}{5x^{2}+1}$

$\displaystyle f'(x)=\frac{(9x^{2}+1)(5x^{2}+1)-(3x^{3}+x+2)(10x)}{(5x^{2}+1)}$

$\displaystyle f'(x)=\frac{15x^{4}+4x^{2}-20x+1}{(5x^{2}+1)^{2}}$

8 $\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x+1}$

$\displaystyle f'(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x-1}}(x+1)-\sqrt{x-1}}{(x+1)^{2}}=\frac{x+1-2(x-1)}{2(x+1)^2\sqrt{x-1}}$

$\displaystyle=\frac{-x+3}{2(x+1)^{2}\sqrt{x-1}}$

9 $\displaystyle f(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}$

$\displaystyle f'(x)=\frac{-2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^{2}}=\frac{-\frac{1}{\sqrt{x}}}{x}=-\frac{1}{x\sqrt{x}}$

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Marta

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Interpretación física de la derivada

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Teorema de Rolle: Explicación

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